第1章概率论的基本概念教案.pdf

教 案概率论与数理统计(Probability Theory and Mathematical Statistics)一、内容提要本课程内容为随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等二、课时64学时三、教材及参考书1.盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计，第 4 版，北京:高等教育出社，20102.丁正生，刘叶玲，廖登洪等.概率论与数理统计应用，西安：西北工业大学出版社，20033.华东师范大学数学系编.概率论与数理统计教程，北京:高等教育出社，19834.复旦大学数学系.概率论，北京：人民教育出版社，19795.刘景泰等.概率论与数理统计，上海：上海科学技术文献出版社，19916.朱燕堂，赵选民，徐伟，应用概率统计方法，西安：西北工业大学出版社，19977.褚维盘等.概率论与数理统计指导与提高，西安：西北工业大学出版社，20018.Murray Spiegel,John J.Schiller,Alu Srinivasan,Schaum，s Outline of Probability andStatistics(2 edition),McGraw-Hill Trade,20009.Charles J.Stone,A Course in Probability and Statistics,北京：机械工业出版社，2004四、课程教育目标概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课。

通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法,从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力第1章 随机事件及其概率内容提要本章主要讲述随机试验，样本空间，随机事件，事件间的关系与运算，频率，概率的统计定义，概率的性质，古典概型，儿何概型，条件概率，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式，事件的独立性，贝努里概型等内容重点分析1、理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算2、理解事件频率的概念，了解概率的统计定义3、理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率4、了解概率的基本性质及概率加法定理5、了解条件概率的概念、概率的乘法定理6、理解事件的独立性概念，掌握伯努利概型和二项概率的计算难点分析古典概型的计算，乘法公式，全概率公式及贝叶斯公式的应用习题布置习题 1：2；4；6、8、9、1 1；1 3、1 7、1 9、2 2、2 4；2 6、2 9、3 0；3 2；备注第1讲随机事件一、授课题目与课时1.1 随机试验1.2 样本空间与随机事件课时：2二、教学目的与要求(1)理解随机试验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念；(2)理解样本空间、样本点的概念，会用集合表示样本空间和事件；(3)熟练掌握事件的基本关系与运算；三、教学重点与难点重点：事件的基本关系与运算，概率的性质。

难点：用集合表示样本空间和事件四、教学内容(Contents)课程简介(Introduction)首先介绍概率论与数理统计学科研究的主要内容及与其他数学学科的联系第一、二、三、四章是概率论的内容，第五、六、七、八、九、十章是数理统计部分一)概率论的诞生及应用(Naissance and application of probability theory)1、概率论的诞生1 6 5 4 年，一个名叫默勒的骑士就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c 局便算赢家，若在一赌徒胜a局(a c),另一赌徒胜b局S c)时便终止赌博，问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡，帕斯卡与费马通信讨论这一问题，于 1 6 5 4 年共同建立了概率论的第一个基本概念一一数学期望2、概率论的应用概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律一方面，它有自己独特的概念和方法，另一方面，它与其他数学分支又有紧密的联系，它是现代数学的重要组成部分概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学技术领域，例如天气预报，地震预报，产品的抽样调查；工农业生产和国民经济的各个部门，在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性，分辨率等等概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科。

二)随机现象(Random phenomenon)先从实例来分析自然界和社会活动中存在着两类不同的现象例 1 在一个标准大气压力下，水加热到1 0 0 就沸腾例 2 向上抛掷1 0 次五分硬币，硬币往下掉例 3 同性电荷相斥，异性电荷相吸例 4 在一个标准大气压力下，2 0 的水结冰例1、例2、例3是在一定条件下必然发生的现象，而例4是在一定条件下不可能发生的现象我们把这种在保持条件不变的情况下，进行重复试验或观察，其结果总是确定的现象称为确定性现象或必然现象我们接触过的微积分学、线性代数等学科就是研究确定性现象的数学工具与此同时，在自然界和人类社会活动中，人们还发现发生不同结果的另一类现象例5用大炮轰击某一确定目标，其结果可能是击中目标，也可能击不中目标例6在相同的条件下，抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面（常把有币值的一面称作正面）朝上,也可能是反面朝上例7在合格品率为5 0%的产品中任取一件产品，可能取到正品，也可能取到次品例8在合格品率为98%的产品中任取一件产品，很可能取到合格品，但也有可能取到不合格品对于例5 例8所表述的现象进行归纳分析，可以看出：发生的结果预先可知但事先又不能完全确定。

我们把这种在保持条件不变的情况下，重复试验或观察，可能出现这种结果，也可能出现那种结果的现象称为随机现象，也称为不确定性现象或偶然现象自然界和社会上所观察到的现象：确定性现象随机现象确定性现象：在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象确定性现象的特征：条件完全决定结果随机现象：在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前不能预知确切的结果随机现象的特征：条件不能完全决定结果1、随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系，其数量关系无法用函数加以描述2、随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性，但在大量试验或观察中，这种结果的出现具有一定的统计规律性，概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科如何来研先随机现象？随机现象是通过随机试验来研究的Problem:什么是随机试验？（三）概率论与数理统计研究的对象对于不确定性现象，或者说随机现象，人们经过长期地观察或进行大量的试验，分析表明：这些发生结果并非是杂乱无章的，而是有规律可寻的例如，大量重复抛掷一枚硬币，得正面朝上的次数与正面朝下的次数大致都是抛掷总次数的一半；同一门炮击中同一目标的弹着点按照一定的规律分布。

在大量地重复试验或观察中所呈现出的固有规律性，就是统计规律性而概率论与数理统计正是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科概率论是数理统计的理论基础由于随机现象的普遍性，使得概率论与数理统计具有极其广泛的应用例如，使用概率统计的方法可以进行天气预报、地震预报以及产品抽样检验等另一方面，广泛的应用也促进了概率论与数理统计的极大发展1.1 随机试验（Random Events）在一定条件下，对自然现象和社会现象进行的实验或观察常常称为试验，常用E表示例9 E1：将质地均匀的一枚硬币投掷一次，观察正面或反面朝上的情况例10 E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察出现的点数例11 E3：在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命例12 E4：彩票摇奖抽号机中装有标号从1到3 0的3 0只乒乓球，从抽号机中任意抽取1只球，观察其号数上述试验均具有以下三个特点：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是事先明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验之前不能确定哪一个结果会出现把具有上述三个特点的试验，称为随机试验(Random E vents),也简称为试验注意：随机试验是一个含义较广的术语，它包括对随机现象进行观察、测量、记录或进行科学实验等。

我们以后提到的试验都是指随机试验1.2 样本空间(Sampling sp ace)随机事件(Random event)(一)样本空间(Sampling space)对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的一切可能的结果是已知的样本空间(Sampling space)：随机试验E 的所有可能结果组成的集合，记为S样本点(Sampling point)：样本空间的元素，即E 的每个结果例如，上面的6 个随机试验的样本空间分别为：Sl=正，反S2=1,2,6oS3=t|OWt 4 4=0,/,i,/=l,2,.由概率的可列可加性得O O 8 IIP(A U 4U-U 4)=P(U 4)=ZP(4)=EP(4)+0 =P(A)+P(4)+P(4).*=l&=1 k=性 质3(差事件概率)设A,B为两个事件，若A u B,则有P(B-A)=P(B)-P(A)证明：由A u B知B=AU(BA),且(8 4)口4 =0,由概率的有限可加性得到P(B)=P(A)+P(8A),于是-A)=P 一 尸 讲评：关键词是A u 8,否则不成立这里隐含了 P(A)WP(B)如若P(A)=l/2,P(8)=l/3,则尸(8)一 尸(A)=1 /3 1 /2=-1/6#/(B A)0。

一般有：P(A B)=/(A AB)=P(A)P(AB)推 论1 (保序性)若A u B,则P(A)P(B)证明：由概率的非负性知P(B-A)2 0,所以P(A)WP(B)性 质4对于任意事件A,都有P(A)P(A)=1 -P(A)讲 评 在 计 算 用 至 少”或“至多”描述的事件A的概率P(A)时，常常考虑事件A的对立事件，利用公式P(A)=1 P(N)计算P(A)推广至P(AUA2U-UA,)=l-m U A U-U A,)=l-m A-4)性 质 6(一般加法公式)对于任意的事件A,B,有P(A u 8)=P(A)+P(8)-P(AB)证明：因为AU8=A +(B A6),且 4 n(8-A B)=0 及 ABuB,由有限可加性和差事件概率得至|J P(A U B)=P(A)+P(B-A B)=P(A)+P(B)-P(A 8)推论2(加法公式)对于任意的互不相容事件A、B,即A B =有P(A U B)=P(A)+P(B)注意，一般加法公式和加法公式在计算两个事件和的概率时经常使用推论3 对任意的事件A、B,有 P(A U B)W P(A)+P(3)性质6还可以用数学归纳法推广到任意有限个事件的情形。

设 4，人 2,A”是任意”个事件，则有p(A U&U U 儿)=P(4)-E P(4 4)/=!/jn+E P(4A 4)+(T严P(44 4)lz jk N),求：(1 )每个盒子最多有一个球的概率；(2 )某指定的盒子中恰有？(z=0,当且仅当=0 时(,)=0这里,#,$是丫中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间参考资料：高等代数(第三版)古典概率是在有限样本空间下进行的，为了克服这种局限性，我们将古典概型推广如果一个试验具有以下两个特点：(1)样本空间S是一个大小可以计量的几何区域(如线段、平面、立体)2)向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可能的”那么，事件A的概率由下式计算:P(A)=岫 计 量/S的 计 量设S为欧氏空间的一个区域，以m(S)表示S的度量(一维为长度、二维为面积、三维为体积等)Au S是S中一个可以度量的子集，定义为事件A发生的概率，它叫几何概率Example 3 设电台每到整点均报时，一人早上醒来后打开收音机，求他等待时间不超过1 0分钟就能听到电台报时的概率Solution样本空间S=0,6 0(单位:分钟)设A表示等待时间不超过1 0分钟，则A=5 0,6 0。