2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(上海卷)(含答案).pdf

1 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷一、填空题（本题共12 小题，满分54 分，其中1-6 题每题 4 分， 7-12 题每题 5 分）1.已知集合1,2,4A，2,3,4B，求AB_ 【分值】 4 分【答案】2,42.1lim31nnn_ 【分值】 4 分【答案】133.已知复数z 满足12zi（i为虚数单位） ，则z_ 【分值】 4 分【答案】54.已知行列式126300acdb，则行列式acdb_ 【分值】 4 分【答案】 2 5.已知3fxx，则1fx_ 【分值】 4 分【答案】13xxR6.已知 a、b、1、2 的中位数为3，平均数为4，则 ab= 【分值】 4 分【答案】 36 2 7.已知20230 xyyxy，则2zyx的最大值为【分值】 5 分【答案】 -1 8.已知na是公差不为零的等差数列，且1109aaa，则12910aaaa【分值】 5 分【答案】2789.从 6 人中挑选4 人去值班，每人值班1 天，第一天需要1 人，第二天需要1 人，第三天需要 2 人，则有种排法分值】 5 分【答案】 180 10.椭圆22143xy，过右焦点F 作直线l交椭圆于P、 Q 两点， P 在第二象限已知, ,Q xyQxy都在椭圆上，且y0y，FQPQ，则直线l的方程为【分值】 5 分【答案】10 xy11、设aR，若存在定义域R的函数fx既满足 “ 对于任意0 xR，0fx的值为20 x或0 x” 又满足 “ 关于x的方程f xa无实数解 ” ，则的取值范围为【分值】 5 分【答案】,00,11,【解析】题目转换为是否为实数a,使得存在函数fx满足 “ 对于任意0 xR，0fx的值为20 x或0 x” ，又满足 “ 关于的方程fxa无实数解 ” 构造函数；3 2,x xafxxxa，则方程f xa只有 0,1 两个实数解。

12、 已知是平面内两两互不平等的向量，满足，且(其中1,21,2,.ijk，)，则 K 的最大值为【分值】 5 分【答案】 6 【解析】根据向量减法的运算规律，可转化为以向量终点为圆心，作半径11r和22r的圆，两圆交点即为满足题意的，由图知，k的最大值为6. 二、选择题（本题共有4 小题，每题5 分，共计20 分）13、下列不等式恒成立的是（）A、222ababB、22-2ababC、2ababD、2abab【分值】 5 分【答案】 B 14、已知直线l的解析式为3410 xy，则下列各式是l的参数方程的是（）4 A、4334xtytB、4334xtytC、1413xtytD、1413xtyt【分值】 5 分【答案】 D 15、在棱长为10 的正方体 .1111ABCDABC D中，P为左侧面11ADD A上一点， 已知点P到11AD的距离为3， 点P到1AA的距离为2，则过点P且与1AC平行的直线交正方体于P、Q两点，则Q点所在的平面是（）A.11AAB BB. 11BBC CC. 11CC D DD. ABCD【分值】 5 分【答案】 D 【解析】延长BC至M点，使得=2CM延长1CC至N点，使得3CN,以CMN、为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为H，连接1A PPHHC、，则易得四边形1APHC为平行四边形，因为点P在平面11ADD A内，点H在平面11BCC B内，且点P在平面ABCD的上方，点H在平面ABCD下方，所以线段PH必定会在和平面ABCD相交，即点Q在平面ABCD内5 16.、若存在aR且a0,对任意的xR，均有fxaf xf a恒成立，则称函数f x具有性质P，已知：1:qfx单调递减，且0fx 恒成立；2qfx：单调递增，存在00 x 使得00fx，则是fx具有性质P的充分条件是（）A、只有1qB、只有2qC、12和D、12和都不是【分值】 5 分【答案】 C 【解析】本题要看清楚一个函数具有性质P的条件是，存在aR且a0，则对于10qa， 时，易得函数fx具有性质P；对于2q，只需取0ax，则0 xaxxx，00f af x，所以0=fxaf xxfxfxf a，所以此时函数fx具有性质P. 三、解答题（本题共5 小题，共计76 分）综合题分割17、已知边长为1 的正方形 ABCD ，沿 BC 旋转一周得到圆柱体。

1）求圆柱体的表面积；（2）正方形ABCD 绕 BC 逆时针旋转2到11A BCD，求1AD与平面 ABCD 所成的角分值】【答案】（1）4 ；（2）3arcsin318、已知f(x)=sin(0)x. （1）若 f(x)的周期是4 ，求，并求此时1f( )2x的解集；6 （2）已知=1，2g( )( )3 ()()2xfxfx fx，x0,4，求 g(x)的值域 . 【分值】【答案】（1）1=2，5xx|x=4x4,33kkkZ或; （2）1-,0219、已知：=xq，x(0,80，且801100-135( ),(0,40)=(0)3(40)85,40,80 xxkk xx，（1）若 v95，求 x 的取值范围；（2）已知 x=80 时， v=50，求 x 为多少时， q 可以取得最大值，并求出该最大值分值】【答案】（1）80 x(0,)3；（2）480 x7时，max28800q=720、 双曲线22122:14xyCb， 圆2222:4(0)Cxybb在第一象限交点为A，(,)AAA xy，曲线2222221,44,AAxyxxbxybxx1）若6Ax，求 b；（2）若b5，2C与 x 轴交点记为12FF、,P是曲线上一点，且在第一象限，并满足18PF，求12F PF；（3）过点2(0, 2)2bS且斜率为2b的直线l交曲线于 M、N 两点，用b 的代数式表示，并求出的取值范围。

分值】7 【答案】（1）2；（2）1116；（3）(62 5,)；【解析】（1）若6Ax，因为点A 为曲线1C与曲线2C的交点，222222144AAxybxyb，解得22yb，2b（2）方法一：由题意易得12FF、为曲线的两焦点，由双曲线定义知：212PFPFa，18,24PFa，24PF又5b，126F F在12PF F中由余弦定理可得：2221212121211cos216PFPFF FF PFPFPF方法二：5b，可得2222145(3)64xyxy，解得(4,15)P，（3）设直线24:22bblyx可得原点 O 到直线l的距离222224424414bbdbbb8 所以直线l是圆的切线，切点为M, 所以2OMkb，并设2:OMlyxb，与圆2224xyb联立可得222244xxbb，所以得,2xb y，即( ,2)M b，注意到直线l与双曲线得斜率为负得渐近线平行，所以只有当2Ay时，直线l才能与曲线有两个交点，由222222144Axybxyb，得422Abyab，所以有4244bb，解得222 5b，或222 5b（舍）又因为由上的投影可知：所以21.有限数列na，若满足12131| | . |maaaaaa，m是项数，则称na满足性质p. （1）判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质p，请说明理由 . （2）若11a，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质p，求q的取值范围 . （3）若na是1,2,.,m的一个排列1(4),(1,2.1),kknnmbakmab都具有性质p，求所有满足条件的na. 【分值】【答案】（1）对于第一个数列有|23| 1,|5 3|2,|1 3| 2，满足题意，该数列满足性质p对于第二个数列有|34| 1,|24| 2,|54| 1不满足题意，该数列不满足性质p. 9 （2）由题意可得，111 ,2,3,.,9nnn两边平方得：2-2-1212+1nnnn整理得：11(1)120nn当1q时，得1(1)20n，此时关于n恒成立，所以等价于2n时(1)20q q，所以(2)(1)0，所以q-2或者 ql，所以取q1. 当01q 时，得1(1)2n0, 此时关于n恒成立，所以等价于2n时(1)20q q，所以(2)(1)0，所以21q ,所以取01q 。

当10q 时，得11(1)20nnq当n为奇数的时候，得1(1)20n, 很明显成立，当n为偶数的时候，得1(1)20n，很明显不成立，故当10q 时，矛盾，舍去当1q时，得11(1)20nnq当n为奇数的时候，得1(1)20n, 很明显成立，当n为偶数的时候，要使1(1)20n恒成立，所以等价于2n时(1)20q q，所以021，所以q-2或者q1，所以取q-2综上可得，, 20,q3）设1=ap3,4,32pmm,，因为1ap，2a可以取1p或者1p，3a可以取2p或者+2p如果2a或者3a取了3p或者3p，将使na不满足性质p10 所以，na的前五项有以下组合：1ap，21ap，31ap，42ap，52ap，1ap，21ap，31ap，42ap，52ap，1ap，2+1ap，31ap，42ap，52ap，1ap，2+1ap，31ap，42ap，52ap，对于，11bp，212bb，311bb，与nb满足性质p矛盾，舍去对于，11bp，212bb，313bb，412bb与nb满足性质p矛盾，舍去对于，1+1bp，212bb，313bb，411bb与nb满足性质p矛盾，舍去对于，1+1bp，212bb，311bb，与nb满足性质p矛盾，舍去。

所以3,4,32pmm,，均不能同时使na，nb都具有性质p当=1p时，有数列na：1,2 3,1,mm，,满足题意当=p m时，时有数列na：,1,3 21m m, , ,满足题意当=2p时，有数列na：21,3,1,mm，,满足题意当=p m时，有数列na：1,2,3,3 21mm mm, , ,满足题意故满足题意的数列只有上面四种。