费马定理在等差数列关系下的类半圆结构及二元二次换元式的还原性.docx

费马定理与等差数列的关联，及二元二次换元式的还原性本篇讲述的主要是费马定理与正整数等差数列之间的关系，以及如何运用 这种等差关系，来建立一个等价的二元二次方程，最后通过数值分析的方法来解释费 马定理我个人认为本篇最有价值的地方在于构建了一个全新的数学模式，并不是对不定方程Xt +y t-z t HO做个形式上的变换，而是利用数的特征来构模，与其他的方 法相比思路是完全不同的在整个论述的过程中，并没有假设命题的成立或者是不成 立而是将两种因素都考虑在了其中，在极力找到命题成立的依据的同时，也不排除 命题不成立的可能，因此整个证明过程都保证了较高的客观性本文的结构大致为， 第一构建数模第二得出x t +y t -z t的换元式，第三xt +yt-zt的等价命题及证明第四换元式的还愿性（包括还愿性的定义，还原性 的证明，还愿性存在的有原因，还原性的适用范围，还原性的使用条件）第五x t +y t -z t HO的证明值得注意的是：（1） 换元式及换元式的还原性的适用范围为 Xt1+Yt2-Zt其中XYZ,互素且都为正整数，YVXVZ, 3Wt Wt Wt或3Wt W1 2 2t ]Wt换句话来说，不定方程X ti+Y 12 HZt,也是成立的。

而费马定理的完整表述应 该为Xt1 +Y12 HZt，即一个正整数的t次方不等于另外两个正整数的小于或等于t次 方之和3Wt,另外两个正整数的指数3Wt Wt或3Wt Wt1 2 2 1（2） 需要强调的是换元式及换元式的还原性的适用范围不包括二次方， 具体原因，在下面文章中会有解释第一节平方数的特征及运用即数模的构建相信除了勾股定理，平方数还有其他很多的特征下面的一个特征，相信很多人都知道比如 5 2 很多但还有一个规律，在命题的转换以及证明中都发挥了关键的作用：那就是 5 2 =1+2+3+4+5+4+3+2+1，6 2 =1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1,X 2 =l+2+3+4+...X+... .4+3+2+1.除此之外，还可以给这一特征建立一个同 样很有规律的线段图及以一个单位长度表示 1 做底边长为 2X 的一个等腰直角三 角形然后将底边进行 2X 等分，通过个等分点，做垂直于底边的直线各直线与两 腰相交，等分点到交点的各垂线段之和等于 1+2+3+4+. .X+. 4+3+2+1,也就是刚好为虽说Xt Yt乙也存在类似的数模，但和平方数相比，在内容上和形状山个都发生了改变。

首先一点不能再做成一个等腰直角三角形的形状（这是由正整数 的平方数的特征所决定的）那么什么样的形状更适合于一个正整数的大于等于 3 次 方的数模呢？我选择的是类半圆曲线如上因为 X2=1+2+3+4+...X+....4+3+2+1, Xt =Xt-2X2所以 Xt =1 Xt-2+2 Xt-2+3 Xt-2+4 Xt-2+.X Xt-2+..4 Xt-2 +3 Xt-2 +2X t-2 +1 X t-2 Xt的数模可以表示为：以一个单位长度表示1，以2X的长度为一条弦，通过这条弦做一个近似于半圆的曲线然后将这条弦进行 2X 等分，通过个等分点做与曲线相交的垂线段从左至右，各线段分别表示为1 Xt-2,2 Xt-2,3 Xt-2,4 Xt-2，…xX t-2 , ... .4 X t-2 , 3 X t-2 , 2 X t-2 , 1 X t-2如图所示同理：Yt乙分别可以表示为下面的两个数模Z//—\0 1 z 2z 3z z-1 z z-1 3z 2z 1 z 0居然求证的是Xt，Yt，乙之间的和差关系，所以把三个数模给予整合, 在取同一单位的情况下（即以同样长的一个单位长度来表示1）,将Yt的数模平齐的放在乙数模的左端，Xt数模也是平齐的放在乙数模的右端。

三条弦在同一直线上各半圆，及半圆内的各线段重合相交除去共有的部分于是：X t +Y t -Zt就等价于图中A所截取的线段之和，减去B所截取的 线段之和第二节不定方程的换元不定方程Xt +Yt-Zt的换元，辅助线，辅助点，辅助区的引入以上图为基础，根据等差线段的特征，以及求证的需要划定a b c d e f g 七个区，划定的各个区内所包含的线段都满足等差数列特征 e 为辅助区， g 为含有 辅助区e的一个区其它a b c d f各区为上图中阴影部分中的实区其中 a 为弧线 A A 和线段 A A A A 区域所截得的所有是线段之1 2 1 3 2 3和；b 为弧线 B B 和线段 B B B B 区域所截得的所有是线段之和2 3 1 3 1 2c 为弧线 C C C C 和线段 C C 区域内所截得的所有实线段之和；1 2 1 3 2 3d 为弧线 D D D D 和线段 D D 所围成的区域内所截得的线段之和1 2 2 3 1 3f 为弧线 F F F C C 和线段 F C 所围成的区域内截得的所有的线段1 2 1 1 2 2 2 之和g 为弧线 G G G D D 辅助弧线 G E 和线段 E D 围成区域内所截1 2 1 2 1 2 2 2 1得的所有线段与辅助区e内所包含的所有辅助线段之和,e包含在g中e为辅助区，由弧线G E和辅助弧线G E 以及辅助线段E E所围成2 1 2 2 1 2 的区域，其所包含的值为延长后的实线段在该区内所截得的线段总长之和。

该区位辅 助区，故该区内组成值的线段也为辅助线段关于辅助线，辅助区的说明G E 为辅助曲线它的作用是使原本不符合等差计算的区域（或区域内不 22含等差线段）通过增设e区，和原来弧线G G E和弧线G D D所含线段组合后，1 2 2 1 2 1 形成有规律的g区原来的值等于g-e弧线 C C 和弧线 D D 也同为辅助线，它们的作用是划分，将一个不1 2 1 2符合等差线段排列的区域，划分为两个符合等差线段排列的区域弧线 C C 的作用12是将现有弧线F F弧线F C C所围的区域划分为c和f；弧线D D是将由弧线1 2 1 1 3 1 2G G E和弧线G D D （包含辅助区e在内）所围得的区域划分为d和g,d和g同时1 2 2 1 2 1 符合等差线段排列特质换元未知数 n 和 m1 虚线 L 与实线段 F A E B ，虚线为辅助线，实线段为 Xt ， Yt ， Zt2 3 1 1 半圆等差线段群中的一个完整线段，或者是一个部分L为经过Xt半圆曲线与Yt半圆曲线的交点且平行于各实线段（或垂直于 各弦)的一条辅助虚线线段F A E B为乙半圆分析图中的两条是线段，虚线L在这两条线2 3 1 1 段的中间，两条线段的距离为一个单位长，或者是“1”未知数 n 和 m 的引入未知数n的实际含义为线段A A的长度，m的实际含义为线段BB的1 2 1 2长度，n与m的大小，以及比例关系，恰好反映了X t，Y t，乙，之间的比例大 小关系，更重要的一点所设的七个区的值，亦可以表示为与nm相关的几组代数式。

因为Xt +Yt-Zt等价于上图中A中所含的是线段的值，减去B区中所包 含的所有是线段的总长，又因为A区中的的值等于a+b;B区中的值等于c+d-e+f+g 故可以把Xt +Yt-Zt换元为与n m相关的一组代数式亦可以假设n和m使这租代数 式的值为0然后求出n m..若n m的值符合Xt，Yt，乙半圆曲线图的特征，或能反 映出X t +Y t -Z t =0的组合要求那么所提出的命题X t +Y t HZt，就为错误，相反，即 为正确七个区 a b d e f g 与 n m 相关代数式根据前面所设，以及一个正整数大于大于3次方的等差数列组合特征，所 设七个区中每个区所含的各个线段长度均符合，等差数列特征xt-2(l + n)n , yt - 2(1 + m)m其中a= , b=22c=yt-2 (y-m)(y-m-1) d=xt-2 (x-n)(x-n-1)(zt-2 - yt-2)(2y -m)(2y-m-1) e=z t-2 (1+m-2y+z)(m-2y+z) f=(zt-2 - xt-2)(2x -n)(2x -n-1) g=设n m使a+b-c-d-f-g+e=0,方程两边同时乘以2，化去含有分数的项2a = x t-2 (1+n)n 2b =yt-2(1+m)m= xt-2 (n2+n) = yt-2(m2+m)= n2xt-2+ n xt2-1 = m2yt-2+ m yt-22c=2 y t-2 (y-m)(y-m-l)=2 y t-2 (y2-my-y-my+ m2+m)=2yt-4m yt-l-2 yt-l+2 m2yt-2+2m yt-22d= 2xt-2 (x-n)(x-n-l)=2x t-2 (x2-nx -x- nx +n2+n)=2xt- 4n xt-l-2xt-l+2 n2xt-2+2n xt-22f=(zt-2-yt-2)(2y-m)(2y-m-l)=(zt-2-yt-2) (4y 2 -4my+m 2 -2y+m)=4y2zt-2-4my zt-2+ m2zt-2 -2y zt-2+m zt-2-4 yt+4myt-l- m2yt-2+2 yt-l-m y t-22g=( zt-2- xt-2 )(2x-n)(2x-n-l)=( z t-2 - x t-2 )(4x-4n+n-2x+n)=4x2zt-2-4n zt-2+ n2zt-2-2x zt-2+n zt-2-4xt+4nxt-l- n2xt-2+2 xt-l-n xt-22e= zt-2(l+m-2y+z)(m-2y+z)= zt-2(m-2y+z+ m 2 -4my+2mz+4y 2 -4yz+z2 )=2m z t-2 -4y zt-2+2zt-l+2 m2zt-2-8my zt-2+4m zt-l+8y2zt-2 -8y zt-l +2z t合并各代数式化简得出换元方程n2xt-2+ nxt-2+ m2yt-2+ m y t-2 -2y t +4m yt-l+2 yt-l-2m2yt-2-2m yt-2-2xt+4n xt-l+2xt-l-2 n2xt-2-2n xt-2 -4y 2zt-2+4my zt-2- m2zt-2+2y zt-2-m zt-2 +4 yt-4myt-l+m2yt-2-2yt-l+myt-l-4x2zt-2+4nxzt-2- n2 z t-2 +2xz t-2 -n zt-2+4xt+4nxt-l+ n 2 xt-2-2 xt-l+n xt-2+2m zt-2 -4y zt-2+2zt-l+2 m2zt-2-8my zt-2+4m zt-l+8y2zt-2 -8y zt-l+2zt=0方程两边同时乘以-1，化简整理后得：- m2zt-2+4my z t-2 -4m zt-l-m zt-2 +4 x 2 z t-2 -2x z t-2 +2y zt-2 -2 zt-1 -4 y2zt-2+8y zt-1-2 yt-2 xt-2 zt+ n2zt-2+n zt-2-4nx zt-2=0上述的这个关于n m的二元二次方程就是一个关于Xt +Yt-Zt值的换元方程。

因为nm的值的大小取决于Xt，Yt，乙半圆曲线分析图相互间的大小以及比例 关系，也就是X t，Y t，乙相互间的比例以及大小关系故通过分。