专题21 圆（学案含解析）-中考数学备考复习重点资料归纳汇总.docx

2022年中考数学一轮复习学案21 圆 中考命题说明考点课标要求考查角度1圆心角、圆周角①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系；②了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．常以选择题、填空题、解答题的形式考查圆心角、圆周角定理的简单运用．2圆的对称性探索圆的性质，理解并会运用垂径定理及其推论．常以选择题、填空题、解答题的形式考查垂径定理及其推论的综合运用．3点与圆、直线与圆的位置关系①探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系；②了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；③了解三角形的内心和外心．常以选择题、填空题、解答题的形式考查直线与圆的位置关系、圆的切线的性质、判定以及三角形的内心和外心．4圆与圆的位置关系探索并了解圆与圆的位置关系．常以选择题、填空题的形式考查圆与圆的位置关系．5弧长和扇形的面积会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积．常以选择题、填空题的形式考查弧长、扇形的面积和圆锥的侧面积、全面积．知识点1：与圆有关的概念知识点梳理1. 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．2. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（如下图中的AB）．3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4. 直径：经过圆心的弦叫做直径（如上图中的CD）．直径等于半径的2倍．5. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．6. 弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB” ．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．7. 等弧：在 同圆 或 等圆 中，能够互相重合的弧叫做等弧．8. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．9. 垂径定理及其推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．10. 圆的对称性： （1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．（2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．典型例题【例1】（3分）（2021•青海6/25）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　）A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分【考点】垂径定理的应用．【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：∵AB＝16厘米，∴AD＝AB＝8（厘米），∵OA＝10厘米，∴OD（厘米），∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/秒），故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【例2】（3分）（2020•宁夏12/26）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺（1尺=10寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．【考点】数学常识；垂径定理的应用【分析】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得尺=5寸，设半径OA=OE=r，则OD=r-1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r-1)2+52=r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．【解答】解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺=5寸，设半径OA=OE=r，∵ED=1，∴OD=r-1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r-1)2+52=r2，解得：r=13，∴木材直径为26寸．故答案为：26．【点评】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．知识点2： 与圆有关的角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．2. 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．4. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．典型例题【例3】（3分）（2021•广东7/25）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为（ ）A． B． C．1 D．2【考点】圆周角定理【分析】如图，过点D作DT⊥AB于T．证明DT=DC=1，推出AD=2DT，推出∠A =30°，可得结论．【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．∵AB是直径，∴∠ACB =90°，∴DC⊥BC，∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥AB，∴DT=DC=1，∵AC=3，∴AD=AC-CD =2，∴AD=2DT，∴∠A =30°，∴，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．【例4】（4分）（2021•重庆A卷5/26）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（　　）A．80° B．100° C．110° D．120°【考点】圆内接四边形的性质． 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再代入求出答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝80°，∴∠C＝100°，故选：B．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．【例5】（10分）（2021•安徽20/23）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【分析】（1）连接OD，由垂径定理推论可得∠OMD＝90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径；（2）连接AC，延长AF交BD于G，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又弧BC＝弧BC，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AGB＝90°，从而得证AF⊥BD．【解答】解：（1）连接OD，如图：∵M是CD的中点，CD＝12，∴DM＝CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，Rt△OMD中，，且OM＝3，∴，即圆O的半径长为； （2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：∵AB⊥CD，CE＝EF，∴AB是CF的垂直平分线，∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，∵CE＝EF，∴∠FAE＝∠CAE，∵，∴∠CAE＝∠CDB，∴∠FAE＝∠CDB，Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，∴∠FAE+∠B＝90°，∴∠AGB＝90°，∴AG⊥BD，即AF⊥BD．【点评】本题考查垂径定理及推论，涉及勾股定理、等腰三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠FAE＝∠CDB．【例6】（10分）（2021•上海23/25）如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD中点．（1）证明：OP⊥EF；（2）联结AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形．【考点】圆的综合题【分析】（1）利用全等三角形的性质证明OE=OF，PE=PF，可得结论．（2）连接AC，设EF交OP于J，想办法证明PE=PF =PA=PC，可得结论．【解答】（1）证明：连接OP，EF，OE，OF，OB=OD．∵AE=EB，CF=FD，AB=CD，∴OE⊥AB，OF⊥CD，BE=DF，∴∠OEB=∠OFD=90°，∵OB=OD，∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL），∴OE=OF，∵∠OEP=∠OFD=90°，OP=OP，∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），∴PE=PF，∵OE=OF，∴OP⊥EF．（2）证明：连接AC，设EF交OP于J．∵AE=EB，CF=FD，AB=CD，∴AE=CF，BE=DF，∵PE=PF，∴PA=PC，∵PE=PF，OE=OF，∴OP垂直平分线段EF，∴EJ=JF，∵OP∥AF，∴EP=PA，∴PC=PF，PA=PE，∴四边形AFEC是平行四边形，∵EA=CF，∴四边形AFEC是矩形．【点评】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，矩形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．知识点3：与圆有关的位置关系知识点梳理1．点与圆的位置关系：（1）设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆内⇔d＜r；③点P在圆上⇔d＝r．（2）不在同一直线上的三点确定一个圆．2．直线与圆的位置关系：（1）直线和圆有三种位置关系，具体如下：①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点．②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线．③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．（2）如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：①直线l与⊙O相交⇔dr；（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（4）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．（5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相。