高中数学直线和圆知识点总结.doc

直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：，（1）时，；（2）时，不存在；（3）时，（4）当倾斜角从增加到时，斜率从增加到；当倾斜角从增加到时，斜率从增加到2．直线方程（1）点斜式：（2）斜截式：（3）两点式：（4）截距式：（5）一般式：3．距离公式（1）点，之间的距离：（2）点到直线的距离：（3）平行线间的距离：与的距离：4．位置关系（1）截距式：形式重合：　　　　 相交：平行： 垂直：（2）一般式：形式重合：且且平行：且且垂直： 相交：5．直线系表示过两直线和交点的所有直线方程（不含）二．圆1．圆的方程（1）标准形式：（）（2）一般式：（）（3）参数方程：（是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以,为直径的圆的方程是：2．位置关系（1）点和圆的位置关系：当时，点在圆内部当时，点在圆上当时，点在圆外（2）直线和圆的位置关系：判断圆心到直线的距离与半径的大小关系当时，直线和圆相交（有两个交点）；当时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．3．圆和圆的位置关系判断圆心距与两圆半径之和，半径之差（）的大小关系当时，两圆相离，有4条公切线；当时，两圆外切，有3条公切线；当时，两圆相交，有2条公切线；当时，两圆内切，有1条公切线；当时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：例1若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．解析：由题意知 ＞1，解得－＜k＜.答案：(－， )例2已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.答案：x－2y＋4＝0例3设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x－my－1＝0的距离d＝＝1，即＝1，解得m＝±.答案：±例4若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为2 ，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2.答案：2例5已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．(1)若|AB|＝，求|MQ|及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB恒过定点．解：(1)设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|＝ ＝，又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由＝3，得x＝±，则Q点的坐标为(，0)或(－，0)．从而直线MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点.例6过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为 ，则直线l的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为得弦心距为. 设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，则＝，化简得7k2－24k＋17＝0，得k＝1或k＝.答案：1或例7圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d＝＝1.答案：1例8圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为____________________．解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)∴＝a，∴a＝，∴x2＋y2＝2.答案：x2＋y2＝2例9已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，则解得圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0.[答案]　(1)C　(2)x2＋y2－4x－6＝0例10 (1)与曲线C：x2＋y2＋2x＋2y＝0相内切，同时又与直线l：y＝2－x相切的半径最小的圆的半径是________． (2)已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(－1，－1)为圆心，为半径的圆，圆心C(－1，－1)到直线y＝2－x即x＋y－2＝0的距离等于＝2，易知所求圆的半径等于＝.(2)令b＝2x－y，则b为直线2x－y＝b在y轴上的截距的相反数，当直线2x－y＝b与圆相切时，b取得最值．由＝1.解得b＝5±，所以2x－y的最大值为5＋，最小值为5－.答案：(1)　(2)5＋　5－例11已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________．解析：表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)即kx－y＋2－k＝0.由＝1得k＝，结合图形可知，≥，故最小值为.答案：例12已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝，则AB边上的高的最小值为－1.故△ABC面积的最小值是×2×＝3－.答案：3－例13平面直角坐标系xoy中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，０）和（n，０），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 解： ⑴因为点到直线的距离为， 所以圆的半径为， 故圆的方程为． ⑵设直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得，即， ， 当且仅当时取等号，此时直线的方程为． ⑶设，，则，，， 直线与轴交点，， 直线与轴交点，， ， 故为定值2． 例14圆x2+y2=8内一点P（－1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点. （1）当=时,求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程. 解:（1）当=时，kAB=－1，直线AB的方程为y－2=－（x+1），即x＋y－1=0.故圆心（0，0）到AB的距离d==，从而弦长|AB|=2=. （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=－2，y1+y2=4. 由 两式相减得（x1+x2）（x1－x2）+（y1+y2）（y1－y2）=0， 即－2（x1－x2）+4（y1－y2）=0， ∴kAB=. ∴直线l的方程为y－2=（x＋1），即x－2y＋5=0.例15已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x－y+10=0上. (1)若动圆C过点(－5,0),求圆C的方程;(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解: (1)依题意,可设动圆C的方程为(x－a)2+(y－b)2=25,其中圆心(a,b)满足a－b+10=0. 又∵动圆过点(－5,0),∴(－5－a)2+(0－b)2=25. 解方程组, 可得或, 故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y－5)2=25. (2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d==5. 当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x2+y2=r2相外切的圆； 当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2相外切； 当r满足r+5=d,即r=5－5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切.题目1．自点作圆的切线，则切线的方程为 ．2．求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.3．若点P在直线l1：x＋y＋3＝0上，过点P的直线l2与曲线C：(x－5)2＋y2＝16相切于点M，则PM的最小值 ．4．设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.5．已知圆C：x2+y2－2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.6. 已知曲线C：x2+y2－4ax＋2ay－20＋20a=0.（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.。