简谐运动能量.docx

I,假设在t时刻质点的位移为X,速度为力则 MBt +®)（ot + 中k2kA2 cos2（&t + 中）rEnergy of Simple Harmonic Vibration引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而 具有势能，动能和势能之和就是其能量一、简谐运动的能量1.能量表达式(1) 推导以弹性振子为例x = A coskot + 中)v = - Ao sin Cot + 中)则系统动能为：E =— mv2 =— mA202 sin2Cot + 中) k 2 2系统势能为：E = — kx2= — kA2 cos2Cot + 中)p 2 2因此系统的总能量为E=E+E = 2mA2o2 sin2 〜, k r 考虑到o 2=—，贝 m一 1』 _ 1…E= — mA2o 2=_kA2 2 2(2) 结论弹簧振子作简谐运动的能量与振 幅的平方成正比 D(3) 解释由于系统不受外力作用，而且内力为 保守力，故在简谐运动的进程中，动能与 势能彼此转化，总能量维持不变4) 说明1) E-A2，对任何简谐运动皆成立；2) 动能与势能都随时间作周期性转变， 转变频率是位移与速度转变频率的两倍， 而总能量维持不变；且总能量与位移无 关。

动能E广E-E K P2.能量曲线 百度文，库-让每个人平等地提升自我 注意理解能量守恒和动能、势能彼此转化进程二、能量平均值概念：一个随时间转变的物理量f(t)，在时间T内的平均值概念为f = 1 j f (t 知0因此弹簧振子在一个周期内的平均动能为E =LjLmA2①2 sin2(&t + Q)lt = — mA2①2 = LkA2 k T 2 4 4因此弹簧振子在一个周期内的平均势能为E = T T 2kA2 cos2 St + 甲bt = 4 kA2 = 4 mA2①20结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等 于总能量的一半三、应用1. 应用1——记忆振幅公式由能量守恒关系可得：k A2/2= mv02/2+ kx02/2解之即得： ! ( v \ 2a=" +(f2. 应用2——推导简谐运动相关方程在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能(弹性势能和重 力势能)，且二者之和维持不变，因此有手上+ E )=0将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，通过简化后，即可取得简谐 运动的微分方程及振动周期和频率这种方式在工程实际中有着普遍的应用此方式对于研究非机械振动超级方便。

例1.用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程解：弹簧振子在振动进程中，机械能守恒，即1 _1一 17/—mv 2 +——kx 2 = — kA 2 = C2 2 2两边对时间求导，得1 c dv 1 dx 八m - 2v + k - 2x— = 02 dt 2 dtd2x ,m - v + k - xv = 0dt 2d2 x k 八+ — x = 0dt 2 md2 x + W 2 x = 0其解为dt 2x = A'cosCwt + 中)代入守恒方程可得A=A’例2.劲度系数为k、原长为/、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系一 质量为M的物体，在滑腻的水平面上作直线运动，求其运动方程解：取物体受力平衡位置O为坐标原点，向右为x轴正方向，如图所示，设 m

当物体位 弹簧的动能与物体的动能别离为/ 1 m(S )\ ——dS -v2 l3 J2Ek101=—mv 26E = - Mv 2k 2 2系统的势能为曰 17 cE =— kx 2p 2— mv 2^ — Mv 2+4 kx 2=const6221C 1 1,1 ,M +— mv 2+ — kx 2=const2[3 J2按照机械能守恒定律，有将上式对时间求导，整理后可得dvM +— m — + kx=0I 3 J或写成dtd-X +w 2 X=0 dt 2J 1 \…..JI 3 J可见，当弹簧质量远小于物体的质量时，且系统作微小运动时，弹簧振子 的运动可以以为是简谐运动，振动周期为式中 w 2=k/ M +-m2兀 ° M + m/3—=赤 ① V k因此，周期比不计弹簧质量时要大不过当m=M时，与严格计算结果相 较较，误差也是不大于1%例 腹最为0 1G kg的物休，以振幅:.(),x 1() ~ m作筒谐M动，其最大加速度为4 0 •求：(1) 振动的周虬(2］ 通过平衡位置时的动能；⑶尊能景；(4｝物体在何处其动能和势能相等？w=J -n^ - .s二〜20 s"(2)因通过平维位置时的速度为摄大，故Ek.™™ ~ * 冲盆 H -1- A2将已知数据代人，得Ek,™-2+0>-. ur3 J⑶ 总能量E = Ek,g=2 0又1。

」1,得⑷当耳=耳时,Ef = loWj,由风二土妇*十球％亍=竺-0.5x10 4静77Wj- — J' 0,707 cniComposition of Simple Harmonic Vibration引言：在实际问题中，振动系统常常参与多个振动本节讨论一个物体同 时参与两个或两个以上振动的合成问题振动的合成在声学、光学、无线电技 术与电工学中有着普遍的应用本节主要讨论简单的情况原理：振动的合成符合叠加原理，振动也具有矢量性一一是通过振动的方 向与相位反映出来的一、同方向同频率简谐运动的合成问题：某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简i谐运动x = A cosOot + 中）x = A cosCot + 中）合振动 x = x +x1. 应用解析法： 1 'x = x + x A cos°ot + （p t^A cos°ot + 中）=（A cos p + A cos p Jcos ①t -（A sin p + A sin p ）sin ①t112 2 112 2令.A sin p = A sin p + A sin p , A cos p = A cos p + A cos p112 2 112 2则：x=A cosp cosot — A sinp sin ot=A coskot + pT2 .应用旋转矢量法：、 、A「A2大小不变，且以一路角速度3旋转，它们的相对位置不变，即夹角 °p2-p］）维持不变，所以合振动的振幅A大小不变，也以角速度3绕O作逆 时针旋转，故合成振动也是简谐运动。

Da = A^TA^T^AA'COSC^^^OA sin 甲 + A sin 甲A cos 甲 + A cos 甲x = A cosCot + 中)圆频率：初相位:合振幅：合振动：3.1)2)讨论：合振动仍然是简谐运动，且频率仍为3;合振动的振幅不仅与A］、A2有关，而且还与相位差°p2 —p1 T有关若 p — p =2k兀，k = 0,±1,±2,…，贝1 合振幅等于分振幅之和k = 0,±1,±2,…，贝cos°p —p ）= —1， A = A — A一 一 1 2即两个分振动反相时，合振幅等于分振幅之差的绝对值cos（p —p ）= 1，A=A +A即两个分振动同相2时，1 1 2若 p —p =（2k+1）r2 1cosk'2 '百度文库-让每个人平等地提升自我 与A +A之间一般情况下，合振动的振幅则在A1-A2 3）上述结论可以推行到多个同方向同频率简谐2 运动的合成，即x = A cos 如t + 甲）,i = 1,2, , n合振动:，ix = £ x也是间偕运动ii=1x = A cosCot + 中）A和中也可以用一般矢量求和的方式取得二、同方向不同频率简谐运动的合成问题：某质点同时参与两个不同频率且 在同一条直线上的简谐运动x = A cosOo t + 中）x = A cos（o t + 中）x = x + x\ /相 2、位—差 t +。

2 —%）随时间转变， 故合振动的振幅也随时间而1转变，不是简谐 运动 这里只 讨论A = A = A，甲=甲=0v 1 +v2 >> V 一V一的情形，即两个频率相 差很小合振动.1 于M = Qo 一①,1 2此时Iif=A cos ① t=A cos 2kv tx = A cos ① t=A cos 2kv t2 2 2 0 2x = x + x = A cos 2kv t + A cos 2kv t1 2 0 1 0 22A cos 2k ^11 cos 2k"0 2 JV -V2 1V +V —2 112由于 2A cos2k -此可以近似地将合振 动看成是振幅按c V +Vt随时间转变比cos2兀2 1 t要缓慢得多，因2A cos 2兀 ~—i t0 2hMM|/wvyvw^ww -pvw\M/v\iUW/wvv •，A j缓慢转变得角频率为V +v七T的“准周期运动”这种两个频率都较大但二者频差很小的同方向简谐运动合成时，所产生的合振幅时而增强时而减弱的现象称为拍频（beat）即合振动的频率为：拍频:-v合振幅转变的周期：T = \/、-vJ用旋转矢量法理解：_假设"2 >▼]；所以A2比 A转动得快，当A2转到与A 反方向位置时，合振幅最小；、 、当A2转到与A1同方向位置 时，合振幅最大而且这种转 变是周期性的。

拍的应用：用音叉的振动来校准乐器;• 利用拍的规律测量超声波的频率;• 在无线电技术中，可以用来测定无线电波频率和调制 三、两个彼此垂直的同频率简谐运动的合成问题：某质点同时参与两个同频率的彼此垂直方向的简谐运动x方向：方向：xx = A cosQot + 中 /y = A cosCot + 中）改写为:—=cos ①t cos 甲 一 sin ①t sin 甲iy——=cos ①t cos 甲 一 sin ①t sin 甲2别离对上述两式乘以cos^t sin« t,并相加，可得AL + AL - aSL. cos（p 一甲）=sin2 （p —甲） 1 2 1这是椭圆方程，其形状由分振动的振幅A1，A2和相位差△p=p2-g肯 定：（1） Ap。