高中数学基本知识基本思想基本方法学生版.pdf

高中数学 基本知识基本思想基本方法 一、集合与简易逻辑 1. 必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值还是因变量的取值还是曲 线上的点； 2. 数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦 恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想 方法解决； 3. 一个语句是否为命题，关键要看能否判断，陈述句、反诘问句都是命题，而祁 使句、疑问句、感叹句都不是命题； 4. 判断命题的真假要以真值表为依据原命题与其是等价命题，逆命题与 其是等价命题，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考 虑判断其等价命题的真假； 5. 判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若 BA， 则 A是 B的条件或 B是 A的条件； 若 A=B ， 则 A是 B的条 件； （3）等价法：即利用等价关系ABBA判断，对于条件或结论是不等关系 （或否定式）的命题，一般运用等价法； 6.（ 1） 含 n 个元素的集合的子集个数为 ,真子集（或非空子集） 个数为； （2）;BBAABABA （3）;)(,)(BCACBACBCACBAC IIIIII 二、函数 : 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

1. 复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法：若已知f(x) 的定义域为 a，b, 其复合函数fg(x)的定 义域由不等式解出即可；若已知fg(x)的定义域为 a,b,求 f(x)的定义 域，相当于xa,b时，求 g(x) 的值域（即 f(x)的定义域）； （2）复合函数的单调性由“同异”判定； 2. 函数的奇偶性 （1）若 f(x) 是，那么 f(x)=f(x)= )(xf ; （2）定义域含0 的奇函数必过（可用于求参数） ； （3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)f(-x)= 或 )( )( xf xf （f(x) 0）; (4) 若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性； （5）奇函数在对称的单调区间内有的单调性；偶函数在对称的单调区间内有 的单调性； 3. 函数图像（或方程曲线的对称性） (1) 证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍 在图像上； （2）证明图像C1与 C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点 仍在 C2上，反之亦然； （3）曲线 C1：f(x,y)=0,关于 y=x+a(y= x+a) 的对称曲线C2的方程为 f(y a,x+a)=0 ( 或 f( y+a, x+a)=0); （4）曲线 C1:f(x,y)=0关于点（ a,b ）的对称曲线C2方程为： f(2a x,2b y)=0; （5）若函数y=f(x)对 xR时， f(a+x)=f(ax) 恒成立，则y=f(x)图像关于直线 对称； （6）函数 y=f(x a)与 y=f(b x) 的图像关于直线对称； 4. 函数的周期性 (1)y=f(x)对 xR时， f(x +a)=f(x a) 或 f(x 2a )=f(x) (a0)恒成立 , 则 y=f(x) 是周期为的周期函数； （2）若 y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期为2a的周 期函数； （3）若 y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为 4a的周期 函数； （4）若 y=f(x)关于点 (a,0),(b,0)对称，则f(x) 是周期为2|a-b|的周期函数； （5）y=f(x)的图象关于直线x=a, x=b(ab) 对称，则函数y=f(x)是周期为 2|a-b|的 周期函数； （6） y=f(x)对 xR时，f(x+a)= f(x)(或 f(x+a)= )( 1 xf ， 则 y=f(x)是周期为2a的 周期函数； 5. 方程 k=f(x)有解kD(D为 f(x)的值域 ) ； f(x)恒成立 ; af(x) 恒成立 ; af(x)有解 ; af(x)有解 ; 7. （ 1） n a a bbnloglog (a0,a 1,b0,n R +); (2) l og a N= a N b b log log ( a0,a 1,b0,b 1); (3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; （a, b同在（ 0， 1）或（ 1，）上 l og a b 的符号为正） (4) a log a N = N ( a0,a1,N0 ); 8. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

9. 判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素 不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象； 10. 对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的必有反函数；（2）奇 函数的反函数是； （3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期 函数不存在反函数； （ 5）互为反函数的两个函数具有的单调性； (5) y=f(x)与 y=f -1 (x) 互为反函数，设f(x) 的定义域为A，值域为B，则有 ff -1 (x)=x(x ),f -1 f(x)=x(x ). 11. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用 “两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系； 12. 恒成立问题的处理方法： （1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列 不等式 ( 组) 求解； 13. 依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题： ) 0f(b) 0f(a) ( 0f(b) 0f(a) b)u(a0(0)()()(或）或xhuxguf ； 14. 掌握函数) 0();0( c x c xyacb cx acb a cx bax y的图象和性质； 函 数 cx acb a cx bax y (b ac 0,a0,c0) 0(a x a xy） 图 象 定 义 域 ),(),(cc), 0()0,( 值 域 ),(),(aa),22,(aa 奇 偶性 非奇非偶函数奇函数 单 调 性 当 b-ac0 时: 分别在 ),(),(cc上单调递减； 当 b-ac0,b0) 时要符合 “” ； 注意均值不等式的一些变形，如 22 22 ) 2 (;) 2 ( 2 ba ab baba ； 七、直线和圆的方程 1. 设三角形的三个顶点是A（x1,y1） 、B(x2,y2) 、C（x3,y3）, 则 ABC的重心 G为 （ , ） ； 2. 直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是； 3. 两条平行线Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是； +Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 ：A=C 0, B=0 且； 5. 过圆 x 2+y2=r2 上的点 M(x0,y0) 的切线方程为： ; 6. 以 A(x1，y2) 、B(x2,y2) 为直径的圆的方程是(x x1)(x x2)+(y y1)(y y2)=0; 7. 求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式，写出目标 函数； （ 2）作出可行域； （3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解； 八、圆锥曲线方程 1. 椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆 1 2 2 2 2 b y a x （ab0）上任一点，焦点为 F1(-c,0),F 2(c,0),则, 21 PFPF（e 为离心率）； 2. 双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （a0,b0 ）上任一点，焦点 为 F1(-c,0),F2(c,0),则: （1）当 P点在右支上时， , 21 PFPF； （2）当 P点在左支上时，, 21 PFPF； （e 为离心率）； 另：双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （a0,b0 ）的渐进线方程为 2 2 2 2 b y a x ； 3. 抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y 2=2px(p0) 上任意一点， F为焦点，则 PF；y 2=2px(p 0上任意一点， F 为焦点，则PF； 4. 涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题； 5. 共渐进线 x a b y的双曲线标准方程为； 6. 计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式， 一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1， y1) 、B(x2,y2) ，则弦长 AB 或 AB , 这里体现了解析几何“设而不求”的解 题思想； 7. 椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p= ，抛物线的通径 为， 焦准距为 ; 双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （a0， b0）的焦点到渐进线的距离为 ; 8. 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax 2+Bx21； 9. 抛物线 y 2=2px(p0) 的焦点弦（过焦点的弦）为 AB ，A（ x1,y1） 、B(x2,y2), 则有如下 结论： （ 1）AB ;（2）y1y2= ，x1x2= ; 10. 过椭圆 1 2 2 2 2 b y a x （ ab0）左焦点的焦点弦为AB ，则AB，过右焦点的 弦AB； 11. 对于 y 2=2px(p 0) 抛物线上的点的坐标可设为（ ，y0）, 以简化计算 ; 12. 处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1) 、B(x2,y2) 为椭圆 1 2 2 2 2 b y a x （ ab0）上不同的两点，M(x0,y0) 是 AB的中点，则kABkOM= ；对 于双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （ a0，b0） ，类似可得： kABkOM= ；对于 y 2=2px(p 0) 抛物线有 kAB= 13. 求轨迹的常用方法： （1）直接法：直接通过建立x、y 之间的关系，构成F(x,y)0，是求轨迹的最基本的 方法； （2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列 出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可； （3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y) 依赖于另一动点Q(x1,y1) 的变化而 变化，并且Q(x1,y1) 又在某已知曲线上，则可先用x、y 的代数式表示x1、y1，再将 x1、 y1带入已知曲线得要求的轨迹方程； （4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直 接写出方程； （5）参数法： 当动点 P （x,y ） 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时， 可考虑将 x、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。

九、直线、平面、简单几何体 1. 从一点 O出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若 AOB= AOC ，则点 A在平面 BOC 上的射 影在 BOC的平分线上； 2. 已知 : 直二面角AB 中， AE ，BF, EAB= 1, ABF= 2，异面直线 AE与 BF所成的角为，则;coscoscos 21 3. 立平斜公式： 如图，AB和平面所成的角是 1， AC在平面内， AC和 AB的射影 AB成2， 设 BAC= 3, 则 cos1cos2=cos3； 4. 异面直线所成角的求法： （1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（或在 空间选择一特殊点, 作两条直线的平行线） （2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方 体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5. 直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜 线段及斜线段在平面上的射影通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足 和斜足的连线，是产生线面角的关键； 6. 二面角的求法 （1）定义法：直接。