第一章 空间向量与立体几何【易错题型专项训练】（解析版）-教案课件习题试卷-高中数学人教版A版选择性必修第二册.docx

第一章 空间向量与立体几何【易错题型专项训练】易错点一：空间向量的加减运算1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题中正确的是(　　)A．与是一对相等向量B．与是一对相反向量C．与是一对相等向量D．与是一对相反向量【答案】D【分析】根据向量相等，相反向量的概念，逐一分析即可.【详解】A. 取AD,的中点M,N，则：,，两者不是一对相等向量；B. ，，两者是一对相等向量；C. ，，两者是一对相反向量；D.设底面的中心分别为P,Q，则： ，，两者是一对相反向量；故选：D.【点睛】本题主要考查了向量相等，相反向量等概念，属于中档题.2．已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（ ）A．在平面内 B．在平面内C．在平面内 D．在平面内【答案】C【分析】根据空间向量的加减运算得出，最后由向量共面定理得出答案.【详解】因为，所以，，，四点共面故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的加减运算以及向量共面定理，属于中档题.3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:①;②;③;④.其中正确的是_____.【答案】①②③【分析】在平行六面体中，根据向量的加法减法法则，向量的相等，逐一验证各选项即可.【详解】由题意得,①正确;,②正确;③显然正确;因为,所以④不正确.故答案为①②③【点睛】本题主要考查了向量加法、减法运算法则，向量平行及向量的相等，属于中档题.易错点二：空间向量的数量积1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平方，根据向量的数量积运算法则及性质可求出.【详解】如图：由,,故选：C【点睛】本题主要考查了向量的加法法则、向量数量积运算性质、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．在空间直角坐标系中，，为的中点，为空间一点且满足，若，，则（ ）A．9 B．7 C．5 D．3【答案】D【分析】利用中点坐标公式可得点的坐标，设，利用，可解出点的纵坐标，最后利用数量积的坐标运算可得的值.【详解】设，，，，，由，整理可得：，由，得，化简得，以上方程组联立得，则. 故选：D.【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.3．设是单位向量，且，则的最小值为__________．【答案】【分析】设与的夹角为，根据已知，利用向量的数量积的运算将化为关于的三角函数表达式，进而利用三角函数的性质求得最小值.【详解】，且均为单位向量，∴，||=1，,∴.设与的夹角为θ，则.故的最小值为故答案为：易错点三：用空间基底表示向量1．在三棱柱中，D是四边形的中心，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量加法的运算，以为基底表示出.【详解】由于D是四边形的中心.故选:D【点睛】用基底表示向量的策略：（1）若基底确定，则充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则以及数乘向量的运算律表示向量；（2）若没有设定基底，首先选择基底，选择基底时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.2．如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出关于、、的表达式.【详解】，因此，.故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示空间向量，考查计算能力，属于中等题.3．如图，在空间四边形中，，分别为、的中点，点段上，且，用向量、、表示向量，设，则、、的和为______.【答案】【分析】利用向量的加法公式得出，再由，得出的值，即可得出的和.【详解】即故答案为：【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题.易错点四：空间向量的坐标运算1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C为线段AB上一点,且 ,则点C的坐标为(　　)A． B． C． D． 【答案】C【分析】设出C点的坐标，根据A，B，C三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据两个向量之间的关系，得到关于x，y，z的关系式，在每一个关系式中解出变量的结果，得到要求的点的坐标．【详解】设C的坐标是（x，y，z）∵A(3,3,-5),B(2,-3,1)，∴ ∵，∴由此解得 ，故选C.【点睛】本题是一个向量之间关系的题目，要使的向量相等，只要向量的横标和纵标分别相等；要使的向量平行，只要满足平行的充要条件，列出关于x的一元二次方程，解方程即可．2．已知，、，则向量与的夹角是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设向量与的夹角为，计算出向量与的坐标，然后由计算出的值，可得出的值.【详解】设向量与的夹角为，，，则，所以，，故选D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___. 【答案】 【分析】利用向量的运算用表示向量，，，即可得出答案.【详解】因为，所以向量的坐标为.因为，所以向量的坐标为.因为，所以向量的坐标为.故答案为：；；【点睛】本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题.易错点五：空间向量运算的坐标表示1．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线AD与BC的位置关系是（ ）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判定【答案】B【分析】根据题意，求得向量和的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案.【详解】由题意，点，，，，可得，，又由，所以，所以直线AD与BC垂直.故选：B.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当·取最小值时，点D的坐标为(　　)A． B．C． D．【答案】C【分析】设=t=（t，t，2t），t≥0，则•=6t2﹣16t+10，由此利用配方法能求出•取最小值时点D的坐标．【详解】设=t=（t，t，2t），t≥0，∵A（1，2，3）、B（2，1，2）、C（1，1，2），O为坐标原点，点D在直线OC上运动，∴=（1﹣t，2﹣t，3﹣2t），=（2﹣t，1﹣t，2﹣2t），∴•=（1﹣t）×（2﹣t）+（2﹣t）×（1﹣t）+（3﹣2t）（2﹣2t）=6t2﹣16t+10=6（t﹣）2+，当t=时，•取最小值，此时D（）．故答案为：C．3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若，＝(，，－3)，且BP平面ABC，则实数________．【答案】【分析】由题意，可得，利用向量的数量积的运算公式列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】由题意，可得，利用向量的数量积的运算公式，可得解得，，，∴.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中根据题设条件和线面位置关系，利用向量的数量积的运算公式，列出方程组求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.易错点六：空间位置关系的向量证明1．已知正方体，是棱的中点，则在棱上存在点，使得（ ）A． B．C．平面 D．平面【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，写出点的坐标，用向量法确定线线平行与垂直，由向量与平行法向量的平行与垂直确定线面的平行与垂直．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，设（，则，，因为，所以不可能平行，即不可能平行，又，，因此可以垂直，即与可能垂直．，，设平面的一个法向量为，则，取，则，与不可能平行，因此与平面不可能垂直，，因此与不可能垂直，因此与平面不可能平行，故选：B．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ）A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得平面BB1C1C的法向量和直线MN的方向向量，利用两向量垂直，得到线面平行.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知平面BB1C1C的法向量.∵A1M=AN=，∴M，N，∴.∵，∴MN∥平面BB1C1C，故选：B.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利于空间向量判断线面平行，属于简单题目.3．若直线l1的方向向量为=(1,3,2),直线l2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____.【答案】垂直【分析】求出，根据·=0,可判断两直线的位置关系.【详解】因为=(1,-1,1), 直线l1的方向向量为=(1,3,2),·=(1,3,2)·(1,-1,1)=0,所以两直线位置关系为垂直.【点睛】本题考查空间向量的数量积，涉及线线垂直，属基础题．易错点七：异面直线夹角的向量求法1．如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为A． B． C． D．【答案】D【详解】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===−.设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|=.2．如图所示，在正方体中，若为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】以，，为基底，表示出，，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】设正方体的棱长为1，记，，，则，．因为，，所以．又因为，，所以，所以与所成角的余弦值为．故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，数量积的运算，夹角公式，考查了运算能力，属于中档题.3．在三棱锥中，已知、、两两垂直且相等，点、分别是线段和上的动点，且满足，，则和所成角的余弦的取值范围是___________.【答案】【分析】以点为坐标原点，分别为、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，。