高考数学(理)一轮复习讲义-6.3-等比数列及其前n项和.docx

三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）16.3等比数列及其前 n 项和最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.3.了解等比数列与指数函数的关系.主要考查等比数列的基本运算、基本性质，等比数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.属于中低档题.1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q0).2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 ana1qn1.3.等比中项如果三个数 x，G，y 组成等比数列，则 G 叫做 x 和 y 的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN).(2)若an为等比数列，且 klmn(k，l，m，nN)，则 akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a ，anbn，1an2 n仍是等比数列.anbn三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）2(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为 qk.5.等比数列的前 n 项和公式等比数列an的公比为 q(q0)，其前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sn.a11qn1qa1anq1q6.等比数列前 n 项和的性质公比不为1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 qn.概念方法微思考1.将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数.2.任意两个实数都有等比中项吗？提示不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项.3.“b2ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件.因为 b2ac 时不一定有 a，b，c 成等比数列，比如a0，b0，c1.但 a，b，c 成等比数列一定有 b2ac.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足 an1qan(nN，q 为常数)的数列an为等比数列.()(2)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列.()(3)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.()(4)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 Sn.()a1an1a(5)数列an为等比数列，则 S4，S8S4，S12S8成等比数列.()三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）3题组二教材改编2.已知an是等比数列，a22，a5 ，则公比 q_.14答案12解析由题意知 q3 ，q .a5a218123.公比不为 1 的等比数列an满足 a5a6a4a718，若 a1am9，则 m 的值为()A.8 B.9 C.10 D.11答案C解析由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10.题组三易错自纠4.若 1，a1，a2，4 成等差数列，1，b1，b2，b3，4 成等比数列，则的a1a2b2值为_.答案12解析1，a1，a2，4 成等差数列，3(a2a1)41，a2a11.又1，b1，b2，b3，4 成等比数列，设其公比为 q，则 b 144，且 b21q20，b22，2 2 .a1a2b2a2a1b2125.设 Sn为等比数列an的前 n 项和，8a2a50，则_.S5S2答案11解析设等比数列an的公比为 q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，S5S2a11q51q1qa11q211.1q51q2125146.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 MB，然后每 3 秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机_秒，该病毒占据内存 8 三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）4GB.(1 GB210 MB)答案39解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则 2n8210213，n13.即病毒共复制了 13 次.所需时间为 13339(秒).题型一等比数列基本量的运算1.(20XX沈阳模拟)已知等比数列an满足 a1 ，a3a54(a41)，则 a2等于()14A. B. C.1 D.21812答案B解析设等比数列an的公比为 q，由题意知 a3a54(a41)a ，2 4则 a 4a440，解得 a42，2 4又 a1 ，所以 q38，14a4a1即 q2，所以 a2a1q .122.(20XX全国)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记 Sn为an的前 n 项和，若 Sm63，求 m.解(1)设an的公比为 q，由题设得 anqn1.由已知得 q44q2，解得 q0(舍去)，q2 或 q2.故 an(2)n1或 an2n1(nN).(2)若 an(2)n1，则 Sn.12n3由 Sm63 得(2)m188，三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）5此方程没有正整数解.若 an2n1，则 Sn2n1.由 Sm63 得 2m64，解得 m6.综上，m6.思维升华 (1)等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前 n 项和公式时，注意对 q1 和 q1 的分类讨论.题型二等比数列的判定与证明例 1已知数列an满足对任意的正整数 n，均有 an15an23n，且 a18.(1)证明：数列an3n为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)记 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn.an3n解(1)因为 an15an23n，所以 an13n15an23n3n15(an3n)，又 a18，所以 a1350，所以数列an3n是首项为 5、公比为 5 的等比数列.所以 an3n5n，所以 an3n5n.(2)由(1)知，bn1n，an3n3n5n3n(53)则数列bn的前 n 项和 Tn11121nn(53)(53)(53)531(53)n153n .5n123n52思维升华 判定一个数列为等比数列的常见方法：(1)定义法：若q(q 是不为零的常数)，则数列an是等比数列；an1an(2)等比中项法：若 aanan2(nN，an0)，则数列an是等比数列；2n1(3)通项公式法：若 anAqn(A，q 是不为零的常数)，则数列an是等比数列.跟踪训练 1(20XX黄山模拟)设数列an的前 n 项和为 Sn，已知a11，Sn14an2.三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）6(1)设 bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明由 a11 及 Sn14an2，有 a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又Error!，得 an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2).bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项 b13，公比为 2 的等比数列.(2)解由(1)知 bnan12an32n1， ，an12n1an2n34故是首项为 ，公差为 的等差数列.an2n1234 (n1) ，an2n12343n14故 an(3n1)2n2.题型三等比数列性质的应用例2(1)(20XX包头质检 )已知数列 an是等比数列，若a21，a5 ，则18a1a2a2a3anan1(nN)的最小值为 ()A. B.1 C.2 D.383答案C解析由已知得数列an的公比满足 q3 ，a5a218解得 q ，a12，a3 ，1212故数列anan1是以 2 为首项，公比为 的等比数列，a2a3a1a214a1a2a2a3anan121(14)n114，故选 C.831(14)n 2，83)(2)(20XX大连模拟)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，S21，S45，则三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）7S6等于()A.9 B.21 C.25 D.63答案B解析因为 S210，所以 q1，由等比数列性质得 S2，S4S2，S6S4成等比数列，即1(S65)(51)2，所以 S621，故选 B.思维升华 等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形.(2)等比中项的变形.(3)前 n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.跟踪训练 2(1)等比数列an各项均为正数，a3a8a4a718，则13log a 23log a 103log a _.答案20解析由 a3a8a4a718，得 a4a79所以13log a 23log a 103log a3log(a1a2a10)3log(a1a10)53log(a4a7)553log9 2log331020.(2)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 ，则S3S689_(n2，且 nN).an1anan1答案12解析很明显等比数列的公比 q1，则由题意可得， ，S3S6a1(1q3)1qa1(1q6)1q11q389解得 q ，12则 .an1anan1an1q2an1qan1q2q11412112三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）8等差数列与等比数列关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件.例 1已知等差数列an的首项和公差均不为 0，且满足 a2，a5，a7成等比数列，则的值为()a3a6a11a1a8a10A. B. C. D.13141213111213答案A解析已知等差数列an的首项和公差均不为 0，且满足 a2，a5，a7成等比数列，a a2a7，(a14d)2(a1d)(a16d)，2 510d2a1d，d0，10da1，a3a6a11a1a8a103a117d3a116d.30d17d30d16d1314例 2已知an为等比数列，数列bn满足 b12，b25，且 an(bn1bn)an1，则数列bn的前 n 项和为()A.3n1 B.3n1 C. D.3n2n23n2n2答案C解析b12，b25，且 an(bn1bn)an1，a1(b2b1)a2，即 a23a1，又数列an为等比数列，数列an的公比为 q3，bn1bn3，an1an数列bn是首项为 2，公差为 3 的等差数列，数列bn的前 n 项和为 Sn2n3.故选 C.nn123n2n2三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）91.已知等比数列an满足 a11，a3a716，则该数列的公比为()A. B. C.2 D.222答案A解析根据等比数列的性质可得 a3a7a a q8q81624，2 52 1所以 q22，即 q，故选 A.22.已知递增的等比数列an中，a26，a11，a22，a3成。