抽象函数(论文).doc
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抽象函数解法例说右光华侨联合中学 邱尚程函数是每年高考的热点，而抽彖苗数性质的运用又是函数的难点z—抽象函数是指没 有给出具体的两数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则此类两数试 题既能全而地考查学生对西数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，乂能综合考查7生 对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识因此备受命题者的青睐, 在近几年的高考试题中不断地出现山于抽彖函数具有一定的抽象性，其性质隐而不露，因 而学生对抽象函数问题比校害怕其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基木函数为 背呆抽象而得，解题时，若能从研究扌rti象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质, 通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路木文从这一认识出发，浅谈 高一阶段儿种比较常见的类型的抽象函数及其解法1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数，是山线性函数抽象而得的函数 基本类型：f (x+y) =f (x) +f (y) 典型函数：f(x)=kx 比较常用的一些数据：f (0) =f (0+0) =f (0) +f (0)・•・f (0) =0f (0) =f (x—x) =f (x) +f (・x) .I f (-x) = -f (-x)例1、 已知：f (x+y) =f (x) +f (y), f (4) =16,求 f (-2) 解：f (4) =f (2+2) =f (2) +f (2) =16・•・ f (2) =8 ・・・f (-2) =-f (2) =-8例 2、已知:是 f(x)在 R 上的增函数,f(2)=l,f (x+y) =f (x) +f (y) 解不等式:f (x) +f (x-2) <3 分析：山题设可猜测：f(x)是y =^x的抽象函数，且f (x)为单调增函数 解：3 = 3 f(2) = f(2)+ f(2)+ f(2) = f(6)・・・f (x) +f (x・2) < 3 = f(6) Ax + (x-2) <6x < 4例3、已知函数/(%)对任意实数x, y,均有f (x+y) =f(x) +f (y),且当x>0时, f (x) >0, f (一1) =一2,求 f (%)在区间［一2, 1］上的值域。
分析：山题设可知，函数f(x)是》=肚懐工0)的抽象函数，因此求函数fg 的值域, 关键在于研究它的单调性解：设Xj < ,贝吟2-心>0,・.・当 X >0 时,/（X）> 0 , .•丿（乃-X1） > 0 ,・・/（乃）=了［（乃-xO + xj］ =/（x2 -心）+ /（心）• 9・・丿(乃)-/(禺)叮(乃-心)>0,即心2)>了(心)，・"(/)为增函数在条件中，令 y=— 才，则了(°)= ,再令 x=y=o,则 /•(0)=2 f (0),・•・f(0) =0,故f (一力 =f (/) , f (x)为奇函数，・•・ f(l) =一£ (一1) =2, 乂 £(一2) =2 f (一1) =一4,・•・f 3的值域为[-4, 2]2、指数函数熨抽彖函数指数函数型抽象函数，叩山指数函数抽象而得到的函数基本类型：f (x+y) =f (x)・f (y)典型函数：f(x)=ax (a>O,a^l)比较常用的一些数据：若f (x) H0则f(0) =1且f(Q >0例4、设函数f(Q的定义域是(一8, +8),满足条件：存在心工乃，够 /(心)工/(花), 对任何才和y, 了(宀no)成立。
求：(1)f(0) ； (2)对任意值x,判断f (Q值的止负分析：由题设可猜测f(x)是指数函数丁二以”的抽象函数，从而猜想f (0) =lHf (Q>0o解：(1)令尸0代入” +刃=%) ■轴，则％)=念)■ /(0).../W[i-/(0)] = 0o若f(x)=o,则对任意心乜,有/(心)=/(乃)=o,这与题设 矛盾,・・・f 3 H0, :.f (0) =lo⑵令尸“o,贝/◎)叮⑶丁⑴珂〃)伫0, 乂由⑴知g) HO, ・・・f(2Q >0,即f (力>0,故对任意x f 3 >0恒成立例5、设函数y=f(x)定义在R±,对丁任意实数x,y,有f(x+y) =f (x)-f (y),且当x>0 时，0
基木类型 f (xy) =f (x) +f (y)典型函数：f(x)=logaX (a>0,aHl)常川的一些数据 f (1) =f (1・1) =f (1) +f (1) ff (1) =0f (1) =f (x•丄)=f (x) +f ( - ) =0 ->f (-) =-f (x)X X X例6、设/(兀)是钗在(0, +oo).上的单调增函数，满足=1求(1)/(1)；(2)若f(x) +f (x—8) W2,求/的取值范围分析：由题设可猜f(Q是对数函数歹=1°8孑兀的抽象函数，f (1) =0, f (9) =2O解：⑴・,m)=y(ix3)=了⑴+“)，,.f ⑴=0⑵ 7(9)= 7(3x3) =7⑶ *y(3) = 2,从而有 f(Q +/■ (x-8) Wf ⑼,即/[x(x-8)] 0,解Z得：8V/W9x-8>0例7、定义在对上的增函数f(x), II对一•切的x>0,y>0X满足f (―)=f (x) —f (y)y解不等式 f (x-6) -f (丄)v 2f(4)X x x分析：f (― ) =f (x) —f (y) ff ( — ) +f (y) =f (x) =f (—・y)y y yx设—=m, y = n,则f( m*n) = f( m ) + f( n )可猜测/(x)是对数函数f(x)=loga x的抽象函数, y且a>l解：f (x - 6) -f (丄)< 2f(4) -* f (x - 6) < f(4)+ f(4) +f (-)X X・・・f (x - 6) < f (—)f(x)是定义在2上的增函数，・・・x - 6< —Kx>0, X - 6 >0x解得6 基本类型 f (xy) =f (x) -f (y)典型函数：f(x)二 x"(x>0,xHl)例8、己知函数f (x)对任意实数x、y都有f (“)=f(x)・f (y) , M /(-l) =1, f (27) =9,当0 - x < 1 时,(1) 判断f (Q的奇偶性；(2) 判断f 3 在[0, +-)上的单调性，并给出证明;⑶若"2°且/@+1)'的，求日的取值范臥2分析：由题设可知f(x)是幕函数的抽象函数，从而可猜想f(x)是偶函数，月.在 [0, +°°)上是增函数解：(1)令 /= —1,则 f (—x) =f(x) • f (― 1) , Tf (― 1) =1, f (—Q =f(x) , f Cx)为偶函数0<^
