站在奥赛的高度俯视高考学习.pdf

前 言清北学堂数学组通过对2008 年高考理科数学各省试卷知识内容考查点的分析和总结，并将各主要知识点的分值在表格中进行了统计（请参考清北学堂2008 年理科数学高考知识点总结文档和知识点分值汇总表附件） 而且计算出了所列知识点占总分值的近似比例目的是让同学们清楚地了解高考数学试题主要集中考查哪些知识点及重点内容的分布情况，为你目前的课程学习以及有重点地复习提供参考高考考查的重点内容也是奥赛考试的主要内容，我们如果能站在奥赛的高度俯视高考的学习，将奥赛学习和高考学习有机的结合起来，运用奥赛的解题思维解决高考的难题，势必会收到很好的效果站在奥赛的高度俯视高考学习高考理科数学试卷分析报告众所周知， 目前各种竞赛已经成为各名牌大学选拔优秀人才的重要参照凡参加全国奥林匹克联赛获奖的学生享有自主招生、奥赛加分资格，获得全国数学联赛省级赛区一等奖，决赛一、二、三等奖的应届高中毕业生更是具有保送、加分资格 由此可以看出中学生学科奥林匹克竞赛已经得到了高等教育者的普遍认可奥林匹克竞赛受到如此高度的重视，其很重要的原因是各级“奥赛试题”具有很强的创新性、灵活性和综合性，注重考查学生对知识的理解及综合运用能力、思维方法的掌握和创新能力，而这一点恰恰是素质教育的核心内容，也正是现在高考改革的精神实质。

综观 2008 年高考全国各地区的数学试卷，都有一个共同的特点：考查点便重于知识网络的交汇点，灵活性强用常规的教学思维应付已明显不够如果考生缺乏开放性思维、应用意识，肯定是拿不到高分对比奥赛和高考大纲，以及历年来初赛、复赛试题和近几年的各地高考题中的难题、压轴题也不难看出，许多高考题都能在奥赛试题中看到“影子”甚至某些题就是往届奥林匹克竞赛的翻版因此，我们学习和研究奥赛试题不光是为了夺取“奥赛” 金牌， 更重要的是可以让我们站在一个更高的高度俯视日常学习和高考，在学习和考试中脱颖而出通过几个例子说明奥赛数学试题与高考数学试题之间的关系例 1. 2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题的第11 题已知函数cbxxxf22)(在1x时有最大值1，nm0， 并且nmx,时，)(xf的取值范围为mn1,1. 试求 m， n 的值例 2. 下面是 2007 年安徽省高考试题第9 题已知函数2( )1axbf xx的值域为1,4，求实数,a b的值分析：由函数的解析式可确定一个含有,a b的值域，对此已知函数的值域1,4，可确定,a b的值在下面的例1 和例 2 都主要考查了函数值域的问题，题目属中等难度。

在例1 中未知参数为4个，可条件较少，如何灵活地利用隐藏条件解决问题是关键，本小题考查学生综合应用知识的能力，并有转化的数学思维，题目不难但较灵活例2 中主要用二次函数的判别式法求值域此外，在求函数最值或值域问题时，如果用单纯代数的方法解决不了时，可考虑题目的几何意义，利用解析法进行解决，这也是数学中常用的技巧例 3 2004 年全国高中数学联合竞赛试题第 14 题（本题满分20 分）在平面直角坐标系xoy 中，给定三点4(0,),( 1,0),(1,0)3ABC，点 P到直线 BC 的距例 4. 2008 年湖北省理科高考数学试题的第 19 题 .（本题满分13 分）如图，在以点O 为圆心， |AB|=4 为直径的半圆 ADB 中， ODAB ， P是半圆弧上一点，分析：本题主要考查了一元二次函数的图像以及性质、 一元二次函数与一元二次方程的关系、函数的定义域和值域等知识点的综合运用能力解由题设函数cbxxxf22)(在1x时有最大值1 知1) 1(2)(2xxf，1)(xf，11m，即1m，nmxf,)(在上单调减，mmmf11) 1(2)(2且nnnf11)1(2)(2. m，n 是方程xxxf11)1(2)(2的两个解，方程即)122)(1(2xxx=0，解方程，得解为1，231，231. nm1，1m231n. 评注：本题虽然只考查了函数的一些基础知识，但出题很灵活，解题时需用到一定的技巧，将 m,n 转化为方程xxxf11)1(2)(2的两个解也是本题的巧妙之处。

解 ： 设21axbyx, 去 分 母 、 整 理 可 得20yxaxyb. 0y显然在函数的值域1,4内0,yxR时，由于故24 ()0,ay yb2204ayby由已知，有14,y从而，1)(4)0,yy(2340yy比较不等式与得23,16.ba4,4,3,3.aabb或评注：本题利用判别式法求解函数的值域容易解决问题 求函数值域的方法很多，要根据题目的形式来决定方法的使用，通常有图像法、 配方法、单调性法、判别式法、反函数法、变量代换法、不等式法等， 而且通常一个题目可以使用多种求法对比下面的例3 和例 4 两题， 例 3 是 2004 的奥赛题， 例 4 是 2008 年的高考题， 虽然两题在解题方法上不太一样但考查的知识点基本相同，在解题思想上也有相似之处如果我们把例3 的解题思维和知识点真正搞明白，例 4 也就容易做出， 除了给出的参考答案外，例 4 还可以考虑用另外的方法解题离是该点到直线AB，AC 距离的等比中项求点P的轨迹方程；（）若直线L 经过ABC的内心（设为D） ，且与 P点的轨迹恰好有3 个公共点，求 L 的斜率k 的取值范围分析： 本题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、圆和直线的位置关系以及综合解题能力。

解： （） 直线 AB 、AC、BC 的方程依次为44(1),(1),033yxyxy点( , )P x y到 AB、AC、BC 的距离依次为1211|434|,|434|,55dxydxy3|dy设2123,d dd222|16(34) | 25xyy得，即22216(34)250,xyy22216(34)250 xyy或，化简得点P 的轨迹方程为圆 S：2222320 xyy2171280yy2与双曲线 T:8x（）由（）知，点P的轨迹包含两部分圆 S：2222320 xyy与双曲线T：2171280yy28x因为 B（ 1，0）和 C（1，0）是适合题设条件的点，所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上， 且点 P的轨迹曲线S与 T 的公共点只有B、C 两点ABC的内心 D 也是适合题设条件的点，由123ddd，解得1(0,)2D，且知它在圆S上直线 L 经过 D，且与点P 的轨迹有3 个公共点，所以， L 的斜率存在，设L 的方程为12ykx（ i）当 k=0 时， L 与圆 S相切，有唯一的公共点 D；此时，直线12y平行于 x 轴，表明 L 与POB=30，曲线C 是满足 |MA|-|MB| 为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点 P. （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程；（）设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点E、 F. 若 OEF 的面积不小于 22，求直线l 斜率的取值范围 . 分析： 本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力. （）解法1：以 O 为原点， AB、OD 所在直线分别为x 轴、 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A（-2，0） ，B（2，0） ，D(0,2),P（1 ,3） ，依题意得 MA - MB = PA - PB 221321)32(2222）（ AB 4. 曲线 C 是以原点为中心，A、 B 为焦点的双曲线 . 设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则 c2，2a22， a2=2,b2=c2-a2=2. 曲线 C 的方程为12222yx. ()解法：依题意，可设直线l 的方程为ykx+2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0. 直线 l 与双曲线C 相交于不同的两点E、F，22210,( 4 )46(1)0,kkk与双曲线有不同于D 的两个公共点，所以L 恰好与点 P 的轨迹有3 个公共点。

ii）当0k时， L 与圆 S 有两个不同的交点这时，L 与点 P 的轨迹恰有3 个公共点只能有两种情况：情况 1：直线 L 经过点 B 或点 C，此时 L 的斜率12k，直线 L 的方程为(21)xy代入方程得(34)0yy，解得5 4(,)3 3E5 4或F(-,)3 3 表明直线BD 与曲线 T 有 2个交点 B、E； 直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F故当12k时， L 恰好与点P 的轨迹有3 个公共点情况 2：直线 L 不经过点B 和 C（即12k） ，因为 L 与 S有两个不同的交点，所以L 与双曲线T 有且只有一个公共点即方程组22817128012xyyykx有且只有一组实数解，消去 y 并化简得2225(817)504kxkx该方程有唯一实数解的充要条件是28170k或2225( 5 )4(8 17)04kk解方程得2 3417k，解方程得22k综合得直线L 的斜率 k 的取值范围是有限集12 3420,2172高中生数学奥林匹克竞赛不仅要求学生在具有扎实的课本知识的基础上还要了解知识的更深层的内涵和更广的外延，而且要求学生具有很强的综合创新解题能力现在高考试题也越来越注重能力的考查，综合知识的应用。

我们利用奥赛的思维方法解决高考问题，将奥赛和高考有机地结合起来，借“他山之石”攻“此山之玉，希望同学们找到一条通向成功的有效捷径最后，祝同学们早日步入理想的名牌大学，实现自己的梦想！1,33.kkk（ -3,-1）（ -1，1）（ 1，3）. 设 E（x，y） ，F(x2,y2)，则由式得x1+x2=kxxkk16,14212,于是EF221212()()xxyx2212(1)()kxx2212121()4kxxx x2222 231.1kkk而原点 O 到直线 l 的距离 d212k，SDEF=221121221dEFkk22222232 2 311kkkk若 OEF 面积不小于22,即SOEF22，则有24222 2 32 220,1kkkk22.k解得综合、知，直线l 的斜率的取值范围为-2，-1(1-,1) (1, 2). 。