第4讲 利用轴对称破解最短路径问题.docx

第一章 平移、对称与旋转第 4 讲 利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与 作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解2. 能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借 助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解二、 基础知识•轻松学与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点 之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的 对称点实现“折”转“直”另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性 质判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质： 平行四边形的对边相等三、 重难疑点•轻松破最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的 数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线 段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。

“最短路 径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边） 三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景1）“一线同侧两点”问题例1如图，点A、B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，AB'交m于点P.（1） ABZ与AP+PB相等吗？为什么？（2） 在m上再取一点N,并连接AN与NB,比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由.解析：(1)V点B'是点B关于m的对称点,.•・PB=PB',TAB‘ =AP+PB‘，:.AB1 =AP+PB.(2)如图：连接AN, BN, Bz N,•.•AB' =AP+PB,.•・AN+NB=AN+NB‘>AB',••・AN+NB>AP+PB.点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究, 利用两点之间的线段最短得出结果这类题主考实际问题转化为数学问题的能力，关键是利 用轴对称、“两点之间，线段最短”及三角形三边的关系等.B变式1需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场+公路到A, B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置.(2) “两点两线(平行)”问题例2如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河 流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短?解析：虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸.关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法 使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的.如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB'等于河宽，连接AB',与河岸EF相交于P,作PD丄GH,则PD〃BB‘且PD=BB‘，于是PDBB'为平行四边形，故PD=BB'.根据“两点之间线段最短”，AB'最短，即AP+BD最短.故桥建立在PD处符合题意.点评：此题考查了轴对称 —— 最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，解决“造桥选址”的简单的实际问题.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题.此类题往往需要利用 对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法.变式2如图，两个村庄A和B被一条河隔开，现要在河上架设一座桥CD.请你为两村设计桥址，使由A村到B村的距 离最小（假定两河岸m、n是平行的，且桥要与河垂直）.要求写出作法，并说明理由.（3） “一点两线（相交）”解决周长最短问题C例3：如图所示，ZABC内有一点P,在BA、BC边上各取一 点P、卩，使厶PPP的周长最小.1 2 1 2解析：依据两点之间线段最短，可分别作点P关于AB，AC 的对称点，如图，以BC为对称轴作P的对称点M,以BA为对称轴作出P的对称点N，连MN交BA、BC于点P、P1 2/.△PP1P2为所求作三角形.点评：解题关键是转化“直线上同一侧两点与此直线 上一动点距离和最小”问题（将军饮马问题），其核心是化折为直（两点之间线段最短）的 思想，转化技巧是能够运用轴对称性质及作图求解问题.变式3城关中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如 图中的AO, BO），A0桌面上摆满了桔子，0B桌面上摆满了糖果，站 在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图 帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短?（4） “一线异侧两点” “差最大”问题例4在定直线XY异侧有两点A、B,在直线XY上求作 一点P,使PA与PB之差的绝对值最大.解析：作法：作点B关于直线XY的对称点B',¥作直线AB'交XY于P点，则点P为所求点（如图）；若B'A〃XY（即B'、A到直 线XY的距离相等），则点P不存在.证明：连接BP，在XY 上任意取点P',连接 P'A、P'B，贝PB=PB',P'B=P'B,因为 |P'B-P'A| = |P'B'-P'A|VAB'=|P'B-PA| = |PB - PA|,所以，此时点P使|PA-PB|最大.点评:本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形, 再由两点之间线段最短的知识求解.变式4.如图，在△ ABC中，AB=AC, AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M,连接MB,若 AB = 8 cm,AMBC 的周长是 14 cm,(1) 求BC的长(2) 在直线MN上是否存在点P,使丨PA-CP丨的值最大,画出点P的位置，并求最大值，若不存在，说明理由。

5) “两点一线+线段”例5直线L的同侧有两点A、B,在直线L上求两点C、D,使得AC、CD、DB的和最小,T |且CD的长为定值a,点D在点C的右侧作法：①将点A向右平移a个单位到A1② 作点B关于直线L的对称点B1③ 连结A1B］交直线L于点D④ 过点A作AC〃A1D交直线L于点C,连结BD,则线段AC、CD、DB的和最小点C、D即为所求变式5长方形OACB, OA=3, OB=4, D为边OB的中点.(1) 若E为边OA上的一个动点，当△ CDE的周长最小时，画出 点E的位置；(2) 若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，画出点E、F的位置;(6) 台球击点问题A例6如图，在台球桌面ABCD上，有白和黑两球分别位于M, N 两点处，问：怎样撞击白球M,使白球先撞击台边BC,反弹后再去 击中黑球N?解析:作N关于BC的对称点N,连接MN交BC于点E,连接EN.按 ME方向撞击白球M,白球M反弹后必沿EN方向击中黑球N.点评：要使白球M撞击台边BC反弹后再去击中黑球N,必须使ZMEB=ZNEC.由轴对称还可得，ZNfEC=ZNEC.又对顶角ZMEB=ZN'EC，故可得到ZMEB=ZNEC .本题重在考查轴对称的性质在实际生活中的应 用，关键注意对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂 直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.变式6如图，甲乙丙丁四人做接力游戏.开始时，甲站在长方形操场ABCD内部的E 点处，丙在BC的中点G处，乙，丁分别站在AB、CD边上.游戏规则是，甲将接力棒传给乙，乙传给丙，丙传给丁，最后丁 _G t E跑回传给甲.如果他们四人的速度相同，试找出乙，丁站在何 '处，他们的比赛用时最短？（请画出路线，并保留作图痕迹， ： '作法不用写）四、课时作业•轻松练A. 基础题组1. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P,Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）2. 已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm, P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为 cm.第2题第3题3•如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最 小时，ZPCD= ° .4•为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线 （如图：AO, OB） A0桌子上摆满苹果，B0桌子上摆满桔子，坐在C 士处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，ZAOB小于90度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短•请作出路线图，并用字母表示所走路线.（保留作图痕迹，不写作法、不必 说明理由）B. 中档题组5•如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地I］放羊，然后赶羊到小河12饮水，之后 再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊 与饮水的位置.6•如图，一牧民从A点出发，到草地出发，到草地MN去 喂马，该牧民在傍晚回到营帐B之前先带马去小河边PQ给马 饮水（MN、PQ均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能使 整个路程最短？（简要说明作图步骤，并在图上画出）C. 挑战题组7•如图，荆州古城河在CC'处直角转弯，河宽均为5米， 从A处到达B处，须经两座桥：DD',EE'（桥宽不计），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上 相距65米，南北方向上相距85米，如何架桥可使到A到B的 路程最短，画出路程图B五、我的错题本参考答案变式练习 :变式1解：利用轴对称图形的性质可作点A关于公路的对称点A', '连接A，B,与公路的交点就是点P的位置.直线m与M,作MN〃BC即可.理由：两点之间线段最短.变式2解：如图，过点B作BC丄n,且使BC等于河宽，连接AC交变式3解析：本题意思是在0A上找一点D,在0B上找一点E,使 △CDE的周长最小.如果作点C关于0A的对称点是M,关于0B的对称 点是N,当点D、E在MN上时，ACDE的周长为CD+DE+EC=MN,此时周 长最小.变式4解：（1）因MN垂直平分AB,所以MB=MA，又因△MBC的周长是14 cm，故AC+BC =14 cm,所以 BC = 6 cm.(2)当点P位于直线MN与BC延长线的交点时，PA—CP的值最大，最大值是6cm,理由：因A、B关于直线MN对称，所以AP=BP，当点P位于MN(直线MN与BC延长线的交点除外)上时，根据三角形三边关系始 终有丨PB—CP I CD'=D'E+CE=DE+CE,可知△ CDE的周长最小.与OA交于点E,在EA上截取EF=2,(2)如图，作点D关于OA的对称点D'，在CB边上截取CG=2,连接D'G•.•GC〃EF, GC=EF,・：四边形GEFC为平行四边形，有GE=。