2019年河南省许昌市禹州第四中学高三数学理测试题含解析.docx

2019年河南省许昌市禹州第四中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn=（n∈N*），bn=log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是(     ) A．S6 B．S5 C．S4 D．S3参考答案：D考点：数列的求和． 专题：计算题．分析：由已知，探求{an}的性质，再去研究数列{bn}的性质，继而解决Sn中最大值．解答： 解：由已知当n=1时，a1=T1=，当n≥2时，an==，n=1时也适合上式，数列{an}的通项公式为an=∴bn=log2an=14﹣4n，数列{bn}是以10为首项，以﹣4为公差的等差数列．=﹣2n2+12n=﹣2[（n﹣3）2﹣9]，当n=3时取得最大值．故选D点评：本题主要考查了等差数列的判定，前n项公式，考查了学生对基础知识的综合运用．体现了函数思想的应用．2. 现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（   ）A．        B．            C．     D．参考答案：C3. 设对数函数，则下列等式正确的是             （    ）    A．            B．    C．             D．参考答案：答案：B 4. 如果成等比数列，那么                                            （    ）       A．     B．   C．   D．参考答案：答案:B 5. 设（是虚数单位），则 (   ) A．  B．    C．     D．  参考答案：A6. 已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，，那么集合A∩（?UB）=（　　）A．[﹣2，4） B．（﹣1，3] C．[﹣2，﹣1] D．[﹣1，3]参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合A、B，根据补集与交集的定义写出A∩（?UB）．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}={x|﹣2≤x≤3}，={x|x＜﹣1或x≥4}，∴?UB={x|﹣1≤x＜4}，∴A∩（?UB）={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]．故选：D．7. 已知，则（ ）A． B． C． D．参考答案：C8. 已知x和y是实数，i是虚数单位，（1+i）x+yi=（1+3i）i，则|x+yi|等于（　　）A． B．5 C． D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等及其模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）x+yi=（1+3i）i，∴x+（x+y）i=﹣3+i，∴x=﹣3，x+y=1，解得x=﹣3，y=4，则|x+yi|=|﹣3+4i|==5．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等及其模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　9. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象(     )A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向心平移个单位参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0）的图象可知其周期T，从而可求得ω，继而可求得φ，利用三角函数的图象变换及可求得答案．【解答】解：依题意，f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0）的周期T=2×（﹣）=π=，∴ω=2，又2×+φ=π，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）；∴f（x+）=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）；∴为了得到函数y=cos（2x+）的图 象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位．故选C．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，考查推理分析与运算能力，属于中档题．10. 已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题：x﹣1045f（x）1221（1）函数y=f（x）是周期函数；（2）函数f（x）在（0，2）上是减函数；（3）如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；（4）当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．【解答】解：函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：由图得：∵函数的定义域为闭区间，而周期函数的定义域一定是无界的，故①为假命题；②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误；∵函数f（x）在定义域为[﹣1，5]共有两个单调增区间，两个单调减区间，故函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个，即④错误，故选：A．　二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是    ▲    ．参考答案：12. 在中，角对应的边分别为，，则的面积为           .参考答案：13. 已知为虚数单位，复数满足，则__________．参考答案： 14. 在中，，的面积为，则__________。

参考答案：15. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交    于和两点，，则的实轴长为__________．参考答案：416. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点的横、纵坐标，则点在直线上的概率为    .参考答案：略17. 已知的面积为，,,则的周长等于             ．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本题满分14分)已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，与的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝sin2θ＋2sinθcosθ＋3cos2θ的最小值.参考答案：解：(1)由题意知：·＝| || |cosθ＝6，                                        ①S＝| || |sin(π－θ)＝| |||sinθ，                                                  ②②÷①得＝ tanθ，即3tanθ＝S.由≤S≤3，得≤3tanθ≤3，即≤tanθ≤1.又θ为与的夹角，∴θ∈[0，π]，∴θ∈[，].(2)f(θ)＝sin2θ＋2sinθcosθ＋3cos2θ＝1＋sin2θ＋2cos2θ＝2＋sin2θ＋cos2θ＝2＋sin(2θ＋).∵θ∈[，]，∴2θ＋∈[，].∴当2θ＋＝，θ＝时，f(θ)取最小值3.19. （本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，，分别是，的中点. （Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）若到的距离为 ，求正三棱柱的体积．参考答案：（Ⅰ）略 （Ⅱ），20. 已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面平面ABCD，，点E，F分别为PD，AB上的一点，且，．(1)求证：平面；(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值．参考答案：（1）见解析；（2）【分析】(1)作辅助线FG，点G在PC边上，且，由题中条件可得为平行四边形，再由线线平行证得线面平行。

2)用建系的方法求线面正弦值详解】(1) 证明：取边上点，使得，连接.因为,所以，且.又，所以，且.所以，且，所以四边形为平行四边形,则.又平面，平面，所以平面.(2) 解：取中点,由，所以又平面平面，交线为，且,所以平面.以为原点建系，以，，为轴，轴，轴.所以，，，，所以，，.设平面法向量为，则，可取,设与平面所成角为，则【点睛】本题考查线面的位置关系，立体几何中的向量方法，属于常考题型21. 已知函数.（Ⅰ）当时，若曲线与在出有相同的切线，求b的值；（Ⅱ）当a=0时，若对任意的恒成立，求b的取值范围. 参考答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ）  解析：（Ⅰ）因为，所以，又，得在处的切线方程为，…………………………………（2分）又因为，所以，又，得在处的切线方程为， 因为曲线与在处有相同的切线，所以.…………（4分）（Ⅱ）由，设，则，（i）当时，，函数在上单调递增，又，所以当时，，与函数矛盾，……（6分）（ii）当时，由，得；由，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，…………（8分）①当时，，又， ，与函数矛盾；②当时，同理，与函数矛盾；③当时， ，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，故满足题意.综上所述，的取值的范围为.……………………………………………（12分） 略22. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数，x∈R，且f(x)的最大值为1．(1) 求m的值，并求f(x)的单调递增区间；(2) 在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若，且，试判断△ABC的形状．参考答案：解：(1) ……………………3分因为所以，…………………………………………………………4分令–+2kπ≤2x+≤+2kπ得到：单调增区间为(k∈Z)………6分( 无(k∈Z)扣1分 )(2) 因为，则，所以………………8分又，则，   化简得，所以，…………………………………………………12分所以，故△ABC为直角三角形．…………………………………………………14分略。