3第三章 模型的简化.docx

第三章 模型的简化在建模过程中，常存在着两个相互矛盾的因素—“简单化”和“精 确性”，一方面为了提高计算速度，减少计算量，使模型简单，但也 有可能有使结论同实际系统不符，另一方面，过分详细的模型导致复 杂性，由于涉及细节太多，不可能用有争议的实际数值来进行计算， 在建模中，应考虑这二个因素折衷方案§3.1 模型描述变量的简化1. 淘汰一个或多个实体、描述变量或相互关系规则（1）淘汰实体或描述变量淘汰一个实体可能要求淘汰或修改其它实体，例如淘汰一个实体，实体的所有描述变量也将被淘汰；淘汰一个描述变量，将需要淘汰或修改涉及那些变量的相互关系 ZWU2）相互关系淘汰泰勒级数 y=a0+a1x+a2x2+„+an xn 若 x<<1 y a0+a1x2. 随机变量取代确定性变量用概率原理来取代某些变量的相互关系规则3. 粗化描述变量集总模型的实体来描述变量与基本模型的实体和描述变量是一 一对应的，但集总模型的某些变量的范围集要比基本模型小，也就是 说集总模型变量范围集中的某个值，在基本模型变量范围集中 可表 示成多个值，这样称粗化1）舍入对于某一变量did2d3.d4d5元素个数105,1 2 3 4 5若只取整数的did2d3，元素个数103JL Z/ J（2）归类和非一致粗化若某一房间有可能有十个明确工作人员，只有5 个座位。

如对于 座位上的工作人员，如考虑具体的人员，就有 C 5 种可能，如只考10虑座位的人数就有｛0,1,…,5｝,考虑5个座位是否有人座｛T, F｝4. 归组实体及聚集变量它把具有相同性质的实体或描述变量聚集起来,并合并成一个实体或描述变 量,特点：其一,信息不受损失,其二,范围粗化例：有26个分子，其基本模型的浓度描述变量，con・A, con・B,…,con-Z分子的浓度con=con・A+con・B+…+con・Z§3.2 动态系统的模型简化— 集结法在动态系统的模型简化的时域方法，主要有二种“集结法”和“摄动法”，这二种方法分别是以经济理论与数学中引进来的系统的集结法是指用一组“较粗略的”状态变量来找述系统模型，但应这个系1、 精确集结法X m和rXn矩阵设Z (t) = Cx (t), Z (0) = Z = Cx，C为l X n(l < n)常数集结矩阵’Z为x的集00结(l X1)，设Rank{C}=l,集结系统为：± (t) = FZ (t) + Gu (t), Z (0) = Z 0 y = KZ (t)把Z(t) = ex (t)代入，集结系统变为:Cx (t) = FCx (t) + Gu (t)y = KCx (t)KC=D动态精确性条件(完备集结条件)为： FC=CA G=CB(lvn, y为rxl输出向量只为近似条件)令 e (t) = z (t) - Cx (t)e (t) = Z (t) - Cx (t)=FZ (t) + Gu (t) — CAx (t) — CBu (t)=F (Z (t) — Cx (t)) + (FC — CA ) x (t) + (G — CB ) u (t)=Fe (t) + (FC — CA ) x (t) + (G — CB ) u (t)若满足前二个条件， FC=CA G=CBe ( t ) = Fe ( t )右 e(0) = z(0) - Cx (0) = Cx - Cx = 000e(t) = 0，动态精确性集结。

若e(0)工0, F为稳定矩阵，lim e(t) = o,渐近满足动态精确性集结t t g• 精确集结法 l对于 Rank[c]=rFC=CAnF=CAC+=CACT(CCT)-iG=CB只要知道C就可求得F、G,得到集结模型 对于上面的求解应有尽有满足相容性关系(充要条件)CAC+C=CA 否则F只是近似解，IIFC-CAI的平方极小化一般情况下，F的特征值构成A矩阵的特征值的子集 这一方法关键是如何选取集结矩阵C，使之能满足FC=CA• 精确集结法2对于原有系统的可控性矩阵W = |B AB A 2 B…An-1 B ]A集结系统的修正可控性矩阵W =GfGF 2 G…Fn-1G ]F以条件FC=CA G=CB 可有WF=CWA若原系统可控，则有rank{WA}=nC=W W +=W W (W W T)-1F A F A A A若F已确定，并选择G,使集结系统完全可控，rank{W }=l,就可得到CF例：已知三阶系统■— 0.1121丁x =1—40x +1u20—61求它的二阶集结模型解：A 的特征值X{A}={-0.7086,-6.648,-4.160}可知第一模型是最慢，选集结矩阵1 0 0 1，可计算F、G0 0.5 0.5Z (t) = FZ (t) + Gu (t)=- 0.11.53-511u (t)10 0.5 — 0.5e (t) = Fe (t) + x (t)0 — 0.5 0.50FC — CA =00.5 —0.51，所以集结系统只是一个近似系统。

— 0.5 0.5Z (t) = FZ (t) + Gu (t)=— 0.1111Z (t) + —411u (t)10 0e (t) = Fe (t) +2、模态集结法首先通过线性变换将高阶系统方程化为模态形式，然后再简化，使得集结模型能精确地保留原高阶系统的主要模态，以实现完全集结对于(3.1)的线性定常系统，如果其特征值为九｛A｝，系统集结i时希望保留r个优势特征值，即时间常数较大(在连续系统中就是模较小的特征值)的优势极点模态集结法就是用某些特征向量组成的 矩阵作为集结的基础，它的第一步工作就是将原有的状态方程变换为 模态形式如果原系统的特征值不同，则模态形式的系统矩阵是对角 阵，其对角元素为特征值；对于有多重特征值的情况，则为分块对角 阵(约当阵)一般情况下，首先将特征值按九｛A｝]的模递升次序排列当A的i特征值有负数和复数时，先将右半平面的特征值按模的递升顺序排 列，再将左半平面的特征值按模的递升顺序排列设为第i个特征i值所对应的特征向量，模态矩阵由这些特征向量构成，为M = [ m m …m ]1 2 n根据特征向量的定义，有am = MJ，J为特征值对角阵或分块对角阵 对于(3.1)的线性定常系统，作线性变换x(t) = Mw (t)，得到w(t) 为状态的模态形式方程W (t) = M -1 AMw (t) + M -1 Bu (t)因为M -1AM = M -1MJ = J，并设K = M -1B，则有模态形式方程W (t) = Jw (t) + Ku (t)如果原系统的优势极点和劣势极点的分界非常明显，其模态矩阵M 和模态形式方程可表示成M1M12Mw (t)■ J0 一w (t)_ K 一1=11+1w (t)l_ 2 J0J2」w (t)l_ 2 JKL 2」u(t)M212(3.4)• 戴维森法戴维森法的集结思路只考虑原系统的优势极点，完全忽略其它特征根对系统的影响。

由（3.4），有W (t) = J w (t) + PKu (t) = PJPw (t) + PM -1 Bu (t)其中p ：［i o］是IXn变换矩阵，又有w(；)= M -ix⑴，得到集结方程 l 1 1 1x (t) = M PM -1AMPM -1 x (t) + M PM -1 Bu (t)1 1 1 1 1(3.5)因此，对于戴维森模态集结法，其集结矩阵F, G为F = M PM -1AMP tM -1, G = M PM -1B1 1 1• 奇达巴拉法对于（3.1）的线性定常系统，如果其优势极点和劣势极点的分界非常明显，模态矩阵可按主次特征根进行分块表示它的模态矩阵及其逆矩阵表示成其中分块矩阵 M 、 M14分别为1X（ n-i）矩阵输入变量也可按此分块处理，可设x （t）=x (t )1x (t )2=Mw (t) = Mw (t )1w (t )2(3.6)其中wi（t）＞ w2（t）分别为I、n-1维,wi（t）是集结保留状态同时，原系■MM 一■NN 一M =12N =12MMNN3434统（3.1）可表示为x(t) = Ax (t) + BU (t)=■AA 一x (t)■ B 一121+1u(t)A3A4x (t)1- 2 」B i_ 2 j利用(3.6)将上式化为W (t) = NAMw (t) + NBu (t) (3 7)=Jw (t) + Ku (t)其中J = NAM J— 0 1，J是个对角阵，如果有重根时，则为约当阵。

0 JN1N2A1A2M1M2进行分块运算NNAAMM343434J =[N-NN-1N][ A M+ A M ]1124311 2 3J =[N-N N -1 N][A M + A M ]2431232 4 4K=NB+ NB11122K=2NB31+ NB422将 J = NAM =整理可得另外，对MN = /进行分块运算处理，可得N = [ M — M M -1M ] -11 1 2 4 3N = -M -1M N2 1 2 4N = -M -1M N3 4 3 1N =[M - M M -1M ]-14 4 3 1 2由此将(3.7)式改写成W (t) = M -1[A M + A M ]w (t) + {[M - M M -1M ]B - M -1M [M1 1 1 1 2 3 1 1 2 4 3 1 1 2 4-M M -131M ]-1 B }u(t)22W (t) = M -1 [a M + A M ]w (t) 12 <32「442 ] 「+ — M -1M Im — M M -1M 丄1B + Im — M M -1M 丄1B U (t)4 3 1 2 4 3 1 4 3 1 2 2因为w (t)包含的都是小时间常数的变量，就可看作这些变量的过 渡过程极短，很快达到稳态，即w (t) = 0。

因此，集结系统只选取原 系统前l个为主特征值的状态变量2为集结状态变量根据(3.6)、(3.7) 式及有关方程，有:X (t) = A x (t) + A x (t) + B u (。