线性代数3.2初等矩阵和求逆矩阵的初等变换法ppt课件.ppt

3.2 3.2 初等矩阵与求逆初等矩阵与求逆 矩阵的初等变换法矩阵的初等变换法一一二二三三初等矩阵的概念初等矩阵的概念初等变换法求矩阵的逆矩阵初等变换法求矩阵的逆矩阵 逆矩阵在解矩阵方程中的应用逆矩阵在解矩阵方程中的应用.一、初等矩阵的概念一、初等矩阵的概念 1．初等矩阵定义1 由单位矩阵 经过一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵 2．初等矩阵的类型三种初等变换对应有三种初等矩阵1〕交换两行〔或列）表示表示单单位矩位矩阵阵交交换换i、、j行〔列）行〔列）（（2〕用任意常数〕用任意常数去乘某行〔或列）去乘某行〔或列）第第i行〔列〕乘非零常数行〔列〕乘非零常数k后得到的初等矩后得到的初等矩阵阵；；后得到的初等矩后得到的初等矩阵阵；；表示表示单单位位矩矩阵阵.（（3〕以数〕以数乘某行〔或列〕加到另一行〔或列〕上乘某行〔或列〕加到另一行〔或列〕上矩矩阵阵或表示或表示单单位矩位矩阵阵第第列乘常数列乘常数k加到第加到第列后得到的列后得到的表示表示单单位矩位矩阵阵第第i行乘常数行乘常数k加到第加到第j行后得到的初等行后得到的初等初等矩初等矩阵阵这样，初等矩阵共有三类： , , 。

.3．初等矩．初等矩阵阵的作用：左乘的作用：左乘变变行，右乘行，右乘变变列列用阶初等矩阵左乘，得.其结果相当于对矩阵施第一种初等行变换：的第行与第行对调（）类似地，阶初等右乘，其结果相当于对施第一种初的第列与第列对调（）矩阵可以验证，左乘矩阵，其结果相当于以数乘的第行；右乘矩阵，其结果相当乘的第列（）矩阵等列变换：把于以数.同样，还也验证，以左乘矩阵其结果相当于对作初等行变换；以右乘矩阵，其结果相当于对作初等列变换综上所述，可得下述定理：定理定理1 设设是一个是一个阶阶矩矩阵阵，，对对作一作一的左的左边边乘以相乘以相应应的的阶阶初等矩初等矩阵阵；；对对作一次初等列作一次初等列变换变换，相当，相当的右的右边边乘以相乘以相应应的的阶阶初等矩初等矩阵阵初等行初等行变换变换，相当于在，相当于在次次于在于在.【注】 这里乘以相应阶初等矩阵的意思是：作一次什么样的初等变换，就相当于乘以对作同样初等变换得到的初等矩阵对.4．初等矩阵的可逆性因为 ， ， 所以 ， ， 。

即：初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵仍是同类的初等矩阵二、初等变换法求矩阵的逆矩阵二、初等变换法求矩阵的逆矩阵1．矩阵可逆的两个充分必要条件在上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的现现再再给给出两个充分必要条件出两个充分必要条件行列式引理引理 初等变换不改变矩阵的可逆性初等变换不改变矩阵的可逆性证明证明 不妨设不妨设阶矩阵经过一次初等行变换化成矩阵，则存在初等矩阵使假设 可逆，那么可逆；又若可逆，那么可逆由定理1，可得：定理定理2 阶矩阵，那么 可逆的充分必要条件是只通过初等行〔列〕变换化为单位矩阵为定理定理3 设设为阶矩阵，那么 可逆的充分必要条件是使存在有限个初等矩阵证证明：（必要性〕因明：（必要性〕因为为可逆，那么 可只通过行〔列） 初等变换化为单位矩阵所以，若记 ，那么 是初等矩阵的乘积（充分性〕若存在初等矩阵 ，使因为可逆，从而可逆，所以可逆 例例1 设设把表示成初等矩阵的乘积解解 见见§3.1例例3.可逆的一个重要意义是可以分解为初等（或）相当于对施行若干【注】矩阵【注】矩阵矩阵的乘积这时推推论论1 阶矩阵与等价的充分必要条件是存阶可逆矩阵阶可逆矩阵，使在及次初等行〔列〕变换。

2．求矩阵逆矩阵的初等变换法因为可逆，据定理2，有初等矩阵 使 ，即 于是上两式表明：经一系列初等行变换化为 ，那么可经这同一系列初等行变换化为 用分块矩阵形式，两式可以合并为.或 即对矩阵作初等行变换，当把化为时，就化成了)(【注】上面介绍的方法中，只能用行变换，不能用列变换例例2 设设求解解 .所以.同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的阶矩阵逆矩阵这时，对进行初等列变换，当上半子块化为 时，可逆，且下半子块就是即若上半子块能够化为时，说明可逆，否则，不可逆注】 在这种方法中，只能用列变换，不能用行变换例例3 求矩阵求矩阵的逆矩阵 解解.故【注】 设和都是阶方阵，则求它们逆矩阵的方法有如下几种：（1〕定义法假设，那么 A 是可逆矩阵，且2〕利用推论1假设或，那么 和都可逆，并且.（3〕公式法假设，则矩阵A可逆，且4〕初等变换法或（5〕用分块矩阵求逆矩阵三、逆矩三、逆矩阵阵在解矩在解矩阵阵方程中的方程中的应应用用设有阶可逆矩阵及矩阵 ，满足矩阵的如何快捷得到？ 直接有 方程因为可逆，据定理2，有初等矩阵 ，使 ，即于是 .上两式表明：经一系列初等行变换化为，那么可经这同一系列初等行变换化为。

用分块矩阵形式，两式可以合并为或 即对矩阵作初等行变换，当把化为时，就化成了特别地，当时，假设，那么可逆，且这便是前面给出的结论同理，假设，则有即【注】上半子【注】上半子块块能能够够化化为为时，说明可逆，不可逆否则.。