2022年数学分析(华东师大)第四章函数的连续性.docx

精品资料 欢迎下载第 四 章 函 数 的 连 续 性 1 连续性概念连续函数是数学分析中着重争论的一类函数 .从几何形象上粗略地说 , 连续函 数在坐 标平 面上 的图象 是一 条连绵 不断 的曲线 .当然我们不能满意于这种直 观的认 识, 而应 给出函 数连 续性 的精确 定义 , 并由此动身争论连续函数的性质 .本 节中先 定义 函数 在一点 的连 续性和 在区 间上的连续性 .一 函数在一点的连续性定义 1 设函数 f 在某 U〔 x0 〕 内有定义 .如就称 f 在点 x0 连续 .limx → x0f 〔 x 〕 = f 〔 x0 〕 , 〔 1〕例如 , 函数 f 〔 x 〕 = 2 x + 1 在点 x = 2 连续 , 由于又如 , 函数limx → 2f 〔 x〕 = limx → 2〔 2 x + 1 〕 = 5 = f 〔2 〕 .f 〔 x〕 =xsin 1x, x ≠ 0,0 , x = 0在点 x = 0 连续 , 由于limx → 0f 〔 x〕 = limx → 0xsin 1 x= 0 = f 〔 0〕 .为引入函数 y = f 〔 x 〕 在点 x0 连 续 的另 一种 表述 , 记 Δ x = x - x0 , 称为 自变量 x〔 在点 x0 〕 的增量 或转变量 .设 y0 = f 〔 x 0 〕 , 相应 的函数 y 〔 在 点 x0 〕 的 增量记为Δy = f 〔 x 〕 - f 〔 x 0 〕 = f 〔 x0 + Δ x〕 - f 〔 x0 〕 = y - y 0 .注 自变量的增量 Δ x 或函数的增量 Δy 可以是正数 , 也可以是 0 或负数 .引进了增量的概念之后 , 易见“ 函数 y = f 〔 x 〕在点 x0 连续”等价于lim Δy = 0 .Δ x → 0精品资料欢迎下载70第四章函数的连续性由于函数在一点的连续性 是通 过极限 来定 义的 , 因而也可 直接 用 ε - δ 方式来表达 , 即: 如对任给的 ε> 0 , 存在 δ> 0 , 使得当 | x - x0 | < δ 时有| f 〔 x〕 - f 〔 x0 〕 | < ε, 〔 2〕就称函数 f 在点 x0 连续 .由上述定义 , 我们可得出函数 f 在点 x0 有极限 与 f 在 x0 连续这两 个概 念之间的联系 .第一 , f 在点 x0 有极限是 f 在 x0 连续的必要条件 ; 进一步说“, f 在点 x0 连续”不仅要求 f 在点 x0 有极限 , 而且其 极限值应 等于 f 在 x0 的函数 值f 〔 x0 〕 .其次 , 在争论极限 时 , 我们假 定 f 在 点 x0 的某 空心 邻域 U〔 x0 〕 内有 定义 〔 f 在点 x0 可以没有定义 〕 , 而“ f 在点 x0 连续”就要求 f 在某 U〔 x0 〕 内 〔 包括点 x0 〕 有定义 , 此时由于 〔2 〕 式当 x = x0 时总是成 立的 , 所以在 极限定义 中的“ 0< | x - x0 | < δ”换成了在连续定义中的 “ | x - x0 | < δ”.最终 , 〔 1 〕 式又可表示为limx → x 0f 〔 x〕 = f lim x ,x → x 0可见“ f 在点 x0 连续”意味着极限运算 limx → x0与对应法就 f 的可交换性 .例 1 证明函数 f 〔 x 〕 = x D〔 x 〕 在点 x = 0 连续 , 其中 D 〔 x 〕 为狄利克雷 函数 .证 由 f 〔0 〕 = 0 及 | D〔 x 〕 | ≤ 1 , 对任给的 ε> 0 , 为使| f 〔 x 〕 - f 〔 0〕 | = | xD〔 x 〕 | ≤ | x | < ε,只要取 δ= ε, 即可按 ε- δ 定义推得 f 在 x = 0 连续 . □ 相应于 f 在点 x0 的左、右极限的概念 , 我们给出左、 右连续的定义如下 : 定义 2 设函数 f 在某 U + 〔 x0 〕 〔 U - 〔 x0 〕 〕 内有定义 .如limx → x +0f 〔 x〕 = f 〔 x0 〕 lim-x → x 0f 〔 x〕 = f 〔 x0 〕 ,就称 f 在点 x0 右〔 左〕 连续 .依据上述定义 1 与定义 2 , 不难推出如下定理 .定理 4. 1 函数 f 在点 x0 连续的充 要条 件是 : f 在点 x0 既是 右连续 , 又是 左连续 .例 2 争论函数在点 x = 0 的连续性 .解 由于f 〔 x 〕 =x + 2 , x ≥ 0 , x - 2 , x < 0limx → 0 +limx → 0 -f 〔 x 〕 = limx → 0 +f 〔 x〕 = limx → 0 -〔 x + 2 〕 = 2 , 〔 x - 2〕 = - 2,而 f 〔0 〕 = 2 , 所以 f 在点 x = 0 右连 续 , 但不左 连续 , 从而它在 x = 0 不连续 〔 见● 1 连续性概念 71图 4 - 1 〕 . □二 间断点及其分类定义 3 设函数 f 在某 U〔 x0 〕 内有定义 .如 f 在点 x0 无定义 , 或 f 在点 x0 有 定 义而 不 连续 , 就称 点 x0 为函数 f 的间断点 或不连续点 .按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的争论, 如 x0 为函数 f 的间断点 , 就必显现以下情形之一 :图 4 - 1x→ x〔 i〕 f 在点 x0 无定义或极限 l imf 〔 x 〕 不存在 ;0〔 ii 〕 f 在点 x0 有定义且极限 limx → x0f 〔 x 〕 存在 ① , 但 limx → x0f 〔 x〕 ≠ f 〔 x0 〕 .据此 , 我们对函数的间断点作如下分类 :1. 可去间断点 如limx → x0f 〔 x 〕 = A ,而 f 在点 x0 无定义 , 或有定义但 f 〔 x0 〕 ≠ A , 就称 x0 为 f 的可去间断点 .例如 , 对于函数 f 〔 x 〕 = | sgn x | , 因 f 〔 0〕 = 0 , 而limx → 0f 〔 x〕 = 1 ≠ f 〔0 〕 ,故 x = 0 为 f 〔 x 〕 = | sgn x | 的 可去 间断点 . 又 如函 数 g 〔 x 〕 = sin x , 由 于xlimx → 0g 〔 x 〕 = 1 , 而 g 在 x = 0 无定义 , 所以 x = 0 是函数 g 的可去间断点 .设 x0 为函数 f 的可去间断点 , 且limx→ x0f 〔 x 〕 = A .我们按 如下 方法定 义一 个函数 f^: 当 x ≠ x0 时, f^〔 x 〕= f 〔 x〕 ; 当 x = x0 时, f^〔 x0 〕 = A .易 见, 对于函 数f^, x0 是它的连续点 .例如 , 对上述的 g〔 x〕 = sin x , 我们定义x就 g^在 x = 0 连续 .g^〔 x〕 =sin xx , x ≠ 0,1 , x = 0 ,2. 跳动间断点 如函数 f 在点 x0 的左、右极限都存在 , 但limx → x +0f 〔 x〕 ≠ limx → x -0f 〔 x〕 ,就称点 x0 为函数 f 的跳动间断点 .例如 , 对函数 f 〔 x 〕 = [ x ] 〔 图 1 - 8〕 , 当 x = n 〔 n 为整数 〕 时有① 这里所说的极限存在是指存在有限极限 , 即不包括非正常极限 .72 第四章 函数的连续性lim[ x] = n - 1 , lim[ x] = n ,x → n -+x→ n所以在整数点上函数 f 的左、右极限不相 等, 从而 整数 点都是 函数 f 〔 x 〕 = [ x] 的跳动间断点 .又如符号函数 sgn x 在点 x = 0 处的左、右 极限 分别 为 - 1 和 1 , 故 x = 0 是 sgn x 的跳动间断点 〔 图 1 - 3〕 .可去间断点和跳动间断点统称 为第 一类 间断 点 .第一类 间断 点的特 点是 函数在该点处的左、 右极限都存在 .3. 函数的全部其他形式的间断点 , 即使得函数至少有 一侧极限 不存在的 那些点 , 称为 其次类间断点 .例如 , 函数 y = 1 当 x→ 0 时不存在有限的极限 , 故 x = 0 是 y = 1 的其次类x x间断点 .函数 sin 1 在点 x = 0 处左、右极限都不存在 , 故 x = 0 是 sin 1 的其次类x x间断点 .又如 , 对于狄利克雷函数 D〔 x 〕 , 其定义域 R 上每一点 x 都是其次类 间断点 .三 区间上的连续函数如函数 f 在区间 I 上的每一点都连续 , 就称 f 为 I 上的 连续函数 .对于闭区间或半开半闭区间的端点 , 函数在这些点上连续是指左连续或右连续 .例如 , 函数 y = c, y = x , y = sin x 和 y = cos x 都是 R 上的连 续函数 .又如2函数 y = 1 - x 在 〔 - 1 , 1 〕 每一点处都 连续 , 在 x = 1 为左连续 , 在 x = - 1 为右连续 , 因而它在 [ - 1 , 1] 上连续 .如函数 f 在区间 [ a , b] 上仅有 有限 个第 一类间 断点 , 就称 f 在[ a, b] 上分段连续 .例如 , 函数 y = [ x ] 和 y = x - [ x] 在区间 [ - 3 , 3 ] 上是分段连续的 .在 3 中我们将证明任何初等函数在其定义区 间上为 连续函数 .同时, 也存在着在其定义区间上每一点处都不连续的函数 , 如前面已提到的狄利克雷函数 .例 3 证明 : 黎曼函数R 〔 x〕 =1 , x = p q qp、q 为正整数 , p6q/ 为既约真分数 ,当0 , 当 x = 0 , 1 及〔 0 , 1 〕 内无理数在〔0 , 1 〕 内任何无理点处都连续 , 任何有理点处都不连续 .证 设 ξ∈〔 0 , 1〕 为无 理数 .任给 ε> 0 不妨设 ε< 12, 满意 1 ≥ε 的正整q数 q 明显只有有限个 〔 但至少有一个 , 如 q = 2〕 , 从而使 R〔 x 〕 ≥ε的有理数 x ∈〔 0 , 1 〕 只有有限个 至少有一个 , 如。