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15金贝
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三教上人(A+版-Applicable Achives)第2讲 不等式1.(20XX武汉联考)下列命题中正确的是( )A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>b,cC.若a>b,c>d,则a-c>b-dD.若ab>0,a>b,则<答案 D解析 对于A选项,当c=0时,不成立,故A选项错误.当a=1,b=0,c=-2,d=-1时,<,故B选项错误.当a=1,b=0,c=1,d=0时,a-c=b-d,故C选项错误.2.已知a>b>0,有下列命题:①若-=1,则a-b<1;②若a2-b2=1,则a-b<1;③若a3-b3=1,则a-b<1;④若a4-b4=1,则a-b<1;其中真命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 ①取a=4,b=1,则-=1,但a-b>1,故①错;②因为a2-b2=1=,a>b>0,所以0(a-b)(a-b)2,所以a-b<1,故③正确;④因为a4-b4=1==(a-b)(a+b)(a2+b2),由a>b>0,得023-32=0,即2x>3y.8.(20XX三湘名校联考)已知x,y满足约束条件若z=mx+y的取值集合为A,且A⊆[1,8],则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界),其中A(1,0),B(0,1),C(3,4),z=mx+y的最值一定在顶点处取到,所以解得m∈.9.(20XX株洲模拟)已知M,N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点,则|MN|的最大值是( )A. B.C.3 D.答案 A解析 作出可行域,为图中四边形ABCD及其内部,由图象得A(1,1),B(5,1),C(2.5,3.5),D(1,2)四点共圆,BD为直径,所以|MN|的最大值为|BD|==,选A.10.(20XX九江模拟)设变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by的最小值为1,则+的最小值为( )A.7+2 B.7+2C.3+2 D.3+2答案 D解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分(含边界),当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线y=1和2x-y-3=0的交点(2,1)时,z有最小值为1,∴2a+b=1,+=(2a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当a=1-,b=-1时等号成立.11.(20XX湖南五市十校联考)已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则当取得最大值时,+-的最大值为( )A.3 B. C.1 D.0答案 C解析 由正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,得-+=1≥,当且仅当=,即a=3b时,取最大值,又因为a2-2ab+9b2-c=0,所以此时c=12b2,所以+-=≤=1,当且仅当b=1时等号成立.故最大值为1.12.(20XX全国Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题:①p∨q;②(綈p)∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∧(綈q).这四个命题中,所有真命题的编号是( )A.①③ B.①② C.②③ D.③④答案 A解析 方法一 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示.目标函数z=2x+y是一条平行移动的直线,且z的几何意义是直线z=2x+y在y轴上的截距.显然,当直线过点A(2,4)时,zmin=22+4=8,即z=2x+y≥8.∴2x+y∈[8,+∞).由此得命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9正确;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12不正确.∴①③真,②④假.方法二 取x=4,y=5,满足不等式组且满足2x+y≥9,不满足2x+y≤12,故p真,q假.∴①③真,②④假.13.(20XX枣庄模拟)已知实数x,y满足则(x+1)2+y2的最大值为________.答案 4解析 由题意画出约束条件表示的平面区域,如图阴影部分所示(含边界),设z=,则z表示点(-1,0)与平面区域内点的距离,则目标函数表示z的平方,由图象可知点A(1,0)与点(-1,0)的距离最远,此时zmax==2,所以(x+1)2+y2最大值为4.14.(20XX全国Ⅱ)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最大值是________.答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,由图易知,当直线y=3x-z过点C时,-z最小,即z最大.由解得即C点坐标为(3,0),故zmax=33-0=9.15.(20XX榆林模拟)已知正数x,y满足x2+y2=1,则+的最小值为________.答案 2解析 ∵正数x,y满足x2+y2=1,令z=+>0,可得z2=++=++=2+++≥2+2+=4+,当且仅当=即x=y时取等号,而由题意可得1=x2+y2≥2xy,可得≥2,当且仅当x=y时取等号,∴z2≥4+4=8,∴z≥2,当且仅当x=y时取等号,∴+的最小值为2.16.(20XX沈阳东北育才学校考试)已知对满足4x+4y+5=4xy的任意正实数x,y,都有x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0,则实数a的取值范围为________.答案 解析 因为正实数x,y满足4x+4y+5=4xy,而4xy≤(x+y)2,代入原式得(x+y)2-4(x+y)-5≥0,解得x+y≥5或x+y≤-1(舍去),由x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0可得a(x+y)≤(x+y)2+1,即a≤x+y+,令t=x+y∈[5,+∞),则问题转化为a≤t+,因为函数y=t+在[5,+∞)上单调递增,所以ymin=5+=,所以a≤.8三教上人(A+版-Applicable Achives)。