平面向量方法总结材料带例题.docx

word平面向量应试技巧总结向量有关概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别向量常用有向线段来表示， 注意不能说向量就是有向线段，为什么？〔向量可以平移〕女口：A〔 1,2〕，B〔4,2〕，如此把向量aB按向量a =〔一 1,3〕平移后得到的向量是 〔答：〔3,0〕〕2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （与aB共线的单位向量是-ZB ）;|aB|4•相等向量：长度相等且方向一样的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量〔也叫共线向量〕：方向一样或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a // b， 规定零向量和任何向量平行提醒：① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；② 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念： 两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③ 平行向量无传递性！〔因为有0）；④三点A B、C共线6•相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 a的相反向量是一a女口如下命题：〔1〕假如》山，如此2 b。

〔2〕两个向量相等的充要条件是它们的起点一样， 终点一样〔3〕假如AB DC，如此ABCD是平行四边形〔4〕假如ABCD是平行四边形，如 此AB DC〔 5〕假如1 b,b c，如此a c〔6〕假如a//l,b//C，如此a//c其中正确的答〔答：〔4〕〔5〕〕案是 二•向量的表示方法：1 •几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB，注意起点在前，终点在后;2 •符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a，b， c等;3.坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向一样的两个单位向量i , j为 基底，如此平面内的任一向量a可表示为a xi y[ x, y，称x, y为向量a的坐标，a =x, y叫做向量a的坐标表示如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标 一样平面向量的根本定理：如果ei和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数 1、 2，使a= 1ei + 2e2如〔1〕假如(1,1),I(1, 1),(1,2)，如此# / 11〕；〔2〕如下向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. e (0,0), e2 (1, 2)B. e ( 1,2),e2 (5,7)C. e1 (3,5), e2 (6,10)D& (2, 3),e2 (右 3)2 4AD, BE分别是 ABC的边BC,AC上的中线，且ADa,BE 2,如此BC可用向量〔答：B〕；a,b表示为〔答:〔4〕 ABC中，点D在BC边上，且CD 2 DB，CD r AB sAC，如此r s的值是〔答：0〕四.实数与向量的积：实数 与向量a的积是一个向量，记作 a ,它的长度和方向规定如下:a 「a, 2当>0时， a的方向与a的方向一样，当<0时， a的方向与a的方向相反，当 =0时,五.平面向量的数量积：1.两个向量的夹角：对于非零向量a , b，作oA a,oBAOB称为向量a, b的夹角，当 =0时，a , b同向，当时，a , b反向，当a , b垂直。

2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a , b ,它们的夹角为,我们把数量| a ||b | cos叫做a与b的数量积〔或内积或点积〕，记作：a ? b，即a ? b =cos规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量 〔1〕△ ABC中，| AB | 3 , | AC | 4 , | BC | 5 ,如此 AB BC 〔答：—9〕〔2〕a (1」),b (0, 1),c a kb,d a b, c与d的夹角为一，如此k等于 2 2 4〔答：1〕3，如此b等于〔答：23〕a,b是两个非零向量,Jrab，如此a与ab的夹角为〔答：30〕3. b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于 0如|a | 3，|b | 5，且a b 12，如此向量a在向量b上的投影为 〔答：工〕5I5.4. a?b的几何意义：数量积a ?b等于a的模|a |与b在a上的投影的积向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，如此:②当a , b同向时，a ? b =，特别地，;当为锐角时，a ? b >0，且a ba?a a , a 青；当a与b反向时，a ? b 不同向，a b0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，a ? b v 0,且，、b不反向,Jra0是 为钝角的必要非充分条件；③非零向量a， b夹角的计算公式：cos④ |a?b| |a||b|。

如〔1〕a ( ,2 )，b (3 ,2)，如果a与b的夹角为锐角，如此 的取值X围是 4 1〔答： -或 0且 -〕3 3〔2〕 OFQ的面积为S，且OF FQ 1，假如-S -，如此OF , FQ夹角 的取值X2 2围是 (cosx,sin x),b(cosy,sin y), a与b之间有关系式ka〔答：(一,一)丨；4 3kb ,其中k 0，①用k表示a b ；②求a b的最小值，并求此时a与b的夹角的大小〔答:①a bk加4k1 丿0);②最小值为一， 60-〕2六.向量的运算：1 •几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法如此〃进展，但“平行四边形法如此：只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法如此〃：设aB a, bC b，那么向量aC叫做a与b的和，即a b AB BC AC ；②向量的减法：用“三角形法如此〃■wa1-a么HR减 由向量的终点指向被减向量的终点注意：此处减向量与被减向量的起点一样 如〔1〕化简：①AB bC cD :②aB aD dC :③(AB cD) (aC bD)410③〔2〕假如正方形ABCD的边长为1，[■Fa46■□■—c4al= -■ c LRb〔答：2辽〕;，如此专ABC的形状为〔答：直角三角形〕；〔4〕假如D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足pA bP CP t，设|PD|，如此的值为〔答：2〕;〔5〕假如点O是AABC的外心，且OA OB cO 0，如此△ ABC的内角C为〔答：120〕；2.坐标运算：设a(X1,yj,b区皿)，如此：I①向量的加减法运算：a b (n x2， y-j y2)。

如时，点P在〔1〕点 A(2,3), B(5,4)，C(7,10)，假如 aP AB aC( R)，如此当第一、三象限的角平分线上〔答:1〔2〕A(2,3), B(1,4),且？ AB (sin x,cosy)，x,y ( -^)，如此 x y〔答：6或〔3〕作用在点A(1,1)的三个力F； (3,4), F2 (2, 5),F- (3,1)，如此合力点坐标是F1 F2 F-的终〔答：〔9,1〕②实数与向量的积：dra%X1,y1X1,③假如A(为，yj, B(X2, y2),如此AB屜Xi,y2 yi ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 如设 A(2,3), B( 1,5)，且tD3aB，如此C、D的坐标分别是 〔答：(丐)，(7,9)〕④平面向量数量积：a?b ^x2 y1 y2如向量 a =〔sinx, cosx〕, b =〔sinx, sinx〕, c =〔一 1, 0〕〔 1〕假女口 x=—，求向量 a、3- 3 — f 1c的夹角；〔2〕假如x€ [-，—]，函数f(x) a b的最大值为一，求 的值8 4 2a 1 -〔答：(1)150 ;(2)或、2 1 :;2word.13〕⑤向量的模：1扌|— , a |a|2X y2。

女口a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|⑥两点间的距离：假如A ^,yi ,B X2,y2，如此I AB|y2yi 2如如图，在平面斜坐标系xOy中,样定义的：假如OP xe1 ye2xOy 60，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这I Iye'，其中ei,e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，如此P点斜坐标为(x,y)〔 1〕假如点P的斜坐标为〔2，- 2〕求P到O的距离丨P0|;〔 2〕求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程〔答：〔1〕2;〔2〕x2 y2 xy 1 0〕七•向量的运算律：1 •交换律：2•结合律：3 •分配律：如如下命题中：① a (b c) a b a c :② a (b c) (a b) c :③(a b)2 | a |22|a| |b| |b|2;④假如 a b 0,如此 a 0 或 b 0 ;⑤假如 a b c b,如此 a c ;® a" a2 ；Jra■ JICJr aJfaJr a4—aJraJHb? JraJra?Jla■ JlaJrcJrcJraJib ?HD?JraJIC?JraoJfc?Jrb# / 11word八•向量平行(共线)的充要条件://b (jb)2(|a||b|)2 人y 丫兀=0。

如(1)假如向量 a (x,1),b (4, x)，当 x时a与b共线且方向一样〔答：2〕;〔2〕a (1,1),1(4, x)，v 2,，且u//V，如此x=⑧(a b)2 a b :⑨(a b)2 a 2a b b其中正确的答案是 〔答：①⑥⑨〕提醒：〔1〕向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项， 两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一 个向量，即两边不能约去一个向量， 切记两向量不能相除(相约)；〔2〕向量的“乘法"不满足 结合律，即a(b?c) (a?b)c，为什么?# / 11〔答：4〕;〔3〕设 PA (k,12), PB (4,5), pC(10,k)，如此 k=时，A,B,C共线〔答:—2 或 11〕九.向量垂直的充要条件：ab a b 0 |a b| |a b|X1X2 y』20 .特别地AB如OB，如此m(1) OA ( 1,2),OB (3,m)，假如 oA〔答：-〕；2〔2〕以原点O和A(4,2)为两个顶。