全等关于三角形作辅助线专题一重点截长补短法可打印版.doc

全等对于三角形作协助线专题一要点：截长补短法可打印版本全等三角形作协助线经典例题常有协助线的作法有以下几种：1) 碰到等腰三角形， 可作底边上的高， 利用“三线合一” 的性质解题， 思想模式是全等变换中的 “对折”．2) 碰到三角形的中线， 倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转” ．3) 碰到角均分线， 能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角均分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的均分线，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角均分线时延伸垂线段，结构等腰三角形）5) 截长法与补短法， 详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延伸，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明．这类作法，合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特别方法：在求相关三角形的定值一类的问题时 ，常把某点到原三角形各极点的线段连结起来， 利用三角形面积的知识 解答．A一、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图△ ABC中， AB=5， AC=3，则中线 AD的取值范围是 _________.B D C2：如图，△ ABC中， E、F 分别在 AB、 AC上， DE⊥DF， D 是中点，试比较 BE+CF与 EF 的大 / A小 .EFAB D CB D E C3：如图，△ ABC中，BD=DC=AC，E 是 DC的中点，求证：AD均分∠ BAE.中考应用：以 ABC 的 两 边 AB 、 AC 为 腰 分 别 向 外 作 等 腰 RtABD 和 等 腰 Rt ACE ，BADCAE90 , 连结 DE ，M、N 分别是 BC、DE 的中点．研究： AM 与 DE 的地点关系及数目关系．（ 1 ）如图①当 ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的地点关系是，线段AM与DE的数目关系是；（2）将图①中的等腰 Rt ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转问中获得的两个结论能否发生改变？并说明原由．(0<<90) 后，如图②所示， （ 1）A二、截长补短1. 如图， ABC 中， AB=2AC，AD均分BAC ，且 AD=BD，求证： CD⊥ ACCBDAD2：如图， AD∥ BC， EA,EB 分别均分∠ DAB,∠ CBA， CD过点 E，求证 :AB＝ AD+BCEB C03：如图，已知在 ABC 内， BAC 60 ， C 40 0 ，P，Q分别在 BC，CA上，而且 AP，ABQ分别是 BAC ， ABC 的角均分线。

求证： BQ+AQ=AB+BPBQPCA4：如图，在四边形 ABCD中，BC＞BA,AD＝ CD，BD均分ABC ，求证：AC 1800DB C5: 如图在△ ABC中， AB＞ AC，∠ 1＝∠ 2， P 为 AD上随意一点，求证 ;AB-AC＞PB-PCA12PBCD6．如图，在△ ABC中， AD均分∠ BAC，AB+BD=AC，求∠ B∶∠ C 的值．中考应用 ：如图，在四边形 ABCD 中， AD//BC ，点 E 是 AB 上一个动点， 若∠ B=60°， AB=BC ，且 ∠ DEC=60°，判断 AD+AE 与 BC 的关系并证明你的结论FDE三、找全等AH1. 已知：如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 o，BG CAC=BC ， D 为 BC 的中点， CE⊥ AD 于 E，交 AB 于 F，连结 DF ．求证：∠ ADC= ∠BDF ．2．如图，△ ABC 中， AB=AC ，过点 A 作 GE∥BC ，角均分线 BD 、 CF 订交于点 H，它们的延伸线分别交GE 于点 E、G．试在图 10 中找出 3 对全等三角形， 并对此中一对全等三角形给出证明．AE F1 D 2B C四. 借助角均分线造全等说明：①碰到相关角均分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，而后依据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的均分线性质得出两角相等．练习：1． 已知：△ ABC 中， BD=CD ，∠ 1＝∠ 2．求证： AD 均分∠ BAC ．2. 如图 22， AB ∥ CD ， E 为 AD 上一点，且 BE 、 CE 分别均分∠ ABC 、∠ BCD ．求证： AE=ED ．A②以角的均分线为对称轴结构对称图形E例： 如图，在△ ABC 中， AD 均分∠ BAC ，∠ C=2∠ B．求证： AB=AC+CD ．剖析：因为角均分线所在的直线是这个角的对称轴，所以在BDCAB 上截取 AE=AC ，连结 DE ，我们就能结构出一对全等三角形，进而将线段AB 分红 AE 和 BE 两段，只要证明BE=CD就能够了．A③延伸角均分线的垂线段，使角均分线成为垂直均分线例： 如图，在△ ABC 中， AD 均分∠ BAC ， CE⊥ AD 于 E．FEC求证：∠ ACE= ∠ B+∠ ECD ．BD剖析：注意到 AD 均分∠ BAC ， CE⊥ AD ，于是可延伸CE 交 AB 于点 F，即可结构全等三角形．④利用角的均分线结构等腰三角形如图，在△ ABC 中， AD 均分∠ BAC ，过点 D 作 DE∥ AB ，DE 交 AC 于点 E．易证△ AED 是等腰三角形．所以，我们能够过角均分线上一点作角的一边的平行线，结构等腰三角形．CE DA B例： 如图，在△ ABC 中， AB=AC ， BD 均分∠ ABC ，DE⊥ BD 于 D，交 BC 于点 E．求证： CD= 1 BE．2全等三角形作协助线·课后练习1．在△ ABC 中，∠ BAC=60 o，∠ C=40o，AP 均分∠ BAC 交 BC 于 P， BQ 均分∠ ABC 交 AC 于 Q．求证： AB+BP=BQ+AQ ．2．如图，在△ ABC 中， AD 均分∠ BAC ， AB=AC+CD ．求证：∠ C=2∠ B ．B3．已知， E 为△ ABC 的∠ A 的均分线AD 上一点， AB ＞ AC ．求证： AB - AC ＞ EB- EC．A4．如图，在四边形 ABCD 中， BC ＞ BA ，AD=CD ， BD 均分∠ ABC ． 求证：∠ A+ ∠ C=180o．BD5．如下图，已知 AD ∥ BC ，∠ 1=∠ 2，1∠3= ∠ 4，直线 DC 过点 E 作交 AD 于点 D ，交2BC 于点 C．A求证： AD+BC=AB ．6．已知，如图，△ ABC 中，∠ ABC=90 o，1AB=BC ， AE 是∠ A 的均分线， CD ⊥AE 于 D．求证： CD= AE ．27．△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=100 o，BD 是∠ B 的均分线．求证： AD+BD=BC ．BAD CDCE C3 4B AC E BDADCA8．如图，△ ABC 中， AD 均分∠ BAC ， AD 交 BC 于点 D，且 D 是 BC 的中点．求证： AB=AC ．B D CF9．已知：如图，△ ABC 中， AD 是∠ BACMA的均分线， E 是 BC 的中点， EF∥ AD ，交 AB 于 M ，交 CA 的延伸线于 F．求证： BM=CF ．B E D C10. 如图，已知在△ ABC中，∠ B=60°，△ ABC的角均分线 AD,CE订交于点 O，求证： OE=ODA11. 如图，△ ABC中，AD均分∠ BAC，DG⊥ BC且均分 BC，DE⊥AB于 E，DF⊥ AC于 F. （ 1）说明 BE=CF的原由；（ 2）假如 AB=a ，AC=b ，求 AE、BE 的长 .EBGCFD中考应用 :如图①， OP 是∠ MON 的均分线， 请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参照这个作全等三角形的方法，解答以下问题：（1）如图②，在△ ABC 中，∠ ACB 是直角，∠ B=60°， AD 、CE 分别是∠ BAC、∠ BCA 的均分线， AD 、 CE 订交于点 F 请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数目关系；（2）如图③，在△ ABC 中，假如∠ ACB 不是直角，而 (1) 中的其余条件不变，请问，你在(1) 中所得结论能否仍旧建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原由BMBEEFDFDOPACC图①NA图③图②。