类型一 最优方案问题.docx

类型一最优方案问题【方法总结】方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题．一、主要题型分类① 经济类方案设计题： 根据方程（组）、不等式（组）的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较来 确定最优方案来解决问题；② 操作类方案设计题：根据实际问题拼接或分割图形．以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的 数学问题转化、抽象成具体的数学问题.二、解题的一般思路1、解决经济类方案设计题一般过程是：① 阅读，弄清问题背景和基本要求；② 分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；③ 建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式（组）模型或函数模型；④ 解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案.2、解决操作类方案设计题一般过程是：① 阅读，弄清问题背景和基本要求；② 慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；③ 标上适当的数据，或附上文字说明.【典例 1】某市继2019 年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某 小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2 个温馨提示 牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2) 该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费 用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是 多少元？【解题思路】(1) 根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出 结论；(2) 根据“费用不超过10 000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得 出结论．【解答过程】(1) 设温馨提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元，根据题意，得2x+3X3x = 550,/. x = 50.经检验，符合题意，3x = 150 元.即温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是 50 元和 150元；(2) 设购买温馨提示牌y个(y为正整数)，则垃圾箱为(100 — y)个， 根据题意，得100-¥>4850v+150(100-VOODOO・•・ 50 W y W 52.•・• y为正整数，・ y 为 50,51,52，共 3种方案.即温馨提示牌 50个，垃圾箱 50个；温馨提示牌 51个，垃圾箱 49个；温馨提示牌 52个，垃圾箱 48个.根据题意，费用为 50y＋150(100—y)=—100y＋15 000，当y = 52时，所需资金最少，最少是9 800元.【总结归纳】 本例题属于经济类方案设计问题， 用方程、不等式知识，是通过计算比较获得解决问题的方案的.此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，一次函数的图像与性质等 知识，正确找出相等关系是解决此类问题的关键.【典例2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深 度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生 中，若每位老师带 17个学生，还剩 12个学生没人带；若每位老师带 18个学生，就有 一位老师少带 4个学生.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.甲种客车乙种客车载客量/(人/辆)3042租金/ (元/辆)300400学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2名老师.(1) 参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？(2) 既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为 辆；(3) 你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由. 【解题思路】(1) 设出老师有x名，学生有y名，得出二元一次方程组，解出即可；(2) 根据汽车总数不能小于300/42 =50/7 (取整为8 )辆，即可求出；(3) 设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为(8—x)辆，由题意，得400x+300(8—x) W 3 100，得x的取值范围，分析得出即可.【解答过程】(1)设老师有x名，学生有y名.根据题意，列方程组为故老师有 16名，学生有 284名．(2) J每辆客车上至少要有2名老师,・•・汽车总数不能大于8辆.又要保证 300名师生有车坐，汽车总数不能小于300"4250~7( 取整为 8)辆，综上可知汽车总数为 8辆．故答案为8.(3) 设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为(8—x)辆，J 车总费用不超过 3 100元，・•・ 400x + 300(8—x) W 3 100,解得 x W 7.为使 300名师生都有座，・•・ 42x + 30(8—x)三 300,解得 x 三 5.5 W x W 7 ( x 为整数).・ 共有 3种租车方案：方案一：租用甲种客车 3辆，乙种客车 5辆，租车费用为 2 900元方案二：租用甲种客车 2辆，乙种客车 6辆，租车费用为 3 000元方案三：租用甲种客车 1辆，乙种客车 7辆，租车费用为 3 100元；故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3辆，乙种客车 5辆.【典例3】有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：方案二小红发现这三种方案都能验证公式a2+2ab+b2=(a+b)2对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．解题思路】根据题目中的图形面积可以分别写出方案二和方案三的推导过程，来解决问题．解答过程】根据由题意，得〉一 H—t 方案二：a2+ab+(a+b)b= a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2〉一 H—t —*■方案三：= a2+2ab+b2=(a+b)2【总结归纳】 本例题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导 过程．【典例4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图 4-1所示 .4-1(1) 请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；(2) 写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量n(kg)之间的函数关系式；在图 4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以 批发到较多数量的该种水果；a AXL w M3IfX) \ ■ I I I I J L I I J AO iD 60 批握Iks〕4-2(3) 经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 4-3 所示. 该经销商拟每日售出 60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销 商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 .SOJ £.30]it&'iB rsbl(7L14-3【解答过程】(1) 图①表示批发量不少于20 kg且不多于60 kg的该种水果，可按5元/kg批 发；图②表示批发量高于60 kg的该种水果，可按4元/kg批发.(2) 根据题意，得女(20^50)w= ■函数图象如图 4-4所示 .金曲W4-4由函数图象可知，资金金额满足240 < w W 300时，以同样的资金可批发到较多数 量的该种水果 .(3)解法一：设当日零售价为 x 元，由函数图象可得日最高销量n = 320 - 40x，当 n〉60 时，x < 6.5 .根据题意，销售利润为y = (x-4)(320-40x) = 40(x-4)(8-x)= 40[-(x-6)2 +4]从而x = 6时，y最大值二160,此时n二80 .即销售商应批发80 kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可得最大利润160 元 .解法二：设日最高销售量为 x kg (x〉60) .则由图 4-3可知日零售价 p 满足 x = 320 - 40p .则 p = (320-x)/40 .销售利润1=-40(x-80)2+160从而x = 80时，y最大值二160,此时p = 6 .即销售商应批发80 kg该种水果，日零售价定为6元/kg,当日可得最大利润160 元 .【典例5】某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件， 现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提 下，解答下列问题：（1） 若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系 式，并求出自变量x的取值范围；（2） 当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.【分析】：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=（售价－进价）X销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值.【解析】： （1） y=（60－x－40）（300+20x）= 6000+400x—300x—20x2= —20x2+100x+6000自变量x的取值范围是0WxW20.（2）Ta=—20〈0,・・・函数有最大值,b 1002a 2 x (-20)_ 2.5 ，4x（-20）x6000 -10024ac-b2 _ _ 61254a 4X（-20）・•.当x=2.5时，y的最大值是6125.・当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.【典例6】现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m,宽为30m，要将这块地划分为 四块分别种植：A •兰花；B •菊花；C •月季；D •牵牛花.(1) 求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长X之间的函数关系式，并写 出自为量的取值范围．(2) 当 x 是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？【答案】：当x = 15m时，种植菊米的面积最大，最大面积为225m2.【分析】：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间 的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.【解析】:(1)由题意知，B场地宽为(30 — x)my = x(30 一 x)二一x2 + 30x，自变量 x 的取值范围为 0 < x < 30(2) y = 一x2 + 30x = 一(x一 15)2 + 225当x =15m时，种植菊米的面积最大，最大面积为225m2.点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值.有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值 范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据 题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值.【典例7】某人定制了一批地砖，每块地砖(如图1(1)所示)是边长为0.4米的正方 形ABCD,点E、F分别在边BC和。