流体力学雷诺方程推导.docx

完好版流体力学雷诺方程推导1-1 为等距网格主要参数 R= 20mm, L=40 mm, n=1000 rpm, =0.3, c=2 mm.各种流体润滑问题都涉及在狭小缝隙中的流体粘性流动， 描述这种物理现象的基本方程为雷诺方程，他的宽泛形式是( h2p )y( h2p ） 6(UhVh2h )xxyxyt这个椭圆形的偏微分方程不过对于特其他缝隙形状才可能求得解析解，而对于复杂的几何形状也许工况条件下的问题，无法用解析方法求得精确解随着迅速发展的点算技术，数值算法成为求解润滑问题的有效路子数值法师讲偏微分方程转变为代数方程组的变换方法它的一般原则是：第一将求解域划分成有限个数的单元，并使每一个单元充分的渺小致使于可以认为在各单元内的未知量（自己毕业设计中设油膜压力为 P）相等也许依照线性变化，而不会造成很大的误差尔后，经过物理解析或数学变换方法，将求解的偏微分方程写成失散形式，即使将它转变为一组线性代数方程该代数方程组表示了各个单元的待求未知量于周围各单元未知量的关系最后依照消去法也许迭代法求解代数方程组，从而求得整个求解域上的未知量用来求解雷诺方程的数值方法好多，最常用的是有限元差分方法、有限元法和界线元法，这些方法都是将求解域划分成好多个单元，但是办理方法各不一样样。

在有限差分法和有限元法中，代替基本方程的函数在求解域内是近似的，但完好满足界线条件而界线元法所用的函数在求解域内完好满足基本方程，但是在界线上则近似的满足界线条件一、雷诺方程的数值解法依照界线条件求解雷诺方程，这在数学上称为边值问题第一将所求解的偏微分方程无量纲化这样做的目的是减少自变量和因变量的数目，同时用无量纲参数表示的解拥有通用性尔后，将求解域划分成等距的也许不等距的网格，如图图 1-1沿轴向将 Y 划分为 8 个等距区间，沿周向从0到2 划分为 12 个等距区间这样在 Y方向有 13 个节点， 方向有 9 个节点，总计 139117 个节点则1， Y1 68 / 有限差分法若是用 P 代表所求的未知量比方油膜压力， 则变量 P 在整个域中的分布可以用各节点的 P 值来表示 依照差分原理， 任意节点 O(i, j) 的一阶和二阶偏导数都可以由其周围的节点变量值来表示如图 1-2 所示，若是采用中差分公式，则变量 P 在 O(i, j) 点的偏导数为图 .1-2p pi 1, j pi 1, j（ ）i,j2（1-1）ppi, j 1 pi,j 1（ ）2 yyi,j2 ppi 1, jpi 1, j 2pi, j（2 )i, j()2（1-2）2pi, j 1pi, j 1 2pi, j（ p2)i, j( y)2y以 P 为润滑膜压力，雷诺方程的二维二阶偏微分方程的标准形式为：A2PB2 PC PD PE（1-3）2Y2Y其中 A,B,C,D 和 E 都为已知量。

尔后将上述方程应用到各个节点， 依照中差分公式 （1-1）和（ 1-2）用差商代替偏导数，即可求得各个节点的变量 pi . j 于相邻各个节点变量的关系这种关系可以写成：pi , jC N pi , j 1 C S pi , j 1 CE pi 1 , j CW pi 1, j G（1-4）其中C NB(yC SB(yC EA(C WA(GEK2222D) / K2 yD2 y ) / KCK（1-5）) /2CK) /2K2(AB）2y 2式（ 1-4）中各系数值随节点地址而改变方程（ 1-4）是有限差分法的计算方程，对于每个节点都可以写出一个方程，而在界线上的节点变量应满足界线条件，它们的数值是已知量这样，就可以求得一组线性代数方程方程与未知量数目相一致，所以可以求解采用消去法也许迭代法求解代数方程组，并使计算结果满足必然的收敛精度，最后求得整个求解域上各节点的变量值求解代数方程使用迭代法求解1、雷诺方程的无量纲化定常雷诺方程( h 3p )( h 3p )6 uh(2-1)xxyyx将轴承表面沿平面张开，如图1-1 所示，并代入 x R ,dxRd .得( h 3p)2 ph 36 uRdhRRdy 2等式两边同时乘以 R2则雷诺方程变为( h 3 p )2 p2 h 36 u R dh(2-2)yd若令y YL/ 2,(2R/ L)2 ,h c(1 cos ) Hc, p P6u Rc2代入后得( H3c3 6 u R P) H3c3R2 6 u R2 P 22c2c2Y2( )L6u R化简得dHd( H3P32 R)22PdH)H （Y2dL将 （2R/L)2 代入得(H3 P)H 32 PdH（）Y 2d2-3由h c(1 cos ) Hc得H 1 cos代入（ 2-3）式，得- 3( sin ) H 2 PH 22 PH 32 P2Y 2d (1cos)d再次化简得无量纲雷诺方程- 3(sin)P2 P2 P-sin（2-4）1cos2Y23（1cos ）R 为轴承半径， L 为轴承长度，为独爱e/ c 率， e 为独爱距， c 为半径缝隙，采用有限元差分法进行迭代计算。

式（ 1-4）为标准形式，参照标准式（1-3）可求得标准式中 A,B,C,D,E 的值A1，B3 sin,D 0,Esin,Ccos(1cos )31将以上各值代入式（ 1-5）求得2C N（2Y2)22C S（2Y2)2C E2 (1cos)3sin22 (1cos)C W2 (1cos)3sin22 (1cos)G3sin2Y 2(1cos) 32 (2Y2 )K2 (2Y 2)2Y 2将已知值代入式（ 1-4）得22Pi , j（2Y2)Pi , j1（2Y2P i , j122)2 ( 1cos)3sinPi1 . j22( 1cos)2 ( 1cos)3sinPi1 , j22(1cos)3sin2Y2（2-5）( 1cos) 32 (2Y2。