(人教B版)必修一名师：2.3《函数的应用(Ⅰ)》教案设计.doc

示范教案整体设计教学分析函数基本模型的应用是本章的重点内容之一•教科书用例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行 练习•在例题中，分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用.三维目标1 •培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式.2 •会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题.3 •通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系.重点难点教学重点：根据实际问题分析建立数学模型，并根据数学模型解决实际问题.教学难点：建立数学模型.课时安排1课时教学过程应用示例思路1例1某列火车从北京西站开往石家庄， 全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h匀速行驶.试 写出火车行驶的总路程 s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求离开北京 2 h时火车行驶的路程.11 11解：因为火车匀速运动的时间为(277 — 13) - 120= — (h)，所以 0W t 冬一.5 5因为火车匀速行驶t h所行驶路程为120t，所以，火车行驶的总路程 s与匀速行驶时间t之间的关系是s=13+ 120t(0 < t w11J •11 离开北京2 h时火车行驶的路程 s= 13+ 120X = 233（km） •6点评：本题函数模型是一次函数，要借助于相关的物理知识来解决变式训练电信局为了满足客户不同需要，设有 A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费 （元）与通话时间（分钟）之间关系如下图所示（其中MN/ CD）.（1） 分别求出方案 A、B应付话费（元）与通话时间x（分钟）的函数表达式f（x）和g（x）;（2） 假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择 A、B两种优惠方案的？并说明理由.解：（1）先列出两种优惠方案所对应的函数解析式:f(x) = 20, 0w xw 100,j^x—10, x>100,g(x)=*50, 0< xW 500, 10X — 100, x>500.3⑵ 当 f(x) = g(x)时，10x — 10= 50,••• x= 200. •••当客户通话时间为 200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为 0Wxv 200分钟，g(x) >f(x)，故选择方案 A; 当客户通话时间为 x>200分钟时，g(x) v f(x)，故选择方案B.例2某农家旅游公司有客房 300间，每间日房租为 20元，每天都客满•公司欲提高档次，并提高租金•如 果每间客房每日增加 2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅游公司将房间租金提高到多少时， 每天客房的租金总收入最高？分析：由题设可知，每天客房总的租金是增加 2元的倍数的函数•设提高为 x个2元，则依题意可算出总租金(用y表示)的表达式•由于客房间数不太多，为了帮助同学理解这道应用题，我们先用列表法求解，然后 再用函数的解析表达式求解.解：方法一 依题意可列表如下：xy0300X 20= 6 0001(300 — 10X 1)(20 + 2X 1) = 6 3802(300 — 10X 2)(20 + 2X 2) = 6 72 03(300 — 10X 3)(20 + 2X 3) = 7 0204(300 — 10X 4)(20 + 2X 4) = 7 2805(300 — 10X 5)(20 + 2X 5) = 7 5006(300 — 10X 6)(20 + 2X 6) = 7 6807(300 — 10X 7)(20 + 2X 7) = 7 8208(300 — 10X 8)(20 + 2X 8) = 7 9209(300 — 10X 9)(20 + 2X 9) = 7 98010(300 — 10X 10)(20 + 2X 10) = 8 00011(300 — 10X 11)(20 + 2X 11) = 7 98012(300 — 10X 12)(20 + 2X 12) = 7 92013(300 — 10X 13)(20 + 2X 13) = 7 820由上表容易得到，当 x = 10,即每天租金为 40元时，能出租客房 200间，此时每天总租金最高，为 8 000元•再提高租金，总收入就要小于 8 000元了.方法二 设客房租金每间提高 x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为 y = (20 + 2x)(3002 2 2—10x) = — 20x + 600x — 200x+ 6 000 =— 20(x — 20x + 100 — 100) + 6 000 = — 20(x — 10) + 8 000.由此得到，当 x= 10时，ymax= 8 000.因此每间租金为 20+ 10X 2= 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为 8 000元.点评：二次函数模型是最重要的函数模型，是课程标准和高考的重点变式训练某车间生产某种产品，固定成本为 2万元，每生产一件产品成本增加 100元，已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入， 它是成本与总利润的和， 单位：元)是年产量Q(单位：件)的函数，满足关系式：400Q— ocf, OW Q<400,R= f(Q) = 280 000 , Q>40Q求每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？「 1(Q€ Z) •|300Q—农―20 000 , 0W CW 400, 解：y = R— 100Q- 20 000 = 260 000 — 100Q, Q>400丄 1 2(1 )0 W QC 400 时，y =— 2(Q— 300) + 25 000 ,•••当 Q= 300 时，ymax= 25 000.⑵Q >400 时，y= 60 000 — 100Q< 20 000 ,•综合⑴(2)，当每年生产300件时利润最大为25 000元.例1某单位计划用围墙围出一块矩形场地,现有材料可筑墙的总长度为I,如果要使围墙围出的场地面积最大，问矩形的长、宽各等于多少?解：设矩形的长 为x(0 < x < 2)，则宽为；(1 — 2x)，从而矩形的面积为I — 2x 2 I 2 IS= x • 2 = — x + 2x = — [x —I 2 I 2 I 2 I+(4)—(4)] =— (x —4)+ 16.由此可得，该函数在 x =［时取得最大值，且4Smax= 1这时矩形的宽为16I — 2x—厂即这个矩形是边长等于4的正方形时，所围出的面积最大.点评：本题转化为求二次函数的最值，在实际应用问题中，二次函数是最常见的函数模型变式训练某农产品去年各季度的市场价格如下表：季度第一季度第二季度第三季度第四季度每吨售价(单位：元)195.5200.5204.5199.5今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价 m‘ (平衡价m是这样的一个量：m与各季度售价差的平方和最小 )收购该种农产品，并按每个100元纳税10元(又称征税率为10个 百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低 x个百分点，预测收购量可增加 2x个百分点，(1) 根据题中条件填空， m= (元/吨)；(2) 写出税收y(万元)与x的函数关系式；⑶若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的 83.2%，试确定x的取值范围.解：(1) v f(m) = (m— 195.5) + (m— 200.5) + (m— 204.5) + (m— 199.5) = 4m — 1 600m+ 160 041 , • m= 200.⑵ 降低税率后的税率为(10 — x)%,农产品的收购量为a(1 + 2x%)万吨，收购总金额为200a(1 + 2x%),, 200 1故 y = 200a(1 + 2x%)(10 — x)%=〔° 000 a(100 + 2x)(10 — x) = 50a(100 + 2x)(10 — x)(0 < x<10) •1⑶ 原计划税收为 200aX 10%r 20a(万元)，1 2依题意得 ”a(100 + 2x)(10 -x) >20ax 83.2 % 即 x + 40x- 84< 0. 50解得—42Wxw2.又 Ov xv 10,二 Ovx<2.•••X的取值范围是 0v xw 2.例2建立函数数学模型的例子.问题：我国1999〜2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示:年份19992000[:20012002x0123生产总值8.206 78.944 29.593 310.239 8(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式;⑵ 利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；⑶ 利用关系式估计 2003年我国的国内生产总值.解：(1)画出函数图形•从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择线性函数建立数 学模型.如下图所示•设所求的线性函数为把直线通过的两点(0,8.206 7) 和(3,10.239 8) 代入上式，解方程组，得 k = 0.677 7 , b = 8.206 7.因此，所求的函数关系式为 y= f(x) = 0.677 7x + 8.206 7.(2) 由得到的关系式计算出 2000年和2001年的国内生产总值分别为 f(1) = 0.677 7X 1+ 8.206 7= 8.884 4,f(2) = 0.677 7 X 2+ 8.206 7 = 9.562 1，与实际的生产总值相比，误差不超过 0.1万亿元.(3) 假设我国2002年以后国内生产总值还按上面的关系式增长， 则2003年(即x = 4时)的国内生产总值为 y=f(4) = 0.677 7 X 4+ 8.206 7 = 10.917 5，所以2003年国内生产总值约为 10.917 5 万亿元.点评：根据国家统计局公布的数据， 我国2003年国内生产总值为11.669 4万亿元，比估计的数字高得多. 这说明为解决实际问题所建立的数学模型是否符合实际情况，还要经过实践的验证，如果与实际误差较大，就要 修正得到的数学模型.这里是同学们第一次学习数学建模，问题虽然简单，但体现了数学建模的主要思路•顺此思路，同学们不妨取两点(0,8.206 7) , (2,9.593 3) 去求函数关系式，进一步体会数学建模的思想变式训练九十年代，政府间气候变化专业委员会 (IPCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使 CQ浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO浓度分别比1989年增加了 1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若 用一个函数模拟九十年代中每年 CQ浓度增加的可比单位数 y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数 y = a •bx+ c(其中a、b、c为常数)，且又知1994年大气中的CQ浓度比1989年增加了 16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？解：(1)若以f(x ) =。