第二十六讲 余数问题.docx

第二十六讲余数问题告诉你本讲的重点、难点同余的概念：一般地，两个整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得的余数相同，就称a和 b对于模m同余，记为a三b(modm).有时也可简读作a与b同余，这时只是未将模m读出而已，很明 显一谈到同余总与模有关．例如：像17和 26这两个数，被3除所得的余数相同(都是2)，我们称17和 26对于模 3同余， 记为17三26(mod 3)，这里mod 3读作“模3”，“三”读作“同余于亍•范-题 看老师画龙点睛，教给你解题诀窍【例1】一个两位数去除253,得到的余数是43,求这个两位数, 分析与解 因为253十()=()……43，所以253 - 43二除数乂商=210,210的两位数的因数有10,14,15,21,30,35,42,70,其中只有70大于 余数 43，所以这个两位数只能是70.【例2】由一个自然数，用它分别去除63，90，130 都有余数，三个余数的和是25，这三个 余数中最小的一个是几？分析与解 由于这个数去除 63，90，130 都有余数，三个余数的和是 25，那么从 63，90， 130 的和中去掉 25，剩下的数应该正好是这个自然数的倍数．63 + 90 +130 - 25 二 258 二 1 x 258 二 2 x 129 二 3 x 86 二 6 x 43由于余数的和是 25．所以这个自然数一定小于63．如果是1，2，3，6，余数的和又小于25，所 以这个数是43•于是，63 一 43二1……20,90 一 43二2……4,130 一 43二3……1.余数的和为20 + 4 +1二25,其中最小的是 1．【例 3】两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被13除余几？分析与解 这两个数的和被 13 除所得的余数，与这两个数分别除以13 的余数的和除以 13 的余数相同.7 +10二17,17 一 13二1……4.所以这两个数之和除以13余4.我们也可以用下面的格式解答：假设这两个数是A和B,A + B三(7 + 10)(modl3)三 17(mod13)三 4(mod13)【例4】求437 x 309 x 1993被7除的余数，分析与解 如将437 x 309 x 1993算出后，再用7去除从而求得余数，这显然是可以的，但是数 字较大，比较麻烦.(实际上437 x 309 x 1993二269120769,被7除的余数为1.)利用同余的性质，可将437，309，1993分别被7 除求出余数，再将余数相乘即可得出原数被除的余数.437x309x1993三 3 x 1 x 5(mod 7)三 15(mod 7)三 1(mod 7)即 437 x 309 x 1993 被 7 除余 1.【例 5】 一个大于1的整数，除300，262，205，得到相同的余数，这个整数是多少？分析与解 如果两个整数a, b被自然数m除有相同的余数，那么a与b的差一定是m的倍数.300 - 262 二 38,262 - 205 二 57, (38,57)二 19可以看出38和57的公因数有1和19，由于这个整数大于1，所以这个整数是19. 【例 6】求下列各式的余数：(1)2123 - 6; (2)4848 - 5;可以看出2n除以6的余数总是2, 4, 2, 4, „以“2, 4”为一周期循环，123 一 2 = 61……1, 所以2123 - 6的余数是2.4848就是48个48连乘，根据同余的性质，我们可以算出48除以5的余数是3,因此4848三348 (mod 5)这样我们只要找一找 3的 n 次乘方除以 5 的余数有什么规律,可以看出3”除以5的余数总是3,4,2,1,3,421,…4“3,4,2,1”四个数为一周期，48 -4二12,所以4848十5的余数是1.在研究同余问题时，要记住同余不是等于，同余代表两个数被同一个数除余数相同，不能混淆这 两个概念．纷兵场快来试一试你的身手吧！1.393 除以一个两位数余数是8，这样的两位数有多少个？是哪几个？2．有一个整数，用它分别去除157，234 和 324，得到的三个余数之和是100.求这个整数．3.求2461 x 135 x 6047的积除以11的余数.4.求71100 一 11的余数，%巔丿羸命通往初中名校的班车1.求111...1］被13除的余数.2011个12.求2002 x 2002 - 2001除以7的余数.3. 已知5n -1是7的倍数，n可以取哪些自然数？4. 11 + 22 + 33 + 44 + + 88 + 99除以3的余数是几？为什么？答案第二十六讲余数问题【练兵场】1. 393-8=385385 的因数有：1,385,5,77,7,55,11,35 答:这样的两位数冇35,55,77.2. (157 + 234 + 324)-100= 715-100= 615615 的因数有：615=1 X 615 = 3 X 205 = 5 X 123=15X41.只有41满足条件. 答:这个整数是41.3. 2461X135X6047三8X3 X 8( mod 11)三 192(mod 11)=5( mod 11)即 2461X135X6047 被 11 除余 5.4. 7r°°=5,(>0 = l(mod 11)【冲剌高分】1. 用2011个1所组成的2011位整数去除以13,再求出 余数，显然太麻烦.我们可以先写出若干个1所组成 的数来除以13,容易发现111111是13的倍数，即每 6个1所组成的六位数是13的倍数•再看2011个1 组成的数中有多少个6个1组成的六位数，最后看还 余下多少个1来确定余数.由于 20114-6 = 335 1,即］11：" 11可按 6 个 1 一2011 个 1节分成335节余1个1,而14-13=0 1,所以所求的余数为1-2. 2002X2002-2001三(0X0 —6)(mod 7)= (7~6)(mod 7)=1( mod 7)3. 5"除以7的余数的变化规律是：5,4,6,2,3,1,周期是6, 只有当”是6的倍数时,5"—1才正好是7的倍数.4. 原式三(1】+22 +03 + I4 + 25 + 06 F 17 + 28 + 09 ) (mod3)三(1 + 1+0+1 + 2+0+1 十 1+O)(mod3)=1 (mod 3)。