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结结 构构 力力 学学教教 材材: : 结构力学 结构力学( (第三版第三版) )上册上册 李廉锟 主编李廉锟 主编 高等教育出版社高等教育出版社主讲教师主讲教师: : 王新华 王新华 第一章 绪第一章 绪 论论§1-1 结构力学的研究对象和任务 结构力学的研究对象和任务１、结构的概念：结构是在建筑物和构筑物中，起１、结构的概念：结构是在建筑物和构筑物中，起主要受力、传力及支承作用的部分主要受力、传力及支承作用的部分２、结构的分类（按构件的几何特征）：杆件结构２、结构的分类（按构件的几何特征）：杆件结构（空间或平面）、薄壁结构（薄板、薄壳）、实（空间或平面）、薄壁结构（薄板、薄壳）、实体结构 ３、课程研究的对象：平面杆件结构３、课程研究的对象：平面杆件结构４、课程的任务：４、课程的任务： 结构的组成规律、合理形式； 结构的组成规律、合理形式； 结构在外因作用下的强度、刚度和稳定性（即 结构在外因作用下的强度、刚度和稳定性（即平平面杆件结构在各种外因作用下的内力、位移的计算面杆件结构在各种外因作用下的内力、位移的计算原理和计算方法原理和计算方法。
暂不涉及稳定问题）暂不涉及稳定问题）１、结构计算简图的概念１、结构计算简图的概念２、结构计算简图的简化原则是：２、结构计算简图的简化原则是： １）计算简图要能反映 １）计算简图要能反映实际结构的主要受力和变实际结构的主要受力和变形特点形特点，即要使计算结果安全可靠；，即要使计算结果安全可靠； ２） ２）便于计算便于计算，即计算简图的简化程度要与计算，即计算简图的简化程度要与计算手段以及对结果的要求相一致手段以及对结果的要求相一致§§1-2 结构计算简图 结构计算简图 ３、结构计算简图的几个要点：３、结构计算简图的几个要点： 空间杆件结构的平面简化空间杆件结构的平面简化 杆件构件的简化：以杆件的轴线代替杆件；杆件构件的简化：以杆件的轴线代替杆件； 杆件之间连接的简化杆件之间连接的简化：理想结点代替杆件与杆：理想结点代替杆件与杆件之间的连接件之间的连接１）１）铰结点铰结点：： 汇交于一点的杆端是用一个完全无磨擦的光滑铰汇交于一点的杆端是用一个完全无磨擦的光滑铰连结铰结点所连各杆端可独自绕铰心自由转动，连结铰结点所连各杆端可独自绕铰心自由转动，即各杆端之间的夹角可任意改变。
即各杆端之间的夹角可任意改变２）２）刚结点刚结点：： 汇交于一点的杆端是用一个完全不变形的刚性结汇交于一点的杆端是用一个完全不变形的刚性结点连结，形成一个整体刚结点所连各杆端相互之点连结，形成一个整体刚结点所连各杆端相互之间的夹角不能改变间的夹角不能改变３）３）组合结点（半铰组合结点（半铰) )：： 刚结点与铰结点的组合体刚结点与铰结点的组合体 结构与支承物连接的简化结构与支承物连接的简化：： 以理想支座代替结构与其支承物（一般是大地） 以理想支座代替结构与其支承物（一般是大地）之间的连结之间的连结 １）活动铰支座：１）活动铰支座： 允许沿支座链杆垂直方向的微小移动沿支座链 允许沿支座链杆垂直方向的微小移动沿支座链杆方向产生约束杆方向产生约束力２）固定铰支座：２）固定铰支座： 允许饶固定铰铰心的微小转动过铰心产生任意 允许饶固定铰铰心的微小转动过铰心产生任意方向的约束力（分解成水平和竖直方向的两个力）方向的约束力（分解成水平和竖直方向的两个力）３）固定支座：３）固定支座： 不允许有任何方向的移动和转动，产生水平、竖 不允许有任何方向的移动和转动，产生水平、竖直及限制转动的约束力。
直及限制转动的约束力 §1-3 杆件结构的分类 杆件结构的分类1、按结构的受力特点分类：、按结构的受力特点分类： 梁：由水平（或斜向）放置杆件构成梁构件 梁：由水平（或斜向）放置杆件构成梁构件主主要承受弯曲变形，是受弯构件要承受弯曲变形，是受弯构件 刚架：不同方向的杆件用结点（一般都有刚架：不同方向的杆件用结点（一般都有刚结点刚结点））连接构成连接构成刚架杆件以受弯为主，刚架杆件以受弯为主，所以又叫所以又叫梁式构梁式构件件 桁架：由若干直杆在两端用铰结点连接构成桁架：由若干直杆在两端用铰结点连接构成桁桁架杆件主要承受轴向变形，是拉压构件架杆件主要承受轴向变形，是拉压构件 组合结构：由梁式构件和拉压构件构成组合结构：由梁式构件和拉压构件构成 拱：一般由曲杆构成在竖向荷载作用下有水拱：一般由曲杆构成在竖向荷载作用下有水平支座反力平支座反力2、按计算方法分类： 、按计算方法分类： 静定结构静定结构, 超静定结构 超静定结构 §1-4 荷载分类 荷载分类１、按作用时间分类：１、按作用时间分类： 恒载：永久作用在结构上。
如结构自重、永久 恒载：永久作用在结构上如结构自重、永久设备重量设备重量 活载：暂时作用在结构上如人群、风、雪 活载：暂时作用在结构上如人群、风、雪（在结构上可占有任意位置的（在结构上可占有任意位置的可动荷载可动荷载）及车辆、）及车辆、吊车（在结构上平行移动并保持间距不变的吊车（在结构上平行移动并保持间距不变的移动荷移动荷载载）２、按作用性质分类：２、按作用性质分类： 静力荷载：荷载由零加至最后值，且在加载过 静力荷载：荷载由零加至最后值，且在加载过程中结构始终保持静力平衡，即可忽略惯性力的影程中结构始终保持静力平衡，即可忽略惯性力的影响 动力荷载：荷载（大小、方向、作用线）随时 动力荷载：荷载（大小、方向、作用线）随时间迅速变化，并使结构发生不容忽视的惯性力间迅速变化，并使结构发生不容忽视的惯性力 ３、按与结构的接触分类：直接荷载，间接荷载３、按与结构的接触分类：直接荷载，间接荷载 第二章第二章 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析 §2-1§2-1 概 述 概 述 平面杆件结构，是由若干根杆件构成的能支承荷 平面杆件结构，是由若干根杆件构成的能支承荷载的平面杆件体系，而任一杆件体系却不一定能作载的平面杆件体系，而任一杆件体系却不一定能作为结构。
为结构本节内容：研究结构的组成规律和合理形式本节内容：研究结构的组成规律和合理形式前提条件：前提条件：不考虑结构受力后由于材料的应变而不考虑结构受力后由于材料的应变而产生的微小变形，即把组成结构的每根杆件都看作产生的微小变形，即把组成结构的每根杆件都看作完全不变形的刚性杆件完全不变形的刚性杆件一、术语简介（图２一、术语简介（图２-1-1-1-1））１、１、 几何不变体系：在荷载作用下能保持其几何几何不变体系：在荷载作用下能保持其几何形状和位置都不改变的体系称之形状和位置都不改变的体系称之２、几何可变体系：在荷载作用下不能保持其几何２、几何可变体系：在荷载作用下不能保持其几何形状和位置都不改变的体系称之形状和位置都不改变的体系称之 ３、刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性３、刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片在平面杆件体系中，一根直杆、折物体叫作刚片在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片几何不变体系也可视为刚片 刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点的位置。
所以可由刚片中的一条直线代表刚片所以可由刚片中的一条直线代表刚片 二、研究体系几何组成的任务和目的：二、研究体系几何组成的任务和目的：１、研究结构的基本组成规则，用及判定体系是否１、研究结构的基本组成规则，用及判定体系是否可作为结构以及选取结构的合理形式可作为结构以及选取结构的合理形式２、根据结构的几何组成，选择相应的计算方法和２、根据结构的几何组成，选择相应的计算方法和计算途径计算途径 §2-2§2-2 平面体系的自由度 平面体系的自由度一、一、 自由度的概念自由度的概念 体系可独立运动的方式称为该体系的自由度 体系可独立运动的方式称为该体系的自由度或表示体系位置的独立坐标数或表示体系位置的独立坐标数 平面体系的自由度平面体系的自由度：：用以确定平面体系在平面用以确定平面体系在平面内位置的独立坐标数内位置的独立坐标数 （图图2-2-22-2-2）上３所示，为平面内一根链杆ＡＢ，）上３所示，为平面内一根链杆ＡＢ，其一端Ａ和大地相连，显然相对于大地来说这根链其一端Ａ和大地相连，显然相对于大地来说这根链杆在平面内只有一种运动方式，即作绕Ａ点转动，杆在平面内只有一种运动方式，即作绕Ａ点转动，所以该体系只有一个自由度。
同时又可看到，如果所以该体系只有一个自由度同时又可看到，如果用链杆ＡＢ与水平坐标的用链杆ＡＢ与水平坐标的夹角夹角作为表示该体系运动作为表示该体系运动方式的参变量，即表示该体系运动中任一时刻的位方式的参变量，即表示该体系运动中任一时刻的位置，表示体系位置的参变量数与体系的自由度数也置，表示体系位置的参变量数与体系的自由度数也是相等的所以，该体系的自由度数为１个是相等的所以，该体系的自由度数为１个 平面内最简体系的自由度数：平面内最简体系的自由度数： 一个点：在平面内运动完全不受限制的 一个点：在平面内运动完全不受限制的一个点有一个点有２个自由度２个自由度 一个刚片：在平面内运动完全不受限制的 一个刚片：在平面内运动完全不受限制的一个刚一个刚片有３个自由度片有３个自由度图２-2-1-2-1）） 二、约束概念二、约束概念 当对体系添加了某些装置后，限制了体系的某些 当对体系添加了某些装置后，限制了体系的某些方向的运动，使体系原有的自由度数减少，就说这方向的运动，使体系原有的自由度数减少，就说这些装置是加在体系上的约束些装置是加在体系上的约束约束，是能减少体系约束，是能减少体系自由度数的装置自由度数的装置。
１、单约束（见图２１、单约束（见图２-2-2-2-2）） 连接两个物体（刚片或点）的约束叫单约束 连接两个物体（刚片或点）的约束叫单约束１）单链杆（链杆）（上图）１）单链杆（链杆）（上图） 一根单链杆或一个可动铰（一根支座链杆）具 一根单链杆或一个可动铰（一根支座链杆）具有１个约束有１个约束２）单铰（下图）２）单铰（下图） 一个单铰或一个固定铰支座（两个支座链杆） 一个单铰或一个固定铰支座（两个支座链杆）具有两个约束具有两个约束３）单刚结点３）单刚结点 一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束 一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束 ２、复约束２、复约束 连接３个（含３个）以上物体的约束叫复约束 连接３个（含３个）以上物体的约束叫复约束１）复链杆：若一个复链杆上连接了Ｎ个结点，则１）复链杆：若一个复链杆上连接了Ｎ个结点，则该复链杆具有该复链杆具有(2(2N-3)N-3)个约束，等于个约束，等于(2(2N-3)N-3)个链杆的个链杆的作用２）复铰：若一个复铰上连接了Ｎ个刚片，则该复２）复铰：若一个复铰上连接了Ｎ个刚片，则该复铰具有铰具有2(2(N-1)N-1)个约束，等于个约束，等于( (N-1)N-1)个单铰的作用。
个单铰的作用 三、多余约束三、多余约束 在体系上加上或撤除某一约束并不改变原体系的 在体系上加上或撤除某一约束并不改变原体系的自由度数，则该约束就是多余约束自由度数，则该约束就是多余约束 §2-3§2-3 平面体系的几何组成分析 平面体系的几何组成分析 一、几何不变体系的简单组成规则一、几何不变体系的简单组成规则规则一 （两刚片规则）：（图规则一 （两刚片规则）：（图2-3-12-3-1）） 两个刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆 两个刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系相连，组成无多余约束的几何不变体系 或：两个刚片用一个单铰和杆轴不过该铰铰心的 或：两个刚片用一个单铰和杆轴不过该铰铰心的一根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系一根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系＊虚铰的概念：＊虚铰的概念： 虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的虚铰 虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的虚铰的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延长线交于的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延长线交于一点 当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时，两个刚 当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时，两个刚片绕该交点（瞬时中心，简称瞬心）作相对转动。
片绕该交点（瞬时中心，简称瞬心）作相对转动 从微小运动角度考虑，虚铰的作用相当于在瞬时从微小运动角度考虑，虚铰的作用相当于在瞬时中心的一个实铰的作用中心的一个实铰的作用 规则二 （三刚片规则）：规则二 （三刚片规则）： 三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰（可三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰（可以是虚铰）两两相连，组成无多余约束的几何不变以是虚铰）两两相连，组成无多余约束的几何不变体系 ＊铰接三角形规则（简称三角形规则）：＊铰接三角形规则（简称三角形规则）： 平面内一个铰接三角形是无多余约束的几何不变平面内一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系 以上三个规则可互相变换之所以用以上三种以上三个规则可互相变换之所以用以上三种不同的表达方式，是为了在具体的几何组成分析中不同的表达方式，是为了在具体的几何组成分析中应用方便，表达简捷应用方便，表达简捷规则三 （二元体规则）：规则三 （二元体规则）： 二元体特性：在体系上加上或拆去一个二元体，二元体特性：在体系上加上或拆去一个二元体，不改变体系原有的自由度数不改变体系原有的自由度数。
利用二元体规则简化体系，使体系的几何组成分 利用二元体规则简化体系，使体系的几何组成分析简单明了析简单明了 例例2-3-12-3-1 对下列图示各体系作几何组成分析 对下列图示各体系作几何组成分析 ( (简单简单规则的一般应用方法规则的一般应用方法) ) 二、瞬变体系二、瞬变体系的概念的概念 １、瞬变体 １、瞬变体系几何组成特系几何组成特征：征： 在在微小荷载微小荷载作用下发生瞬作用下发生瞬间的微小的刚间的微小的刚体几何变形，体几何变形，然后便成为几然后便成为几何不变体系何不变体系 ２、瞬变体系的静力２、瞬变体系的静力特性：特性： 在微小荷载作用下 在微小荷载作用下可产生无穷大内力可产生无穷大内力因此，瞬变体系或接因此，瞬变体系或接近瞬变的体系都是严近瞬变的体系都是严禁作为结构使用的禁作为结构使用的 瞬变体系一般是总 瞬变体系一般是总约束数满足但约束方约束数满足但约束方式不满足规则的一类式不满足规则的一类体系，是特殊的几何体系，是特殊的几何可变体系可变体系 F FNAB NAB =F=FNAC NAC =F=FP P 2 2F FN Nsinsinaa=F=FP PF FN N =F=FP P /(2/(2 sinsinaa ) ) 例例2-3-2 2-3-2 对下列图示体系作几何组成分析（说明对下列图示体系作几何组成分析（说明刚片和约束的恰当选择的影响）刚片和约束的恰当选择的影响）. . 三、三个刚片的三个单铰有无穷远虚铰情况：三、三个刚片的三个单铰有无穷远虚铰情况： 两个平行链杆构成沿平行方向上的无穷远虚铰。
两个平行链杆构成沿平行方向上的无穷远虚铰 三个刚片由三个单铰两两相连，若三个铰都有交 三个刚片由三个单铰两两相连，若三个铰都有交点，容易由三个铰的位置得出体系几何组成的结论点，容易由三个铰的位置得出体系几何组成的结论当三个单铰中有或者全部为无穷远虚铰时，可由分当三个单铰中有或者全部为无穷远虚铰时，可由分析得出以下依据和结论：析得出以下依据和结论： １、当有一个无穷远虚铰时，若另两个铰心的连 １、当有一个无穷远虚铰时，若另两个铰心的连线与该无穷远虚铰方向不平行，体系几何不变；若线与该无穷远虚铰方向不平行，体系几何不变；若平行，体系瞬变平行，体系瞬变 ２、当有两个无穷远虚铰时，若两个无穷远虚铰 ２、当有两个无穷远虚铰时，若两个无穷远虚铰的方向相互不平行，体系几何不变；若平行，体系的方向相互不平行，体系几何不变；若平行，体系瞬变 ３、当有三个无穷远虚铰时，体系瞬变３、当有三个无穷远虚铰时，体系瞬变 例例2-3-32-3-3 对下列图示体系作几何组成分析 对下列图示体系作几何组成分析 例例2-3-42-3-4 对图示各体系作几何组成分析 对图示各体系作几何组成分析 四、有多余约束的几何不变体系：四、有多余约束的几何不变体系： 拆除约束法：去掉体系的某些约束，使其成为无 拆除约束法：去掉体系的某些约束，使其成为无多余约束的几何不变体系，则去掉的约束数即是体多余约束的几何不变体系，则去掉的约束数即是体系的多余约束数。
系的多余约束数 １、切断一根链杆或去掉一个支座链杆，相当去 １、切断一根链杆或去掉一个支座链杆，相当去掉一个约束；掉一个约束； ２、切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当 ２、切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当去掉两个约束；去掉两个约束； ３、切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当 ３、切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当去掉三个约束；去掉三个约束； ４、在连续杆（梁式杆）上加一个单铰，相当去 ４、在连续杆（梁式杆）上加一个单铰，相当去掉一个约束掉一个约束 例例2-3-52-3-5 对图示各体系作几何组成分析 对图示各体系作几何组成分析 第二章 小 结第二章 小 结一、本章要求一、本章要求 １、了解几何不变体系、几何可变体系、瞬变体 １、了解几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系、刚片、体系的自由度、虚铰、约束及多余约束系、刚片、体系的自由度、虚铰、约束及多余约束的概念；的概念； ２、重点理解并掌握平面几何不变体系的简单组２、重点理解并掌握平面几何不变体系的简单组成规则，并能灵活应用到对体系的分析中；成规则，并能灵活应用到对体系的分析中；二、简单规则应用要点二、简单规则应用要点 简单规则中的四个要素：刚片个数、约束个数、 简单规则中的四个要素：刚片个数、约束个数、约束方式、结论。
约束方式、结论 应用简单规则对体系进行几何组成分析的要点是： 应用简单规则对体系进行几何组成分析的要点是：紧扣规则即，将体系简化或分步取为两个或三个紧扣规则即，将体系简化或分步取为两个或三个刚片，由相应的规则进行分析；分析过程中，规则刚片，由相应的规则进行分析；分析过程中，规则中的四个要素均要明确表达，缺一不可中的四个要素均要明确表达，缺一不可 三、对体系作几何组成分析的一般途径三、对体系作几何组成分析的一般途径１、恰当灵活地确定体系中的刚片和约束１、恰当灵活地确定体系中的刚片和约束 体系中的单个杆件、折杆、曲杆或已确定的几何 体系中的单个杆件、折杆、曲杆或已确定的几何不变体系，一般视为刚片但当它们中若有用两个不变体系，一般视为刚片但当它们中若有用两个铰与体系的其它部分连接时，则可用一根过两铰心铰与体系的其它部分连接时，则可用一根过两铰心的链杆代替，视其为一根链杆的作用的链杆代替，视其为一根链杆的作用２、如果上部体系与大地的连接符合两个刚片的规２、如果上部体系与大地的连接符合两个刚片的规则，则可去掉与大地的约束，只分析上部体系则，则可去掉与大地的约束，只分析上部体系３、通过依次从外部拆除二元体或从内部（基础、３、通过依次从外部拆除二元体或从内部（基础、基本三角形）加二元体的方法，简化体系后再作分基本三角形）加二元体的方法，简化体系后再作分析。
析 第一部分 静定结构内力计算第一部分 静定结构内力计算 静定结构的特性：静定结构的特性： １、几何组成特性 １、几何组成特性 ２、静力特性 ２、静力特性 静定结构的内力计算依据静力平衡原理静定结构的内力计算依据静力平衡原理 第三章 静定梁和静定刚架第三章 静定梁和静定刚架 §3-1 单 跨 静 定 梁单 跨 静 定 梁 单跨静定梁的类型：简支梁、伸臂梁、悬臂梁单跨静定梁的类型：简支梁、伸臂梁、悬臂梁一、截面法求某一指定截面的内力一、截面法求某一指定截面的内力 １、内力概念１、内力概念 内力是结构承受荷载及变形的能力的体现，可理内力是结构承受荷载及变形的能力的体现，可理解为在各种外因用下结构内部材料的一种响应内解为在各种外因用下结构内部材料的一种响应内力是看不见的，但可由结构上受有荷载和结构发生力是看不见的，但可由结构上受有荷载和结构发生变形（变形体）体现变形（变形体）体现２、截面法２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该截面截开，使结构成两部分；在截轴垂直方向将该截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代替原相互的约束。
开后暴露的截面上用力（内力）代替原相互的约束 对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成 对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，由任一部分的静力平衡条件，均可为外力，因此，由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程解该方程即将列出含有截面内力的静力平衡方程解该方程即将内力求出内力求出 ３、截面内力３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量）， 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力Ｆ即：轴力ＦN N 、、剪力Ｆ剪力ＦQ Q和弯矩和弯矩Μ Μ １、１、内力的定义内力的定义ＦＦN N：：截面上平行于截面外法线方向的正应力的代数截面上平行于截面外法线方向的正应力的代数和，一般以受拉为正和，一般以受拉为正ＦＦQ Q：：截面上垂直于截面法截面上垂直于截面法 线方向的切应力的代数和，线方向的切应力的代数和，以使隔离体产生顺时针转以使隔离体产生顺时针转动为正 ΜΜ：：截面上正应力对截面截面上正应力对截面中性轴的力矩代数和，对中性轴的力矩代数和，对 梁一般规定使其下部受拉梁一般规定使其下部受拉为正。
为正 ２）２）内力计算式内力计算式（用截面一侧上外力表达的方式）：（用截面一侧上外力表达的方式）：ＦＦN N＝＝截面一侧所有外力在杆轴平行方向上投影截面一侧所有外力在杆轴平行方向上投影 的代数和左左为正，右右为正的代数和左左为正，右右为正ＦＦQ Q＝＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代 数和左上为正，右下为正左上为正，右下为正 Μ Μ ＝＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和弯弯 矩的竖标画在杆件受拉一侧矩的竖标画在杆件受拉一侧 例例3-1-13-1-1 求图（ 求图（a a））所示简支梁在图示荷载下截所示简支梁在图示荷载下截面的内力面的内力解：解：1 1）支座反力）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100×(4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－－60kN (← )由 由 ∑ＦＦy= 0 校校核，满足。
核，满足 ２）Ｃ截面内力２）Ｃ截面内力∑ＦＦx=0 ＦＦNC－－60=0 ＦＦNC=60 kN ∑ＦＦy=0 ＦＦQC－－60+10×1.5 =0 Ｆ ＦQC=45kN∑ΜC=0 ΜC－－60×1.5－－10×1.5×(1.5/2)=0 ΜC＝＝101.25 kNm （（下侧受拉）下侧受拉） １）计算支座反力 １）计算支座反力 去掉梁的支座约束，代以支座约束反力，并假定 去掉梁的支座约束，代以支座约束反力，并假定反力的方向，建立梁的整体平衡方程反力的方向，建立梁的整体平衡方程２）求２）求C C截面的内力截面的内力 切开过 切开过C C点的横截面，将梁分成两部分取左侧部点的横截面，将梁分成两部分取左侧部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向将分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向将内力示出，建立静力平衡方程内力示出，建立静力平衡方程 说明：计算内力要点：说明：计算内力要点：１）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取１）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断并代以约束力、内力。
并代以约束力、内力２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向，２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向，由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向，由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向，并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方向３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取其一，一般按其上外力最简原则选择截面内力均其一，一般按其上外力最简原则选择截面内力均按规定的正方向画出按规定的正方向画出二、荷载与内力的关系 二、荷载与内力的关系 １、内力图概念１、内力图概念 表示结构上所有截面的轴力、剪力和弯矩分布的 表示结构上所有截面的轴力、剪力和弯矩分布的图形称为内力图图形称为内力图 作内力图的最基本的方法是，按内力函数作内作内力图的最基本的方法是，按内力函数作内力图 １）建立表示截面位置的１）建立表示截面位置的x坐标坐标２）取２）取x处的（即处的（即K截面）以右部分建立平衡方程 截面）以右部分建立平衡方程 ∑ＦＦy= 0 得梁ＡＣ段的剪力函数： 得梁ＡＣ段的剪力函数： FQk＝＝70-20x ( 0≤x≤4) 梁ＡＣ段的剪力图是一条斜直线，取该区段内任梁ＡＣ段的剪力图是一条斜直线，取该区段内任意两截面的座标值代入函数，既可画出该区段的剪意两截面的座标值代入函数，既可画出该区段的剪力图。
内力函数是分段的连续函数内力函数是分段的连续函数 ２、荷载与内力的关系２、荷载与内力的关系微分关系：微分关系： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy增量关系：增量关系： D DFN=-FPx D DFQ=-FPy D DM=m １）微分关系及几何意义：１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy（１）在无荷载区段，Ｆ（１）在无荷载区段，ＦQ Q图为水平直线；图为水平直线； 当Ｆ当ＦQ Q≠≠００时，时，ΜΜ图为斜直线图为斜直线; ; 当Ｆ当ＦQ Q＝０＝０时，时，ΜΜ图为水平直线图为水平直线２）在均布荷载区段，Ｆ（２）在均布荷载区段，ＦQ Q图为斜直线；图为斜直线；ΜΜ图为抛图为抛 物线，且凸向与荷载指向相同物线，且凸向与荷载指向相同。
２２) ) 增量关系及几何意义增量关系及几何意义：： D DFN=-FPx D DFQ=-FPy D DM=m( (１）水平集中力１）水平集中力F FPxPx作用点两侧截面作用点两侧截面F FN N图有突变，图有突变， 其突变值等于其突变值等于F FPxPxF FQ Q图和图和ΜΜ图不受影响图不受影响２）竖向集中力（２）竖向集中力F FPyPy作用点两侧截面作用点两侧截面F FQ Q图有突变，图有突变， 其突变值等于其突变值等于F FPyPyΜΜ图有折点，其折点的尖角与图有折点，其折点的尖角与 F FPyPy方向相同；方向相同；F FN N图不受影响图不受影响３）集中力偶（３）集中力偶ΜΜ作用点两侧截面的作用点两侧截面的ΜΜ图有突变，图有突变， 其突变值等于其突变值等于ΜΜ；；F FN N图和图和F FQ Q图不受影响图不受影响 ３、利用荷载和内力关系的几何意义３、利用荷载和内力关系的几何意义, ,可由荷载的可由荷载的分布和类型定性地判断或校核区段上的内力图形状分布和类型定性地判断或校核区段上的内力图形状以及突变点和突变值的大小。
以及突变点和突变值的大小 三、叠加法作弯矩图三、叠加法作弯矩图1 1、简支梁的弯矩图叠加法、简支梁的弯矩图叠加法 ２、弯矩图叠加的实质：２、弯矩图叠加的实质： 指弯矩竖标的叠加（而不是图形的简单叠加）， 指弯矩竖标的叠加（而不是图形的简单叠加），当同一截面在两个弯矩竖标在基线不同侧时，叠加当同一截面在两个弯矩竖标在基线不同侧时，叠加后是两个竖标绝对值相减，弯矩竖标画在绝对值大后是两个竖标绝对值相减，弯矩竖标画在绝对值大的一侧；当两个竖标在基线同一侧时，则叠加后是的一侧；当两个竖标在基线同一侧时，则叠加后是两个竖标绝对值相加，竖标画在同侧两个竖标绝对值相加，竖标画在同侧 基线接力法概念 基线接力法概念３、直杆段弯矩图的区段叠加法３、直杆段弯矩图的区段叠加法直杆区段的弯矩图叠加可利用简支梁的弯矩图叠加直杆区段的弯矩图叠加可利用简支梁的弯矩图叠加法其步骤是：法其步骤是：（１）计算直杆区段两端的最后弯矩值，以杆轴为（１）计算直杆区段两端的最后弯矩值，以杆轴为基线画出这两个值的竖标，并将两竖标连一直线；基线画出这两个值的竖标，并将两竖标连一直线；（２）将所连直线作为新的基线，叠加相应简支梁（２）将所连直线作为新的基线，叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。
在跨间荷载作用下的弯矩图 例例3-1-23-1-2 作图示简支梁的内力图 作图示简支梁的内力图解：（１）求支座反力解：（１）求支座反力 （２）求控制截面内力 （２）求控制截面内力取截面Ｃ以左：取截面Ｃ以左： F FQCQC=70-20×4==70-20×4=－－1010 kN kN M MC C=70×4=70×4－－20×4×2=120kNm (20×4×2=120kNm (下侧受拉下侧受拉) ) 取截面Ｄ取截面ＤＲＲ以右：以右： ＦＦQDBQDB＝－＝－50kN50kN Μ ΜＤＤB B＝＝50×50×２＝２＝100kNm 100kNm ( (下侧下侧受拉受拉) )取截面Ｄ取截面ＤＬＬ以右：以右： ＦＦQDCQDC＝－＝－5050＋＋4040＝－＝－10kN10kN(3(3））作内力图作内力图 区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩；区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩；ΜΜE E＝＝20×420×42 2/8/8＋＋120/2120/2＝＝100kNm (100kNm (下侧受拉下侧受拉) )ΜΜＤＤ＝＝40×4/440×4/4＋＋120/2120/2＝＝100100kNm kNm ( (下侧受拉下侧受拉) )说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 内力应考虑分两侧截面分别计算。
内力应考虑分两侧截面分别计算 例例3-1-3 3-1-3 求作图示伸臂梁的Ｆ求作图示伸臂梁的ＦＱＱ、Ｍ图 分析：仅有竖向荷载作用时，梁的内力只有弯矩和剪 分析：仅有竖向荷载作用时，梁的内力只有弯矩和剪 力剪力图的控制截面在Ｃ、Ｄ力剪力图的控制截面在Ｃ、ＤＬＬ和Ｄ和ＤＲＲ，而弯矩 ，而弯矩 图取截面Ｃ即可，综合考虑，取控制截面为截面Ｃ、 图取截面Ｃ即可，综合考虑，取控制截面为截面Ｃ、 ＤＤＬＬ和Ｄ和ＤＲＲ 解：（１）支座反力解：（１）支座反力 梁的整体平衡方程 梁的整体平衡方程∑∑ΜΜＡＡ=0 =0 F FＢＢy y=140.67 =140.67 kNkN(↑) (↑) ∑Μ∑ΜＢＢ=0 =0 F FＡＡy y=27.33=27.33 kN kN (↑) (↑) ∑∑ＦＦx x=0 =0 F FＡＡx x= 36= 36 kN kN (→) (→) 由由∑∑ＦＦy y=0=0 校核，校核，满足2 2）计算控制截面的剪）计算控制截面的剪力并作力并作F FQ Q图图取支座Ｂ以左：取支座Ｂ以左： F FQBCQBC= 60×4/5= 48= 60×4/5= 48 kN kN取支座Ｂ以左：取支座Ｂ以左：F FQBDQBD = 60×4/5 = 60×4/5 –140.67–140.67 = = －－ 92.67 92.67 kNkN (3) (3) 计算控制截面的弯矩并作Ｍ图计算控制截面的弯矩并作Ｍ图取截面Ｃ取截面ＣL L以左：以左： ＭＭＣＡＣＡ＝＝27.33×427.33×4－－20×4×2=20×4×2=－－50.68 50.68 kNmkNm ( (上侧受拉上侧受拉) )取截面Ｃ取截面ＣR R以左：以左： ＭＭＣＣB B＝＝27.33×427.33×4－－20×4×2+100 =49.3220×4×2+100 =49.32 kNm kNm ( (下侧受拉下侧受拉) )取截面取截面B B以右：以右： ＭＭＣＣB B＝＝ＭＭＣＣB B=60×4×2/5 =96=60×4×2/5 =96 kNm kNm ( (上侧受拉）上侧受拉） 例例3-1-43-1-4 比较图示斜梁和 比较图示斜梁和简支梁的异同。
简支梁的异同分析：分析：（１）（１）支座反力相同支座反力相同２）两梁的内力由内力函 （２）两梁的内力由内力函 数比较数比较简支梁：简支梁：F F0 0NxNx=0=0 F F0 0QxQx= =qlql/2/2－－qxqx M M0 0x x= =qlxqlx/2/2－－qxqx2 2/2/2斜斜梁梁: : F FNxNx= = －－( (qlql/2qx)/2qx)sinsina a = = －－ F F0 0Qx Qx sinsina a F FQxQx=(=(qlql/2/2－－qxqx) )coscosa a = F= F0 0QxQx coscosa a M Mx x= =qlxqlx/2/2－－qxqx2 2/2/2 = M= M0 0x x 单跨静定梁小结单跨静定梁小结要求：要求： １）理解内力、内力图的概念； １）理解内力、内力图的概念； ２）了解梁的主要受力、变形特点； ２）了解梁的主要受力、变形特点； ３）理解并掌握截面法计算内力的方法； ３）理解并掌握截面法计算内力的方法； ４）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图。
４）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图本节难点及重点：本节难点及重点： １）内力正、负号的判断； １）内力正、负号的判断； ２）叠加法做弯矩图 ２）叠加法做弯矩图 §3-2§3-2 多跨静定梁 多跨静定梁 多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直杆件与大地一起构成的结构直杆件与大地一起构成的结构一、多跨静定梁的组成及传力特征一、多跨静定梁的组成及传力特征 对上图所示梁进行几何组成分析： 对上图所示梁进行几何组成分析： ＡＤ杆与大地按两个刚片的规则组成无多余约 ＡＤ杆与大地按两个刚片的规则组成无多余约束的几何不变体，可独立承受荷载；然后杆ＤＦ和束的几何不变体，可独立承受荷载；然后杆ＤＦ和杆ＦＧ也分别按两个刚片的规则依次扩大先前已形杆ＦＧ也分别按两个刚片的规则依次扩大先前已形成的几何不变体显然，杆ＤＦ是依赖于Ｄ以右的成的几何不变体显然，杆ＤＦ是依赖于Ｄ以右的部分才能承受荷载，而杆ＦＧ是依赖于Ｆ以右的部部分才能承受荷载，而杆ＦＧ是依赖于Ｆ以右的部分才能承受荷载的或者说，杆ＦＧ被杆ＤＦ支承，分才能承受荷载的。
或者说，杆ＦＧ被杆ＤＦ支承，杆ＤＦ被杆ＡＤ支承根据各杆之间这种依赖、支杆ＤＦ被杆ＡＤ支承根据各杆之间这种依赖、支承关系，引入以下两个概念：承关系，引入以下两个概念： 基本部分基本部分：： 结构中不依赖于其它部分而独立结构中不依赖于其它部分而独立与大地形成几何不变的部分与大地形成几何不变的部分 附属部分附属部分：： 结构中依赖基本部分的支承才能结构中依赖基本部分的支承才能保持几何不变的部分保持几何不变的部分 把结构中各部分之间的这种依赖、支承关系形象把结构中各部分之间的这种依赖、支承关系形象的画成如图示的的画成如图示的层叠图层叠图，可以清楚的看出，可以清楚的看出多跨静定多跨静定梁所梁所具有具有的的如下如下特征特征：： １１) ) 组成顺序：先基本部分组成顺序：先基本部分，后，后附属部分附属部分；； ２２) ) 传力顺序：先附属部分，后基本部分传力顺序：先附属部分，后基本部分 由于这种多跨静定梁的层叠图象阶梯，可称为由于这种多跨静定梁的层叠图象阶梯，可称为阶梯形多跨静定梁阶梯形多跨静定梁 二、二、 多跨静定梁的内力计算多跨静定梁的内力计算 多跨静定梁的内力总能由静力平衡条件求出。
关 多跨静定梁的内力总能由静力平衡条件求出关键是按怎样的途径使计算概念清晰、简明键是按怎样的途径使计算概念清晰、简明 例 例3-2-13-2-1 计算图示多跨静定梁，并作内力图 计算图示多跨静定梁，并作内力图 解：按层叠图依次取各单跨梁计算解：按层叠图依次取各单跨梁计算∑MA=0 FCy×4+(10－－5×√2×√2/2)×6+20=0 FCy=－－12.5kN (↓)∑MC=０ ０ FAy×4－－20+(5×√2×√2/2－－10)×2=0 FAy=7.5 kN (↑)∑Fx= 0 FAx+5×√2×√2/2=0 FAx=－－5kN (←) 说明： 说明： （１）按层叠图从上往下的顺序，画各单跨梁的受（１）按层叠图从上往下的顺序，画各单跨梁的受力图，并按这个顺序逐一计算各单跨梁的约束力力图，并按这个顺序逐一计算各单跨梁的约束力 杆ＦＧ的约束力有３个，如简支梁的计算杆ＦＧ的约束力有３个，如简支梁的计算 杆ＤＦ上没有直接作用的外荷载（注意铰Ｄ上作杆ＤＦ上没有直接作用的外荷载（注意铰Ｄ上作用的集中荷载用的集中荷载F FP P可放在铰的任意侧），但在Ｆ处有可放在铰的任意侧），但在Ｆ处有杆ＦＧ部分传来的已知约束力杆ＦＧ部分传来的已知约束力F FPyPy。
该杆的计算相当该杆的计算相当于伸臂梁的计算，其上的荷载即是由其上的附属部于伸臂梁的计算，其上的荷载即是由其上的附属部分由约束处传来的已知约束力分由约束处传来的已知约束力 杆ＡＤ是整个梁的基本部分，有三个与大地相连杆ＡＤ是整个梁的基本部分，有三个与大地相连的待求的支座约束力，其上除了有在Ｄ处由Ｄ以右的待求的支座约束力，其上除了有在Ｄ处由Ｄ以右部分传来的已知约束力，还有直接作用的外荷载部分传来的已知约束力，还有直接作用的外荷载F FP P 和和m m该杆仍是伸臂梁的计算该杆仍是伸臂梁的计算 （２）（２） 将所有单根梁的约束力求得后，即可将各单将所有单根梁的约束力求得后，即可将各单跨梁的内力图作出后汇集，也可先汇集成整体再一跨梁的内力图作出后汇集，也可先汇集成整体再一次作内力图注意ＡＣ段上集中力偶作用时弯矩图次作内力图注意ＡＣ段上集中力偶作用时弯矩图的叠加特点的叠加特点３）（３）当多跨静定梁的附属部分上有外荷载时，该当多跨静定梁的附属部分上有外荷载时，该外荷载将使该附属部分产生内力，并传给它以下的外荷载将使该附属部分产生内力，并传给它以下的基本部分使其也产生内力；当在其基本部分上有外基本部分使其也产生内力；当在其基本部分上有外荷载时，该外荷载仅使该基本部分（及以下）产生荷载时，该外荷载仅使该基本部分（及以下）产生内力，对其上的附属部分不产生内力内力，对其上的附属部分不产生内力。
例例3-2-23-2-2 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分别计算的条件，并作梁的别计算的条件，并作梁的F FQ Q、、M M图 分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖向平行力系一个平面平行力系只能列两个独立的向平行力系一个平面平行力系只能列两个独立的平衡方程，解两个未知数平衡方程，解两个未知数２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆，（２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆，当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的平衡所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可平衡所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可视为与杆ＡＢ同等的基本部分视为与杆ＡＢ同等的基本部分 解：（１）画层叠图解：（１）画层叠图 （２）计算各单跨梁的约束力 （２）计算各单跨梁的约束力 按层叠图以次画出各单跨梁的受力图，注意杆 按层叠图以次画出各单跨梁的受力图，注意杆ＢＣ在杆端只有竖向约束力，并按由上向下的顺序ＢＣ在杆端只有竖向约束力，并按由上向下的顺序分别计算分别计算３）作内力图（３）作内力图 说明：本例中杆ＢＣ是不直接与大地相连的杆件， 说明：本例中杆ＢＣ是不直接与大地相连的杆件， 称这类杆为称这类杆为有悬跨多跨静定梁有悬跨多跨静定梁。
当仅有竖向荷载作当仅有竖向荷载作用时，悬跨梁可视为附属部分；当是任意的一般荷用时，悬跨梁可视为附属部分；当是任意的一般荷载作用时，杆ＢＣ不能视为附属部分，杆ＣＥ部分载作用时，杆ＢＣ不能视为附属部分，杆ＣＥ部分也不能作为基本部分也不能作为基本部分 多跨静定梁小结多跨静定梁小结 了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点 了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程 计算要点：按先附属，后基本的顺序 计算要点：按先附属，后基本的顺序 §3-2§3-2 多跨静定梁 多跨静定梁 多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直杆件与大地一起构成的结构直杆件与大地一起构成的结构一、多跨静定梁的组成及传力特征一、多跨静定梁的组成及传力特征 对上图所示梁进行几何组成分析： 对上图所示梁进行几何组成分析： ＡＤ杆与大地按两个刚片的规则组成无多余约 ＡＤ杆与大地按两个刚片的规则组成无多余约束的几何不变体，可独立承受荷载；然后杆ＤＦ和束的几何不变体，可独立承受荷载；然后杆ＤＦ和杆ＦＧ也分别按两个刚片的规则依次扩大先前已形杆ＦＧ也分别按两个刚片的规则依次扩大先前已形成的几何不变体。
显然，杆ＤＦ是依赖于Ｄ以右的成的几何不变体显然，杆ＤＦ是依赖于Ｄ以右的部分才能承受荷载，而杆ＦＧ是依赖于Ｆ以右的部部分才能承受荷载，而杆ＦＧ是依赖于Ｆ以右的部分才能承受荷载的或者说，杆ＦＧ被杆ＤＦ支承，分才能承受荷载的或者说，杆ＦＧ被杆ＤＦ支承，杆ＤＦ被杆ＡＤ支承根据各杆之间这种依赖、支杆ＤＦ被杆ＡＤ支承根据各杆之间这种依赖、支承关系，引入以下两个概念：承关系，引入以下两个概念： 基本部分基本部分：： 结构中不依赖于其它部分而独立结构中不依赖于其它部分而独立与大地形成几何不变的部分与大地形成几何不变的部分 附属部分附属部分：： 结构中依赖基本部分的支承才能结构中依赖基本部分的支承才能保持几何不变的部分保持几何不变的部分 把结构中各部分之间的这种依赖、支承关系形象把结构中各部分之间的这种依赖、支承关系形象的画成如图示的的画成如图示的层叠图层叠图，可以清楚的看出，可以清楚的看出多跨静定多跨静定梁所梁所具有具有的的如下如下特征特征：： １１) ) 组成顺序：先基本部分组成顺序：先基本部分，后，后附属部分附属部分；； ２２) ) 传力顺序：先附属部分，后基本部分传力顺序：先附属部分，后基本部分。
由于这种多跨静定梁的层叠图象阶梯，可称为由于这种多跨静定梁的层叠图象阶梯，可称为阶梯形多跨静定梁阶梯形多跨静定梁 二、二、 多跨静定梁的内力计算多跨静定梁的内力计算 多跨静定梁的内力总能由静力平衡条件求出关 多跨静定梁的内力总能由静力平衡条件求出关键是按怎样的途径使计算概念清晰、简明键是按怎样的途径使计算概念清晰、简明 例 例3-2-13-2-1 计算图示多跨静定梁，并作内力图 计算图示多跨静定梁，并作内力图 解：按层叠图依次取各单跨梁计算解：按层叠图依次取各单跨梁计算∑MA=0 FCy×4+(10－－5×√2×√2/2)×6+20=0 FCy=－－12.5kN (↓)∑MC=０ ０ FAy×4－－20+(5×√2×√2/2－－10)×2=0 FAy=7.5 kN (↑)∑Fx= 0 FAx+5×√2×√2/2=0 FAx=－－5kN (←) 说明： 说明： （１）按层叠图从上往下的顺序，画各单跨梁的受（１）按层叠图从上往下的顺序，画各单跨梁的受力图，并按这个顺序逐一计算各单跨梁的约束力力图，并按这个顺序逐一计算各单跨梁的约束力。
杆ＦＧ的约束力有３个，如简支梁的计算杆ＦＧ的约束力有３个，如简支梁的计算 杆ＤＦ上没有直接作用的外荷载（注意铰Ｄ上作杆ＤＦ上没有直接作用的外荷载（注意铰Ｄ上作用的集中荷载用的集中荷载F FP P可放在铰的任意侧），但在Ｆ处有可放在铰的任意侧），但在Ｆ处有杆ＦＧ部分传来的已知约束力杆ＦＧ部分传来的已知约束力F FPyPy该杆的计算相当该杆的计算相当于伸臂梁的计算，其上的荷载即是由其上的附属部于伸臂梁的计算，其上的荷载即是由其上的附属部分由约束处传来的已知约束力分由约束处传来的已知约束力 杆ＡＤ是整个梁的基本部分，有三个与大地相连杆ＡＤ是整个梁的基本部分，有三个与大地相连的待求的支座约束力，其上除了有在Ｄ处由Ｄ以右的待求的支座约束力，其上除了有在Ｄ处由Ｄ以右部分传来的已知约束力，还有直接作用的外荷载部分传来的已知约束力，还有直接作用的外荷载F FP P 和和m m该杆仍是伸臂梁的计算该杆仍是伸臂梁的计算 （２）（２） 将所有单根梁的约束力求得后，即可将各单将所有单根梁的约束力求得后，即可将各单跨梁的内力图作出后汇集，也可先汇集成整体再一跨梁的内力图作出后汇集，也可先汇集成整体再一次作内力图。
注意ＡＣ段上集中力偶作用时弯矩图次作内力图注意ＡＣ段上集中力偶作用时弯矩图的叠加特点的叠加特点３）（３）当多跨静定梁的附属部分上有外荷载时，该当多跨静定梁的附属部分上有外荷载时，该外荷载将使该附属部分产生内力，并传给它以下的外荷载将使该附属部分产生内力，并传给它以下的基本部分使其也产生内力；当在其基本部分上有外基本部分使其也产生内力；当在其基本部分上有外荷载时，该外荷载仅使该基本部分（及以下）产生荷载时，该外荷载仅使该基本部分（及以下）产生内力，对其上的附属部分不产生内力内力，对其上的附属部分不产生内力 例例3-2-23-2-2 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分别计算的条件，并作梁的别计算的条件，并作梁的F FQ Q、、M M图 分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖向平行力系一个平面平行力系只能列两个独立的向平行力系一个平面平行力系只能列两个独立的平衡方程，解两个未知数平衡方程，解两个未知数２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆，（２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆，当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的平衡。
所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可平衡所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可视为与杆ＡＢ同等的基本部分视为与杆ＡＢ同等的基本部分 解：（１）画层叠图解：（１）画层叠图 （２）计算各单跨梁的约束力 （２）计算各单跨梁的约束力 按层叠图以次画出各单跨梁的受力图，注意杆 按层叠图以次画出各单跨梁的受力图，注意杆ＢＣ在杆端只有竖向约束力，并按由上向下的顺序ＢＣ在杆端只有竖向约束力，并按由上向下的顺序分别计算分别计算３）作内力图（３）作内力图 说明：本例中杆ＢＣ是不直接与大地相连的杆件， 说明：本例中杆ＢＣ是不直接与大地相连的杆件， 称这类杆为称这类杆为有悬跨多跨静定梁有悬跨多跨静定梁当仅有竖向荷载作当仅有竖向荷载作用时，悬跨梁可视为附属部分；当是任意的一般荷用时，悬跨梁可视为附属部分；当是任意的一般荷载作用时，杆ＢＣ不能视为附属部分，杆ＣＥ部分载作用时，杆ＢＣ不能视为附属部分，杆ＣＥ部分也不能作为基本部分也不能作为基本部分 多跨静定梁小结多跨静定梁小结 了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点 了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程。
多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程 计算要点：按先附属，后基本的顺序 计算要点：按先附属，后基本的顺序 §3-3§3-3 静定刚架 静定刚架 刚架一般指由若干横（梁或斜梁）杆、竖（柱）刚架一般指由若干横（梁或斜梁）杆、竖（柱）杆构成的，可围成较大空间的结构形式刚架的杆杆构成的，可围成较大空间的结构形式刚架的杆件是以弯曲变形为主的梁式杆为主刚架的特点在件是以弯曲变形为主的梁式杆为主刚架的特点在于它的刚结点刚架可按支座形式和几何构造特点于它的刚结点刚架可按支座形式和几何构造特点分为：分为： 简支刚架、悬臂刚架、三铰刚架和复合刚架简支刚架、悬臂刚架、三铰刚架和复合刚架 前三类是可仅用一次两各刚片或三个刚片的规前三类是可仅用一次两各刚片或三个刚片的规律组成的几何不变体，可统称为简单刚架；而最后律组成的几何不变体，可统称为简单刚架；而最后一类是多次用两各刚片或三个刚片的规律确定的几一类是多次用两各刚片或三个刚片的规律确定的几何不变体，将其称为复合刚架何不变体，将其称为复合刚架 显然，简单刚架的分析是复合刚架分析的基础。
显然，简单刚架的分析是复合刚架分析的基础 静定刚架的计算步骤：静定刚架的计算步骤：（１）计算支座反力（或约束力）；（１）计算支座反力（或约束力）；（２）计算杆端截面内力（简称杆端力）和控制截（２）计算杆端截面内力（简称杆端力）和控制截面内力；面内力；（３）画各内力图３）画各内力图例例3-3-1 3-3-1 计算图示静定刚架的内力，并作内力图计算图示静定刚架的内力，并作内力图分析：图示刚架由分析：图示刚架由3 3个支座个支座链杆按两个刚片的规则与大链杆按两个刚片的规则与大地相连，这种形式的刚架为地相连，这种形式的刚架为简单刚架由于其与简支梁简单刚架由于其与简支梁的支座类似，又可称简支刚的支座类似，又可称简支刚架 解：（１）求支座反力解：（１）求支座反力 由整体平衡由整体平衡：：∑MA=0 FDy×4－－40×２２ － －20×4×2＝＝0 FDy＝＝60kN (↑)∑MO=0 FAy×4－－40×2 ＋ ＋20×4×2＝＝0 FAy＝＝-20kN (↓)∑Fx=0 FAx－－20×4＝＝0 FAx＝＝80kN (←)由由 ∑ＦＦy= 0 校核，满足。
校核，满足 （（２）计算杆端力２）计算杆端力取取ABAB杆杆B B截面以下部分，计算该杆Ｂ端杆端力：截面以下部分，计算该杆Ｂ端杆端力： ∑∑F Fx x=0=0 F FQBAQBA+20×4+20×4－－80=0 80=0 F FQBAQBA=0=0 ∑ ∑F Fy y=0 F=0 FNBANBA-20=0 F-20=0 FNBANBA=20=20 kN kN ∑M∑MB B=0 M=0 MBABA+20×4×2-80×4=0 +20×4×2-80×4=0 M MBABA=160=160 kNm kNm ( (右侧受拉右侧受拉) ) 取取BDBD杆杆B B截面以右部分，计算该杆截面以右部分，计算该杆B B端杆端力：端杆端力：∑∑F Fx x=0=0 F FNBDNBD=0 =0 ∑∑F Fy y=0 F=0 FQBDQBD－－40+60=0 F40+60=0 FQBDQBD= =－－20kN 20kN ∑M∑MB B=0 M=0 MBDBD+40×2+40×2－－60×4=0 60×4=0 M MBDBD = 160 = 160 kNm kNm ( (下侧受拉下侧受拉) )由结点由结点B B校核 校核 ∑∑F Fx x=0=0 ∑∑F Fy y=0 ∑M=0 ∑MB B=0=0 满足。
满足 ３）绘制内力图３）绘制内力图 由已求得各杆端力，分别按各杆件作内力图 由已求得各杆端力，分别按各杆件作内力图弯矩图可由已知杆端弯矩，按直杆段的区段叠加法弯矩图可由已知杆端弯矩，按直杆段的区段叠加法作杆件的弯矩图作杆件的弯矩图说明：在刚架中，各杆件杆端是作为内力的控制截说明：在刚架中，各杆件杆端是作为内力的控制截面的杆端力，即杆端内力杆端力，即杆端内力 刚架的内力正负号规定同梁 刚架的内力正负号规定同梁 为了区分汇交于同一结点的不同杆端的杆端力， 为了区分汇交于同一结点的不同杆端的杆端力，用内力符号加两个下标（杆件两端结点编号）表示用内力符号加两个下标（杆件两端结点编号）表示杆端力如用杆端力如用M MBABA表示刚架中表示刚架中ABAB杆在杆在B B端的弯矩端的弯矩 例例3-3-2 3-3-2 计算图示悬臂刚架，并作内力图计算图示悬臂刚架，并作内力图分析：悬臂刚架的特点是，支座反力集中在刚架的 分析：悬臂刚架的特点是，支座反力集中在刚架的 一个杆端，因此可由截面的悬臂一侧部分的平衡条一个杆端，因此可由截面的悬臂一侧部分的平衡条件求出该截面的全部内力，即不需计算支座反力件求出该截面的全部内力，即不需计算支座反力。
1) 1) 计算各杆端弯矩，并作弯矩图计算各杆端弯矩，并作弯矩图 MBC=10×3×3/2=45 kNm ( 上侧受拉上侧受拉 ) MBD=5×2=10kNm ( 左侧受拉左侧受拉 ) MBA=10×3×3/2－－5×2=35kNm ( 左侧受拉左侧受拉 ) MA =10×6×3－－5×6=150kNm ( 左侧受拉左侧受拉 ) (2)2)计算各杆端剪力，并作剪力图计算各杆端剪力，并作剪力图：：FQBC=10×3 =30 kN FQBD=－－5 kN ∑MA＝＝0 FQBA×5+35+10×3×3/2=0FQBA=－－16 kN ∑MB＝＝0 FQAB×5－－150－－10×3×3/2=0 FQAB=39kN (3) (3) 计算各杆端轴力，并作计算各杆端轴力，并作轴力图：轴力图： 由结点Ｂ的平衡条件，建由结点Ｂ的平衡条件，建立沿ＡＢ杆方向的投影方程，立沿ＡＢ杆方向的投影方程，得：得：FNBA+5×3/5+30×4/5=0 FNBA=－－27kNFNAB+20+10×3×4/5=0 FNAB=－－44kN 说明： 本例计算和作内力图的过程是：弯矩图说明： 本例计算和作内力图的过程是：弯矩图→→剪力图剪力图→→轴力图。
当刚架上所有的外力已知时轴力图当刚架上所有的外力已知时先作弯矩图；再截开杆件两端取出杆件为隔离体，先作弯矩图；再截开杆件两端取出杆件为隔离体，对两杆端截面形心分别建立力矩方程求出杆端剪对两杆端截面形心分别建立力矩方程求出杆端剪力，作剪力图；最后取结点为隔离体，利用结点力，作剪力图；最后取结点为隔离体，利用结点的投影平衡方程求杆端轴力，作轴力图的投影平衡方程求杆端轴力，作轴力图 例例3-3-3 3-3-3 求图示三铰刚架的支座反力求图示三铰刚架的支座反力分析：三铰刚架共分析：三铰刚架共有四个支座反力，有四个支座反力，除了利用整体的三除了利用整体的三个平衡方程，还要个平衡方程，还要考虑铰Ｃ（两侧截考虑铰Ｃ（两侧截面）处弯矩为零的面）处弯矩为零的条件解：由刚架整体平衡条件：解：由刚架整体平衡条件：∑MA=0 FBx×2+FBy×4－－20×2×1 －－40×2－－10=0由铰Ｃ右侧由铰Ｃ右侧：： ∑MC＝＝0 FBx×2-FBy×2+10=0 整理后得关于支座Ｂ上两个支座反力的联立方程：整理后得关于支座Ｂ上两个支座反力的联立方程： FBx+2FBy-- 65=0 解得解得: : FBy = 23.33 kN (↑) FBx- FBy + 5 = 0 FBx = 18.33 kN (←) 再由刚架整体的平衡条件，求Ａ支座的两个支座反再由刚架整体的平衡条件，求Ａ支座的两个支座反力：力： ∑Fx=0 FAx=18.33－－40 =－－21.67 kN (←) ∑Fy=0 FBx=－－23.33+40=16.67 kN (↑) 说明：本例研究的三铰刚架的三个铰的相对位置说明：本例研究的三铰刚架的三个铰的相对位置可 以是任意的，因此是这类（有推力）结构的可 以是任意的，因此是这类（有推力）结构的一 般形式，它的支座反力的计算方法也具有一一 般形式，它的支座反力的计算方法也具有一般 性。
容易看出，本例求支座反力时必须解联般 性容易看出，本例求支座反力时必须解联立 方程本例采用的方法的原则是，集中先求立 方程本例采用的方法的原则是，集中先求一 个铰的两个约束力一 个铰的两个约束力即以另外两个铰的铰心即以另外两个铰的铰心为 矩心分别建立关于这两个约束力的二元一次为 矩心分别建立关于这两个约束力的二元一次联 立方程，求解后再计算其它铰处的约束力联 立方程，求解后再计算其它铰处的约束力 例例3-3-4 3-3-4 计算图示刚架，并作其弯矩图 计算图示刚架，并作其弯矩图分析：图示刚架是由基分析：图示刚架是由基本部分本部分AGFB AGFB 和附属部和附属部分分EDCEDC构成的复合刚架，构成的复合刚架，可按多跨静定梁先附属可按多跨静定梁先附属后基础的顺序计算后基础的顺序计算 解：（１）计算ＥＤＣ部分的约束力 解：（１）计算ＥＤＣ部分的约束力 ∑ME＝＝0 FCy=10×4×2/4=20 kN (↑) ∑Fx=0 FEx=10×4=40kN (↑) ∑Fy=0 FEy=－－FCy=－－20 kN (↓) (２）２）计算ＡＧＦＢ计算ＡＧＦＢ部分的约束力 部分的约束力 根据作用和反作根据作用和反作用定理，由上面得用定理，由上面得出的Ｅ铰处的约束出的Ｅ铰处的约束力要反向作用到Ａ力要反向作用到ＡＧＦＢ部分上按实ＧＦＢ部分上按实际方法示出。
际方法示出∑MA＝＝0 FBy=(20×4-40×4-30×6)/4=-65kN (↓) ∑MB＝＝0 FAy=(40×4 + 30×6)/4=85kN (↑) ∑Fx=0 FAx=70 kN (→)由 由 ∑Fy = 0 校核，满足校核，满足3) 作弯矩图作弯矩图 例例3-3-5 3-3-5 计算图示刚架，并作弯矩图计算图示刚架，并作弯矩图分析：这是复合刚架，基本部分为内部分析：这是复合刚架，基本部分为内部GKHDJC，，附属部分为两侧的三铰刚架附属部分为两侧的三铰刚架GIEAC和和HLFBD可可以看出，刚架及刚架上的外力（荷载和支座反力）以看出，刚架及刚架上的外力（荷载和支座反力）均对称于中间竖杆均对称于中间竖杆KJ容易分析出，刚架的内力也容易分析出，刚架的内力也对称于杆对称于杆KJ因此，计算杆因此，计算杆KJ及它的任一侧即可由及它的任一侧即可由对称性得知另一侧支座反力见图对称性得知另一侧支座反力见图 解：（１）求刚架内力解：（１）求刚架内力 计算计算GIEAC部分： 部分： ∑MC＝＝0 FGx=(qa2/2-2qa2)/(2a)=－－3qa/4kN (←) ∑MG＝＝0 FCx=-(qa /2-2qa2)/(2a)= 3qa /4 kN (→) 由铰Ｅ以下部分的平衡条件由铰Ｅ以下部分的平衡条件 ∑ME＝＝0 FC=FCx=3qa /4kN (↓) 由铰Ｅ以上部分的平衡条件由铰Ｅ以上部分的平衡条件 ∑ME＝＝0 FGy=－－FG－－qa/2=qa/4kN(↓) 由该部分的整体平衡条件 由该部分的整体平衡条件 ∑Fx=0 ∑Fy=0 校核，校核，满足。
满足３）计算杆端弯矩（３）计算杆端弯矩,作刚架弯矩图作刚架弯矩图 MIG＝＝qa2/4+qa2/2=3qa2/4 kN (上侧受拉上侧受拉) MKG＝＝qa2/4+qa2/2=－－qa2/4 kN (上侧受拉上侧受拉) 例例3-3-6 分析下列图 分析下列图示刚架 静定刚架 静定刚架 小 结小 结１、要求了解组成刚架的构件及构件的受力特征；１、要求了解组成刚架的构件及构件的受力特征；刚结点的传力、位移特征；简单刚架和复合刚架的刚结点的传力、位移特征；简单刚架和复合刚架的概念；内力正负号规定概念；内力正负号规定２、熟练掌握并能灵活地应用静力平衡条件计算简２、熟练掌握并能灵活地应用静力平衡条件计算简单刚架的内力，进一步巩固直杆的区段叠加法作弯单刚架的内力，进一步巩固直杆的区段叠加法作弯矩图的方法；掌握复合刚架的内力计算和内力图制矩图的方法；掌握复合刚架的内力计算和内力图制作方法、途径作方法、途径３、３、 刚架内力计算基本步骤：刚架内力计算基本步骤：（１）计算刚架的支座反力和约束力；（１）计算刚架的支座反力和约束力；（２）（２） 计算杆端力；计算杆端力；（３）（３） 作内力图（弯矩图作内力图（弯矩图→→剪力图剪力图→→轴力图）；轴力图）；（４）（４） 校核。
校核 第四章第四章 静 定 拱（实体三铰拱）静 定 拱（实体三铰拱） §§４－１ 概 述 ４－１ 概 述 一、一、 拱的概念拱的概念 拱的轴线一般是曲线形状，实体拱指由充满密实 拱的轴线一般是曲线形状，实体拱指由充满密实材料的杆构成的拱材料的杆构成的拱拱的受力特征是，在竖向荷载拱的受力特征是，在竖向荷载作用下可产生水平支座反力（水平推力作用下可产生水平支座反力（水平推力) )具有这类具有这类受力特征的结构称为有推力结构受力特征的结构称为有推力结构 二、拱的分类二、拱的分类１、按具有的铰的数量分类： １、按具有的铰的数量分类： 三铰拱、两铰拱、无铰拱 三铰拱、两铰拱、无铰拱２、按几何组成（或计算方法）分类： ２、按几何组成（或计算方法）分类： 静定拱：三铰拱、带拉杆三铰拱； 静定拱：三铰拱、带拉杆三铰拱； 超静定拱： 两铰拱、无铰拱 超静定拱： 两铰拱、无铰拱 §4-2§4-2 三铰拱的内力计算 三铰拱的内力计算 三铰拱的构造及各部名称，及相应于拱的简支梁三铰拱的构造及各部名称，及相应于拱的简支梁（相应简支梁）相应简支梁）。
一、 三铰拱的支座反力一、 三铰拱的支座反力（一）、三铰拱的支座反力（一）、三铰拱的支座反力 三铰拱的支座反力和三铰刚架支座反力的计算方 三铰拱的支座反力和三铰刚架支座反力的计算方法完全相同，即以其中两个铰分别建立力矩平衡方法完全相同，即以其中两个铰分别建立力矩平衡方程，集中计算剩下的一个铰的两个约束力的方法程，集中计算剩下的一个铰的两个约束力的方法 当三铰拱的两个底 当三铰拱的两个底铰在一条水平线上时，铰在一条水平线上时，其支座反力的计算常其支座反力的计算常采取如下步骤：采取如下步骤： １、由拱的整体平衡１、由拱的整体平衡条件求两个竖向支座条件求两个竖向支座反力；反力；２、由拱顶铰２、由拱顶铰C C任一侧任一侧的平衡条件，求在这的平衡条件，求在这一侧上的水平支座反一侧上的水平支座反力；力；３、３、再由拱的整体平再由拱的整体平衡条件，求另一水平衡条件，求另一水平支座反力支座反力 1、、∑MA=0 FByl–FP1a1–FP2a2–FP3a3 =0FBy=(FP1a1+FP2a2+FP3a3)/l (↑) (a) ∑MB=0 FAyl– FP1b1–FP2b2FP3b3=0FAy=(FP1b1+FP2b2+FP3b3)/l (↑) (b)２、２、∑MC=0 FByl2–FBxf –FP3(l2–b3)=0FBx=[FByl2–FP3(l2–b3)]/f (←) （（c)３、３、∑Fx=0 FBx–FAx=0 FAx=FBx=FH (d) 说明：上述计算底铰在一条水平线上的三铰拱支说明：上述计算底铰在一条水平线上的三铰拱支座反力的方法和步骤，适用于任意荷载作用下的座反力的方法和步骤，适用于任意荷载作用下的情况。
但两个底铰的水平反力相同仅是在只有竖情况但两个底铰的水平反力相同仅是在只有竖向荷载作用的情况下向荷载作用的情况下二）、三铰拱与相应简支梁的几个关系式：（二）、三铰拱与相应简支梁的几个关系式： 相应简支梁，指与拱的跨度、荷载相同的简支 相应简支梁，指与拱的跨度、荷载相同的简支梁容易得知三铰拱与相应简支梁的如下几个关梁容易得知三铰拱与相应简支梁的如下几个关系式：系式：FAy = F0Ay FBy= F0By FH=M0C/f (4-2-1)这三个关系式仅在只有竖向荷载作用下成立这三个关系式仅在只有竖向荷载作用下成立 由第三式分析，在拱上作用的荷载和拱的跨度 由第三式分析，在拱上作用的荷载和拱的跨度不变的条件下，不变的条件下，M M0 0C C是一个常数，是一个常数，F FH H与与 f f 得出，拱得出，拱的推力的推力F FH H与它的高跨比与它的高跨比 f / l f / l 有关，即当高跨比有关，即当高跨比f / lf / l越小（越大）越小（越大）, , 则水平推力则水平推力F FH H越大（越小）越大（越小） 二、拱的内力计算二、拱的内力计算 拱的任一截面上一般有三个内力（ 拱的任一截面上一般有三个内力（M, FM, FQ Q, F, FN N），），内力计算的基本方法仍是截面法。
与直杆件不同内力计算的基本方法仍是截面法与直杆件不同的是拱轴为曲线时，截面法线角度不断改变，截的是拱轴为曲线时，截面法线角度不断改变，截面上内力（面上内力（F FQ Q , F, FN N））的方向也相应改变的方向也相应改变例例4-2-1 4-2-1 已知图示三铰拱的拱轴方程为已知图示三铰拱的拱轴方程为y(x)=4fx(l－－x)/l2 ，，求支座反力及求支座反力及K K截面的内力截面的内力解：（１）求支座反力解：（１）求支座反力由拱的整体平衡条件：由拱的整体平衡条件：∑MA = 0 FBy×16 –10×12 –2×8×4 = 0 FBy = 11.5 kN (↑) ∑MB = 0 FAy×16 –10×4 –2×8×12 = 0 FAy = 14.5 kN (↑) 取铰Ｃ以右部分的平衡条件取铰Ｃ以右部分的平衡条件：： ∑MC = 0 FH ×4–FBy×8 + 10×4 = 0 FH = 13 kN (←) （２）（２）求Ｋ截面的内力求Ｋ截面的内力 取Ｋ截面以左部分： 取Ｋ截面以左部分：截面各内力均按正方向画截面各内力均按正方向画（注意：规定拱的轴力以受压为正；剪力和弯矩的（注意：规定拱的轴力以受压为正；剪力和弯矩的规定仍同前）规定仍同前）。
确定Ｋ截面位置参数确定Ｋ截面位置参数y yK K和和ααK K：： 将Ｋ截面坐标将Ｋ截面坐标 x = 4m 代入代入: : y(x)=4fx(l－－x)/l2和和tanαK=dy/dx=4f(l－－2x)/l2 得：得： yK=3m tanαK=0.5 则有则有: : αK=26.57° sinαK=0.447 cosαK =0.894建立隔离体的平衡方程，求Ｋ截面的内力：建立隔离体的平衡方程，求Ｋ截面的内力： 以截面Ｋ的外法线 以截面Ｋ的外法线n n和切向和切向ττ的方向分别建立投影的方向分别建立投影方程，求方程，求F FNKNK和和F FQKQK：： ∑Fn=0 FNK–(14.5–2×4)sinαK –13cosαK=0 FNK = 14.528 kN ( FNK = F0QK sinαK +FHcosαK) ∑Fτ=0 FQK–(14.5–2×4)cosαK+13sinαK=0 FQK = 0 ( FQK = F0QKcosαK–FH sinαK) 以Ｋ点为矩心的力矩平衡方程，求以Ｋ点为矩心的力矩平衡方程，求MK：： ∑MK=0 MK + 2×4×2 + 13×3–14.5×4 = 0 得：得： MK = 3 kNm ( 下侧受拉下侧受拉 ) ( MK = M0K–FH yK ) 说明：说明： 对照上述计算拱内力的三个方程式，可对照上述计算拱内力的三个方程式，可以写出如后面括号中三个内力表达式，即：以写出如后面括号中三个内力表达式，即： FNK = F0QK sinαK +FHcosαK FQK = FQKcosαK–FH sinαK （（4-2-2）） MK = M0K–FH yK 上上式可作为拱内力的计算公式用，特别是在作拱式可作为拱内力的计算公式用，特别是在作拱的内力图时。
但须注意以下几点：的内力图时但须注意以下几点：１、式（１、式（4-2-24-2-2）要在以拱的左底铰为原点的平面）要在以拱的左底铰为原点的平面直角坐标中应用，并仅考虑了竖向荷载的作用直角坐标中应用，并仅考虑了竖向荷载的作用２、式中２、式中ααK K 为所计算为所计算K K截面外法线截面外法线n n（或（或K K截面处截面处拱轴切线）与水平拱轴切线）与水平x x坐标的夹角如果取坐标的夹角如果取ααK K是与水是与水平方向的锐角考虑，则平方向的锐角考虑，则K K截面在左半拱时为正，在截面在左半拱时为正，在右半拱时为负右半拱时为负 ３、带拉杆的三铰拱，其支座反力可由整体的平衡３、带拉杆的三铰拱，其支座反力可由整体的平衡条件完全求得；水平推力由拉杆承受可将顶铰和条件完全求得；水平推力由拉杆承受可将顶铰和拉杆切开，取任一部分求出拉杆中的轴力拉杆切开，取任一部分求出拉杆中的轴力三、三、 拱的内力图特征拱的内力图特征１、拱的内力图特征１、拱的内力图特征由式（由式（4-2-24-2-2）分析，当拱轴为曲线时有：）分析，当拱轴为曲线时有：（１）不管拱轴区段上是否有分布荷载，拱的各内（１）不管拱轴区段上是否有分布荷载，拱的各内力图在区段上均为曲线形状；力图在区段上均为曲线形状；（２）（２） 在竖向集中力在竖向集中力F FP P作用点两侧截面，拱的轴力作用点两侧截面，拱的轴力和剪力有突变，突变值分别为 和剪力有突变，突变值分别为 F FP P sinα sinαK K 和和F FP P coscosααK K，，弯矩图在该点转折；在集中力偶Ｍ作用点两弯矩图在该点转折；在集中力偶Ｍ作用点两侧截面，弯矩有突变，突变值为Ｍ，轴力和剪力不侧截面，弯矩有突变，突变值为Ｍ，轴力和剪力不受影响。
受影响３）由于水平推力对拱的弯矩的影响，拱的弯矩（３）由于水平推力对拱的弯矩的影响，拱的弯矩与相应的简支梁的弯矩比较大大的减小与相应的简支梁的弯矩比较大大的减小 ２、拱的内力图的制作方法２、拱的内力图的制作方法 原则上是将拱沿其跨度平分成若干等份区段，分 原则上是将拱沿其跨度平分成若干等份区段，分别计算出每个等分点截面的内力值，然后将各点内别计算出每个等分点截面的内力值，然后将各点内力竖标顺序连以光滑曲线即可但要注意各内力图力竖标顺序连以光滑曲线即可但要注意各内力图上的突变和转折特征上的突变和转折特征 当只有竖向荷载作用时，拱轴上各等分点截面的 当只有竖向荷载作用时，拱轴上各等分点截面的内力计算，可利用式内力计算，可利用式（（4-2-2））制作适当的表格后，制作适当的表格后，再进行由表格表示的各项的计算再进行由表格表示的各项的计算 §4-3§4-3 拱的合理拱轴简介 拱的合理拱轴简介 由于拱的水平推力的作用，拱的弯矩与相应的由于拱的水平推力的作用，拱的弯矩与相应的简支梁相比大大减小，所以拱是以受压为主的结简支梁相比大大减小，所以拱是以受压为主的结构一、拱的合理拱轴概念：一、拱的合理拱轴概念： 在某一荷载作用下，沿拱轴所有截面上均无弯 在某一荷载作用下，沿拱轴所有截面上均无弯矩时的拱轴线称之。
矩时的拱轴线称之二、在竖向荷载下的合理拱轴线二、在竖向荷载下的合理拱轴线 根据拱的合理拱轴的概念，在竖向荷载下的合 根据拱的合理拱轴的概念，在竖向荷载下的合理拱轴线可由式（理拱轴线可由式（4-2-24-2-2）中的弯矩式得出，即由 ）中的弯矩式得出，即由 M MK K=M=M0 0K K–F–FH H y yK K 并令 并令 M MK K = =０ ０ 得：得： y yK K= M= M0 0K K/F/FH H （（4-3-4-3-1 1）） 例例4-3-14-3-1 求求图图示示三三铰铰拱拱的的合合理理拱拱轴轴线线方方程程，，并并分分析析其合理拱轴的形状其合理拱轴的形状 解：（１）求支座反力解：（１）求支座反力 由整体的平衡条件 由整体的平衡条件 ∑MB = 0 得：得： FAy×8－－FH×2－－20×6－－10×4×2=0 由Ｃ铰以左部分的平衡 由Ｃ铰以左部分的平衡 ∑MC = 0 得：得： FAy×4－－FH×4－－20×2=0 联立上两式：联立上两式： 4FAy－－FH－－100=0 FAy－－FH－－10=0 解得： 解得： FAy=30kN (↑) FH=20kN (→) （２）（２）建立以Ａ支座为原点的直角坐标，由式建立以Ａ支座为原点的直角坐标，由式y=M0/FH 分段写出拱的合理拱轴线方程分段写出拱的合理拱轴线方程: (0≤x≤2) y=(30/20)x=3x/2 (2≤x≤4) y=[30x－－20(x－－2)]/20=x/2＋＋2 (4≤x≤8) y=[(30x－－20(x－－2) －－10(x－－4)2/2]/20 =－－x2/4＋＋5x/2－－2上式即为竖向荷载作用下的合理拱轴线方程。
上式即为竖向荷载作用下的合理拱轴线方程 说明：由本例结果可知，三铰拱在竖向集中荷载说明：由本例结果可知，三铰拱在竖向集中荷载作 用下的的无荷载区段上，合理拱轴是一条作 用下的的无荷载区段上，合理拱轴是一条直线， 并在集中荷载作用点出现转折；在均直线， 并在集中荷载作用点出现转折；在均布荷载作 用区段上，合理拱轴是一条抛物线布荷载作 用区段上，合理拱轴是一条抛物线 拱的合理拱轴线的形状与相应的简支梁的 拱的合理拱轴线的形状与相应的简支梁的弯 矩图相似弯 矩图相似 静定拱 小结静定拱 小结一、、要求了解拱的受力特点；重点掌握两个底一、、要求了解拱的受力特点；重点掌握两个底铰在一条水平线上的三铰拱的支座反力的计算，铰在一条水平线上的三铰拱的支座反力的计算，及拱轴上指定截面的内力计算；了解拱的内力图及拱轴上指定截面的内力计算；了解拱的内力图的特征及制作方法的特征及制作方法二、应掌握拱在任意荷载下的计算，即不限于仅二、应掌握拱在任意荷载下的计算，即不限于仅有竖向荷载的情况拱的内力计算应建立有竖向荷载的情况拱的内力计算应建立在牢固掌握截面法的基础之上，而不只是运用公在牢固掌握截面法的基础之上，而不只是运用公式。
