高考数学解析几何最值问题常用技巧分式函数值域问题分类导析.pdf

分式函数值域问题分类导析求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法首先我们给出分式函数的定义：形如)()()(xqxpxf的函数叫做分式函数，其中)(xp、)(xq是既约整式且)(xq的次数不低于一次下面就)(xp、)(xq的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论1.一次分式函数)(xp、)(xq的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如0,)(cAxdcxbaxxf的函数一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成)(1yfx，由于Ax，则Ayf)(1，解出 y 的取值范围，即函数f(x)的值域例1 求函数232xxy，8,3x的值域解：改写 成232yyx，因为8,3x，所以82323yy，解得9619y，即原函数的值域是9,619二次分式函数)(xp、)(xq至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，即形如不全为零、daAxfexdxcbxaxxf,)(22的函数若 A=0|2fexdxx，则可采用根的判别式法求值域名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -例求函数445422xxxxy的值域解：化为关于x 的方程054)1(4)1(2yxyxy若，则方程无解，即1y因为Rx，所以0，解得1y，即原函数的值域是（,1）若 A0|2fexdxx，则再分类讨论2.1形如fexdxcxf2)(，0,dAx且0c的函数先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数)(xf的值域例求函数 5,3,321)(2xxxxf的值域解：令 5,3,4)1(32)(22xxxxxg，则12,4)(xg，所以函数)x(f的值域是),12141,(2.2形如fexdxcbxxf2)(，0,dAx且0b(*)或fexcbxaxxf2)(，0,aAx且0e的分式函数下面就形式(*)讨论解法2.2.1若，则分子分母同除以，得)(xfexfdxb只要讨论函数Axxfdxxg,)(且0 x的值域不妨设0d若0f，则函数)(xg在)0,(和),0(上分别是增函数；若0f，则函数)(xg在,0(df和)0,df上分别是减函数，在名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -),df和,(df上分别是增函数这样利用函数)(xg的单调性，先求出)(xg的值域，从而求出函数)(xf的值域例求函数),1,42)(2xxxxxf的值域解：1,241)(xxxxf令1,4)(xxxxg，则4)(xg，所以函数)x(f的值域是61,0(2.2.2若0c，则换元，令cbxt，转化为.1形式的分式函数例求函数)3,1(,321)(2xxxxxf的值域解：令1xt，则)4,0(,4142ttttty因为)3,(4tt，所以函数)x(f的值域是),31()0,(2.3形如0,)(22aAxfexdxcbxaxxf且0d的分式函数2.3.1若0cb或0fe，则分子分母同除以2x，转化为求关于x1的二次函数的值域，从而求出函数)(xf的值域例求函数 1,31,14)(22xxxxxf的值域解：3,11,3)21(11411)(22xxxxxf因为函数3,11,3)21()(2xxxg的 值域 是2,3，所 以函 数)(xf的值 域是31,21名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -2.3.2若分子分母有一个是完全平方式，不妨设0,)()(22aAxfexdxmxaxf且0d，则可令mxt，转化为2.3.1形式的分式函数例求函数0,1,5444)(22xxxxxxf的值域解：令2xt，则 1,211,1111222tttty因为2,45112t，所以函数)x(f的值域是54,212.3.3 若 都 不 是前 两 种 形 式 的 分 式 函 数，则 改 写 成 部 分 分 式，即fexdxdafcxdaebdaxf2)()(，转化为 2.2 形式的分式函数例求函数2,0,3454)(22xxxxxxf的值域解：2,0,1)2(213421)(22xxxxxf，所以函数)x(f的值域是35,15173分式函数值域在解析几何中的运用解析几何的最值问题常常需要求分式函数的值域，掌握了前面的思想方法，那么对于解决此类问题就易如反掌了下面举例说明例已知直线1l：xy4与点)4,6(P，在1l上求一点Q，使直线PQ与直线1l，以及x轴1l在第一象限内围成的三角形面积最小解：设)4,(00 xxQ，直线PQ的方程y Q P O x。

A 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -是6644400 xxxy，直线PQ交x轴于点)0,15(00 xxA根据题意10 x，所以41)211(1011041521|2120020000 xxxxxxyOASQOAQ，10 x，当20 x时，OAQS的最小值为 40，)8,2(Q此题的解法是将OAQ的面积 S表示为 Q 的横坐标0 x的分式函数，运用求分式函数值域的方法，从而求出面积的最小值例 10设 F1、F2是椭圆62322yx的两个焦点，AB 是过焦点 F1的一条动弦，试求 ABF2面积的最大值，并确定取得最大值时，AB 弦的位置解：设 AB 弦所在的直线方程是1kxy，),(11yxA，),(22yxB，则|212121212xxxxFFSABF由方程组623122yxkxy，消去 y，得044)32(22kxxk，则324221kkxx，324221kxx，222222212212)32()1(483244)324(4)(2kkkkkxxxxSABF，令),3,322tkt，3110,41)211(24)1(242222ttttSABF，当 t=3 时，2ABFS有最大值334，此时 k=0，即 AB 弦过焦点 F1且平行于x轴此题的解法是将 ABF2面积的平方表示为2k的二次分式函数，从而求出最大值y A B F1F2x O 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -。