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电磁学几个关于椭圆积分的处理和计算 PB13000642 吕虹达 电磁学几个关于椭圆积分的处理和计算 PB13000642 吕虹达 摘要：电磁学有些问题需要用椭圆积分处理，这里给出两个例子 电磁学中涉及到很多的数学上的积分计算，而有些问题比较复杂，不能用简单的初等函数表示，但有些例子可以用椭圆积分处理使其计算简化 1. 均匀带电圆环的电势问题 已知均匀带电圆环的半径为 a,电荷量为 q，那么在中轴上的距离圆环中心为 r 处的电势为 那么研究轴线以外的地方则没有这么简单，取球坐标系设 P（r,θ, , ΦΦ）与 P 的方位角ΦΦ没有关系因此，可以令其为 0 以简化计算那么环上 S（a, π/2, Φ’ Φ’）处的电荷元是： 在点 P（r, θ,0）处电势为： 其中: 代入 R 并且对Φ’Φ’积分，电荷在 P 点电势为： 这个积分是椭圆积分，不能用有限项的初等函数表示，所以处理方法为： 于是（5）转化为： 其中： 是周期为π的偶函数，所以： 用 K 表示式（9）： 所以得到圆环在点 P 的电势为： 由上式可知，式（1）是式（11）的特殊情况，即 P 在轴线上 θ=0. 2，椭圆环电流中心处磁感应强度问题： 一椭圆形带电导线，电流为I，求解环中心的磁感应强度。

已知导线的方程是 这个问题可以用极坐标来求解，椭圆方程化为极坐标方程为： 可以令： 那么第（13）式化为： 其中: e 表示椭圆的偏心率 由毕奥—萨伐尔定律，椭圆电流中心 O 处的磁感应强度是： 其中： 为 I 的右旋方向单位矢量将（15）（18）代入（17有： 用 E 表示这种椭圆积分，则有： 代入（19）可得椭圆环形电流在中心处的磁感应强度是： 已知半径为 a 的圆环电流在圆心处的磁感应强度是： 这便是 e=0,a=b,E=π/2 时的一种特殊情况 。