高中数学复习专题14 构造函数法解决导数问题解析版.docx

专题14 构造函数法解决导数问题一、单选题1．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为( )A． B． C． D．【解析】令， 因为对任意，， 所以，即在上单调递减， 又因为，所以， 由，可得，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A．2．定义在上的函数的导函数为.若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）A． B． C． D．【解析】设，则，因为，所以，为定义在上的减函数，因为为奇函数，所以，，，，即，，，故选：C.3．设是奇函数，是的导函数，．当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）A． B．C． D．【解析】令，所以，当当时，，所以，所以可知的在的单调递增，又是奇函数且，所以，则，由， 所以函数为的偶函数且在单调递减，，当时，的解集为，当时，的解集为，综上所述：的解集为：，故选：D4．已知定义域为的函数满足，，其中为导函数，则满足不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【解析】设，则，故在上单调增，又，所以的解为 ，则不等式的解集，故答案为：A5．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【解析】令，则，因为，所以，所以在上为增函数，因为，所以，由（），得，所以，所以且，所以，所以不等式的解集为，故选：B6．已知函数的定义域为，且，，则不等式解集为（ ）A． B． C． D．【解析】由得,即，令,则，因为,即,且,所以,故函数在上单调递减,由,故，即的解集是.故选：C.7．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A． B．C． D．【解析】设函数，，因为，所以，函数单调递增，，所以，即，不等式的解集是.故选：D8．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．【解析】因为，不等式成立，即成立，即，进而转化为恒成立，构造函数，可得，当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数m的取值范围是.故选：B. 二、多选题9．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则使不等式成立的的值不可能为（ ）A． B． C． D．【解析】设，则.，，，即函数在定义域上单调递减.，，不等式等价于，即，解得.故不等式的解集为.故选：.10．已知定义在上的奇函数连续且可导，若（为的导函数），则（ ）A． B．C． D．【解析】是定义在上的奇函数，.在中，令，得，即，A正确；是定义在上的奇函数， ，即，，，，B错误；在中，令，得，又，，C正确；构造函数，则，当时，，在上单调递增，，，，，D正确.故选：ACD11．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A． B．C． D．【解析】设，，，则，.因为对恒成立，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，，即，即.故选：BD.12．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）A． B．C． D．【解析】令，，因为，则，故在，上单调递减，因为，则，结合选项可知，，从而有，即，故错误，因为，结合在在，上单调递减可知，从而有，由可得，故错误；，从而有，且，即．故正确；，从而有即．故正确．故选：． 三、填空题13．已知函数的定义域为，且.若对任意，，则的解集为____【解析】令，则，因为对任意，，所以，所以在上为增函数，又，所以，所以时，即， ，可得，所以的解集为14．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f（1）＝3，且f(x)的导数在R上恒有<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为______.【解析】令g(x)＝f(x)－2x－1，则g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化为.因为，所以g(x)在R上为减函数.由解得：x>1.故答案为：.15．已知函数的导函数为，且满足，当时，．若，则实数m的取值范围是______．【解析】令，则，当时，，∴在上递减，而，，所以，所以是奇函数且在上单调递减，若，则，所以∴，即．16．已知函数的定义域为，且，对于，有成立，则不等式：的解集为___________.【解析】令，则，，，，在R单调递增，，，即，即，又在R单调递增，，不等式的解集为.四、解答题17．已知函数．（1）若函数在点处的切线方程为，讨论函数的单调性；（2）若，对任意，，当，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意可知函数的定义域为，因为，所以，，解得a=1，则，所以，令，解得，，所以当时，，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，（2）当a=1，，不等式，即变形为，令，则，（x>0），不等式可化为，因为对任意[1，10]，当时，不等式恒成立，则可知在[1，10]上单调递减，因为，所以在[1，10]上恒成立，则在[1，10]上恒成立，即令，则，所以在[1，10]上单调递减，所以，所以，所以实数m的取值范围为.18．已知函数，，其中是的导函数.（1）求函数（为常数）的单调区间；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）∵，.∴（），∴.当时，，在上单调递减；当时，由，得，时，.时，.在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，的单调递减区间是；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）当时，不等式恒成立，即恒成立，设，则，当时，，仅当，时，等号成立；在上递增；∴；恒成立；当时，由，得，当时，，在上递减，有，即使，综上所述，的取值范围是.19．设函数，.（1）判断的单调性，并求极值；（2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围.【解析】（1），令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的极小值为，无极大值.（2）因为不等式对任意实数恒成立，所以，对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，令，则，因为，所以，即在上单调递减，所以，即，则.20．已知函数，.（1）证明：；（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围；（3）求的最小值.【解析】（1）∵，∴证明即证明即证明.设，∴， ∴时，单调递增；时，单调递减.∴， ∴即成立. （2）时，即，由（1）知，当时，成立， 当时，显然时不成立，综上，. （3）.设，，∴在上单调递增， ∵，，∴存在使，且时即，递减；时即，递增，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵在是单调递增，∴，∴， ∴.21．已知函数，.（1）若，求的极值；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【解析】（1）时，，函数的定义域是，，令，解得，令，解得，令，解得，故在递减，在递增，故的极小值是，无极大值；（2）存在，使得成立，等价于，成立，设，则，令，解得（舍），；①当，在递减，∴，令，解得；②当时，在递减，在递增，∴与矛盾，综上，实数的取值范围为.22．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）设，若存在正数，使不等式成立，求的取值范围．【解析】（1）当时，，则．令，得；令，得．所以的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），当时，令，得；令，得，所以在区间上为减函数，在区间上为增函数．所以，所以．因为关于的不等式有解，所以，即，所以．令，则，令，得；令，得．所以在区间上为增函数，在区间上为减函数．所以．要使，则且．故a的取值范围是．。