空间曲线的切线与空间曲面的切平面.docx

第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面”x=x(t)设空间的曲线C由参数方程的形式给出：y=y(t),•、Z=Z(t)设tot(：，J,A(x(to),y(to),z(to)、B(x(ti),y(ti),z(ti))为曲线上两点,A,B的连线AB称为曲线C的割线，当B>A时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C在点A的切线.如果x=x(t),y=y(t),z=z(t)对于t的导数都连续且不全为零(即空间的曲线C为光滑曲线)，则曲线在点A切线是存在的•因为割线的方程为x—x(t°)_y—y(t°)_z—z(t°)x(tj-x(to)y(tj-y(to)z(ti)-z(to)也可以写为x—x(t)_y—y(t)_z—z(t)x(tj-x(to)y(tj-y(to)z(tj—z(to)t-tot-tot-to当B>A时，t>to，割线的方向向量的极限为J(to),y(to),z(to)1，此即为切线的方向向量，所以切线方程为X—x(to)_y—y(to)_z_z(to)x(to)一y(to)~z(to)•过点A(x(to),y(to),z(to)且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点A(x(to),y(to),z(to)的法平面，法平面方程为x'(to)(x-Xo)y'(to)(y-yo)z'(t°)(z-z°)=0如果空间的曲线C由方程为y=y(x),z=z(x)且y(xo),z(xo)存在，则曲线在点A(Xo,y(Xo),z(Xo)的切线是x-Xo1x-Xo1y-y(xo)y(xo)z-Z(Xo)z(Xo)法平面方程为(x-Xo)y(Xo)(y-y(Xo))z'(Xo)(z-z(Xo))=0如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组[F(x,y,z)=0,c:丿G(x,y,z)=0确定时,确定时,假设在A(xo,yo，Zo)有J£(F,G)点(y,z)a-0，在A(Xo,yo,zo)某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组｛G(x：z)：o‘在点A(xo,yo,zo)附近能确定隐函数y=y(x),z=z(x)有yo=y(xo),z°=z(xo)理=—丄”F,G),生=一1c(F,G)。

于是空间的曲线c在，dxJc(x,z)dxJc(y,x)点A(xo,y°，Zo)的切线是X-XZ-Zo1dydzdxadxAx—xoy—yoz—zo亘F,G)f(F,G)f(F,G)巩y,z)a召(z,x)af(x,y)A法平面方程为类似地，如果在点类似地，如果在点(x-Xo)A.XF,G)：：(z,x)(y-y)A工(F,G)级x,y)(z-zo)=0AA(X0，y0，z0)有號A-0时，我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式所以，当向量VaVa0F,G)级乙X)A：：(F,G)：'(x,y)时，空间的曲线C在A(x0,y0,z0)的切线的方向向量为r例6.32求曲线x=acos：,y=asin=,z=bd在点：i.-a,0,b二处的切线方程.解当v-二时，曲线过点-a,O,b二，曲线在此点的切线方向向量为；.-asinJ,acosv,bj》--"O,-a,bf,所以曲线的切线方程为x—x(t)y—y(t)z—z(t)0-abxayz-b二即0-ab.二、空间曲面的切平面与法线设曲面S的一般方程为F(x,y,z)=0取Po(xo，yo，z)为曲面S上一点，设F(x,y,z)在Po(x°,yo,Zo)的某邻域内具有连续偏导数，且F；(xo,y°,乙)•F；(xo,y°,Zo)•Fz2(xo,y°,zo)=0。

设c为曲面S上过Po(Xo,y°,Zo)的任意一条光滑曲线：X二x(t)c：

由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线若曲面S的方程的表示形式为z=f(x,y)，这时，容易得到S在Po(xo,yo,zo)的切平面方程为fx(Xo,yo)(x-x°)fy(x°,y°)(y-yo)-(z-z°)=O法线方程为(x-X)_(y-y)_(z-zo)fx(Xo,yo)fy(Xo,yo)-1我们知道，函数z二f(x,y)在点(xo,yo)可微，则由Taylor公式知f(x,y)-f(Xo,yo)=fx(Xo,y°)(x-Xo)fy(x°,y°)(y-y°)O(_(x-x°)2(y-y°)2)也就是说，函数z=f(x,y)在点(xo,y°)附近可以用S在Po(x°,yo,Zo)的切平面近似代替，误差为•.(x-Xo)2•(y-y°)2的高阶无穷小若曲面S的方程表示为参数形式x=x(u,v)S:

z=f(x,y)=z(u(x,y),v(x,y))由方程组丿x—x(u,v)，两边分别同时对x,y求偏导得到j=y(u,v)；:y_cv：x一：：(x,y)，一：：(x,y):：(u,v):：(u,v).x:x-：u__：：v竺=:：u：y~--：(x,y)：y~巡y)c(u,v)c(u,v)：:(y,z)fx二ZuU^ZuUyZvvy：：(u,v)/^(x,y)/£(u,v)：：(乙X)f(u,v)/e(x,y)/£(u,v)所以，S在P0(x°,Yo,z°)的切平面方程为£(y,z)£(u,v)(x-Xo)(Uo，Vo)：：(z,x)；：(U,v)(Uo，Vo)(y一Yo)：：(X,y)：：(u,v)(Z-Zo)=O(Uo，Vo)法线方程为x-xoy一yoz-zo久y,z)讯Z,x)£(x,y)讯u,v)(Uo,Vo)讯U,v)(Uo,vo)点(U,v)(Uo，Vo)x例6.33求曲面z=y•In在点(1,1,1)的切平面和法线方程z解曲面方程为xTF(x,y,z)ylnz=0，易得n={1,1,-2}z切面方程为(x一1)(y一1)_2(Z-1)=0即xy-2z=0.法线方程为x-1y-1z-11一1一-2习题6.61•求曲线x=acosacost,y=asinacost,z=asint在点t=t0处的切线和法平面方程.2.求曲线x2y2z2xyz=0=6在点（1,-2,1）处的切线和法平面方程.3.求曲面y=arctan±在点（1,1,二/4）的切平面和法线方程。

x4证明曲面3xyz=a（a0）上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值5.证明曲面z=xf（丫）上任意一点的切平面过一定点x第七节极值和最值问题一、无条件极值与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念定义6.3n元函数f(Xi,X2,,Xn)在点P°(x；,x2,…，x：)的一个邻域U(F0)Rn内有定义若对任何点P(xj,x2，…，xn)・U(P0)，有f(P)-f(P)或(f(P)乞f(P))则称n元函数f(X1,X2，…，Xn)在Po(Xi0,x0，…，x0)取得极大(或极小)值，Po(x10,x0^',X0)称为函数f(Xi,X2/,Xn)的极大(或极小)值点极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点类似一元函数，我们称使得n元函数f(x1,x2/,xn)的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点我们有如下定理定理6.28若PO(X°,X°/',X0)为n元函数f(Xi,X2/,Xn)的极值点，且f(Xi,X2,,Xn)在Po(Xi0,x；,…,x0)的一阶偏导数存在，则Po(x0,x0，…,x0)为n元函数f(Xi,X2,…,Xn)的驻点证考虑一元函数"Xi)=f(x；，…,Xi,…，x0)(i=1,2…n)，则Xi是(xj的极值点，Fermat马定理告诉我们，可导函数在极值点的导数是零，于是'(X)二fXi(Xi0,",,x：)=0和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。

而偏导数不存在的点也有可能是极值点判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多，下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理定理6.29若Po(Xo,yo)为二元函数f(x,y)的驻点，且f(x,y)在Po(x°,y°)的一个邻域U(P°)R2中有二阶连续偏导数令A=fxx(X0,y°),B=fxy(X0,y°),C=fyy(X0,y°),AB2Q==AC-B，BC则(1) 当Q0时，若A0，f(x,y)在P0(x0,y0)取极小值；若A：：：0,f(x,y)在P0(X0,y0)取极大值；(2) 当Q<0时，f(x,y)在P0(X0,y)不取极值；(3) 当Q=0时，f(x,y)在P0(x°,y)可能取极值，也可能不取极值例6.34求函数z=x2y3(6-x-y)的极值解解方程组rfcz3一=xy3(12_3x_2y)=0疋xCZ22—=x2y2(18_3x-4y)=0;y得驻点为P°(2,3)及直线x=0,y=0上的点2对P°(2,3)点有A二-162,B二-108,C二—144,AC-B•0,于是函数z在P°(2,3)取积大值z(Po)=108x=0容易判断，满足条件丿的点为函数z的极小值点，极小值为0;满足条件的0<^6x=0x=0和丿的点为函数z的极大值点，极大值为0。

yc0j>6一、最值问题在社会生产各个领域我们都会遇上。