自动控制理论课件第4章 根轨迹法.ppt

华中科技大学文华学院机电学部,自动控制理论,自动控制理论,讲授人：范 娟,,,第,4,章 根轨迹法,4.1,,根轨迹法的基本概念,4.2,根轨迹绘制的基本法则,4.4,,用根轨迹法分析系统的暂态特性,4.3,广义根轨迹,,4.1,根轨迹法的基本概念,要求,:,1.,掌握根轨迹、根轨迹方程有关概念,,2.,掌握系统增益与根轨迹增益的关系,,3.,理解并掌握根轨迹方程的模值条件,,与相角条件,,重点,:,,根轨迹概念和根轨迹方程的模值条件,,与相角条件,,根轨迹法,：,三大分析校正方法之一,特点,：,（,1,）图解方法，直观、形象,,（,2,）适用于研究当系统中某一参数,,变化时，系统性能的变化趋势,,（,3,）近似方法，不十分精确,根轨迹,简称,根迹，,它是开环系统某一参数从零,,变到无穷时，闭环系统特征方程的根在,s,平面上变,,化的轨迹根轨迹法的基本概念,,_,Xr(s),Xc(s),,特征方程：,特征根：,K:0 ~ ∞,K=0,时，,s,1,=0,，,s,2,=-2,,时，有两个相等的负实根,s,1,2,=-1,,时，有两个负实根,,时，有一对共轭的复数根,-2,-1,0,j,K=1,K=1,K=0.5,根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,根轨迹法的基本概念,,,_,R(s),C(s),G,H,,前向通路根轨迹增益,,,开环系统根轨迹增益,闭环系统根轨迹增益，等于开环系,,统前向通路根轨迹增益,,闭环零点＝开环前向通路零点,,＋反馈通路极点,,闭环极点与开环零点、开环极点以,,及根轨迹增益,K,*,均有关系,根轨迹法的基本概念,闭环零极点与开环零极点的关系,,根轨迹法的基本概念,根轨迹方程,特征方程：,开环有限零点，,m,个,开环极点，,n,个,这种形式的特征方程就是,根轨迹方程,,K,*,从,0——∞,变化，称为,根轨迹放大增益,,根轨迹法的基本概念,模值条件与相角条件,模值条件,相角条件,满足模值条件和相角条件的,s,值，就是特征方程式的根,,绘制根轨迹的依据是相角条件,,计算,K,*,的依据是模值条件,,根轨迹法的基本概念,4,j,3,-7,5,-8,-1,0,-5,-3,-2,模值条件与相角条件的应用（,1,）,例,4.1,判定,s,i,是否为根轨迹上的点,解：,_,R(s),C(s),,模值条件,相角条件,s,1,=-2,s,2,=-8,s,3,=-7+j4,s,4,=-3+j3,s,2,=-8,s,3,=-7+j4,s,4,=-3+j3,s,1,=-2,α,,根轨迹法的基本概念,,对,s,平面上任意的点，总存在一个,K,*,，,,使其满足模值条件，但该点不一定是根轨,,迹上的点。

s,平面上满足相角条件的点（必定满足,,幅值条件）一定在根轨迹上满足,相角条件,是,s,点位于根轨迹上的,充,,分必要条件,,,根轨迹上某点对应的,K,*,值，应由模值条,,件来确定模值条件与相角条件的应用（,2,）,返回,,根轨迹绘制的基本法则,要求,:,,掌握根轨迹绘制的基本法则，并,,熟练应用法则绘制,180°,根轨迹法则,1,：,起点（,K,*,=0,）,——,根轨迹起于开环极点,绘制根轨迹的一般法则（,1,）,,=0,闭环极点也就是开环极点,终点（,K,*,=∞,）,——,根轨迹终于开环零点,,=∞,闭环极点也就是开环零点，所以根轨迹必终于,,开环零点，如果极点数,n,大于零点数,m,，则有,,n-m,条根轨迹终于无穷远处,,绘制根轨迹的一般法则（,2,）,法则,2,：,根轨迹的分支数、对称性和连续性,——,根轨迹的分支数与开环有限零点数,m,和有限极点数,n,中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴法则,3,：,根轨迹的渐近线,——,当开环有限极点数,n,大于有限零点数,m,时，有,n-m,条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、交点为 的一组渐近线趋向无穷远处，且有,规定：相,角,逆时针,为,正,，顺时针为负。

绘制根轨迹的一般法则（,3,）,法则,4,：,实轴上的根轨迹,——,实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹法则,5,：,根轨迹的分离点和分离角,——,两条或两条以上,,根轨迹分支在,s,平面上相遇又立即分开的点，称为根轨,,迹的分离点，分离点的坐标,d,是下列方程的解：,注意：,如果开环系统无有限零点，则在分离点方程中应取,,绘制根轨迹的一般法则（,4,）,若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；,,若实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点若实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点注意：,分离点和会合点也可能出现在复平面上，由于根轨迹对称,,于实轴，所以，复平面上的分离点和会合点必对称于实轴绘制根轨迹的一般法则（,5,）,[,例,4-2],单位反馈系统的开环传递函数为：,试确定根轨迹条数，渐近线与实轴的交点和夹角和实轴上根轨迹的分离点的位置解：,根轨迹有,3,支起点为开环极点,无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远渐近线与实轴的交点：,渐近线与实轴的交角：,零极点分布和渐近线（红线）如图所示。

绘制根轨迹的一般法则（,6,）,实轴上根轨迹区间是,：,由图可知根轨迹在开环极点,0,和,-1,之间存在分离点，,,由公式可得,注意：,求出分离点后一定要验证分离点是否在根轨迹上绘制根轨迹的一般法则（,7,）,法则,6,：,根轨迹的起始角和终止角,式中： 为除了 以外的开环零点到 的矢量相角；,,为各开环极点到 的矢量相角当开环零、极点处于复平面上时，根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角称为起始角 ；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为终止角 绘制根轨迹的一般法则（,8,）,[,例,4-3],已知开环传递函数为,,试绘制其概略根轨迹[,解,],：,①零点：,,极点：,②实轴上的根轨迹,③渐近线,,绘制根轨迹的一般法则（,9,）,④起始角,,根据对称性，可知 点的,,起始角为：,注意：,相角要注意符号；逆时针为正，顺时针为负；,,绘制根轨迹的一般法则（,10,）,法则,7,：,根轨迹与虚轴的交点,,根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态则闭环特征方程至少有一对共轭虚根这时的增益 和,ω,值可用如下两种方法确定。

在闭环特征方程中令,,，然后分别令特征方程的实、虚部为零即可求出增益和,ω,值,由劳斯稳定判据求解绘制根轨迹的一般法则（,11,）,[,例,4-5],开环传递函数为：,,试求根轨迹与虚轴的交点处的 和,ω,值,方法一：,闭环系统的特征方程为：,将 代入得：,当 时， 为根轨迹的起点（开环极点）,当 时， ，即根轨迹与虚轴的交点为,,,绘制根轨迹的一般法则（,12,）,方法二：,用劳斯稳定判据确定 的值劳斯阵列为：,,劳斯阵列中某一行全为零时，特征方程可出现共轭虚根劳斯阵列中可能全为零的行有二共轭虚根为辅助方程 的根,1,、令 ，得临界增益为：,2,、令 ，得 （开环极点）,绘制根轨迹的一般法则（,13,）,法则,8,：,根轨迹的走向,(,根之和法则,),如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行闭环系统的特征方程为：,,，即：,设闭环系统的极点为： ，则,当,n-m>=2,时， ，即：,对于任意的 ，,闭环极点之和,等于,开环极点之和,，为常数。

表明：,当 变化时，部分闭环极点在复平面上向右移动（变大），则另一些极点必然向左移动（变小）绘制根轨迹的一般法则（,14,）,根轨迹的绘制法则归纳如下：,法则,1,：,根轨迹的起点和终点,,根轨迹起于开环极点，终于开环零点,法则,2,：,根轨迹分支数、对称性和连续性,,根轨迹的分支数与开环有限零点数,m,和有限极点数,n,中的,,大者相等，它们是连续的并且对称于实轴法则,3,：,根轨迹的渐近线,与实轴交角,与实轴交点,,绘制根轨迹的一般法则（,15,）,法则,5,：,根轨迹的分离点和分离角,分离角,分离点,法则,4,：,实轴上的根轨迹,,实轴上某一区域，若其右边开环零、极点个数之,,和为奇数，则该区必是根轨迹绘制根轨迹的一般法则（,16,）,法则,6,：,根轨迹的起始角和终止角,法则,7,：,根轨迹与虚轴的交点,①,在闭环特征方程中令,,②,由劳斯稳定判据求解起始角,终止角,法则,8,：,根之和,,绘制根轨迹的一般法则（,17,）,根轨迹的典型绘制步骤,,一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺；,,二、确定实轴上的根轨迹；,,三、确定根轨迹的,n-m,条渐近线；,,四、确定根轨迹的分离点、会合点；,,五、确定根轨迹的起始角、终止角；,,六、确定根轨迹与虚轴的交点；,,结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和终点，根之和等性质画出根轨迹。

绘制根轨迹的一般法则（,18,）,⒊渐近线,[,例,],开环传递函数为： ，画根轨迹解：⒈求出开环零极点，即：,⒉实轴上的根轨迹：,(,－∞，,0],,绘制根轨迹的一般法则（,19,）,4.,求分离点：,由图知这两点并不在根轨迹上，所以并非分离会合点，这也可将 代入得 为复数绘制根轨迹的一般法则（,20,）,6.,求与虚轴的交点，此时特征方程为,将 代入得：,5.,起始角,,,绘制根轨迹的一般法则（,21,）,⒊渐近线,[,例,],开环传递函数为： ，画根轨迹解：⒈求出开环零极点，即：,⒉实轴上的根轨迹：,(,－∞，,0],,绘制根轨迹的一般法则（,22,）,4.,求分离点：,由图知这两点都在根轨迹上，所以都是分离会合点5.,出射角,,,绘制根轨迹的一般法则（,23,）,6.,求与虚轴的交点，此时特征方程为,将 代入得：,,绘制根轨迹的一般法则（,24,）,⒊渐近线,[,例,],开环传递函数为： ，画根轨迹。

解：⒈求出开环零极点，即：,⒉实轴上的根轨迹：,(,－∞，,0],,绘制根轨迹的一般法则（,25,）,4.,求分离点：,由图知这点在根轨迹上，所以是分离点而且是三重根点，此时分离角为,,绘制根轨迹的一般法则（,26,）,5.,起始角,,6.,求与虚轴的交点，此时特征方程为,将 代入得：,,绘制根轨迹的一般法则（,27,）,,4.3,广义根轨迹,要求,:,熟练应用等效开环传递函数概念，,,绘制非,K,*,参数根轨迹,,参数根轨迹,以,K,*,以外的参数作为变量的根轨迹，称为,参数根轨迹,绘制参数根轨迹的步骤：,,①对特征方程 进行等价变换，将其化为： 的形式；,,,②,是等效系统开环传递函数，,ρ,是除,K,*,外系统任意的可变参量，再根据绘制常规根轨迹的方法，即可绘制参数根轨迹4.3,广义根轨迹,,① 对特征方程,1+G(s)H(s)=0,进行等价变换,② 按常规根轨迹法则可得以,a,为参数的根轨迹图,4.3,广义根轨迹,,零度根轨迹,如果所研究的控制系统为非最小相角系统，则有时不能采用常规根轨迹的绘制法则来绘制系统的根轨迹，因为其相角遵循,0º+2k,π,条件，而不是,180º+2k,π,条件，故称之为,零度根轨迹,。

非最小相角系统,是指在,s,右半平面具有开环零极点的系统零度根轨迹的来源：,,,①非最小相角系统中包含,s,最高次幂的系数为负的因子,,②,控制系统中包含有正反馈内回路,4.3,广义根轨迹,,绘制零度根轨迹时，应调整的绘制法则有,:,法则,3,：,根轨迹的渐近线,与实轴交角,法则,4,：,实轴上的根轨迹,,,实轴上某一区域，若其右边开环零、极点个数之和为偶数，则该区必是根轨迹法则,6,：,根轨迹的起始角和终止角,起始角,终止角,4.3,广义根轨迹,,（,a,）正反馈系统的根轨迹图,（,b,）负反馈系统的根轨迹图,注意,：,（,1,）,实轴上负反馈系统的根轨迹没有经过的区域恰好由相应的正反馈系统的根轨迹所填补,,,,（,2,）,在任意开环复数极点（零点）处，正负根轨迹的出射角（或入射角）恰好相差,180º,,4.3,广义根轨迹,,要求,:,1.,掌握应用根轨迹定性分析系统性能指标随参,,数变化的变化趋势的方法,,,2.,掌握根轨迹增益,K,*,与开环放大系数,K,k,的关系,,,3.,掌握应用幅值条件求根轨迹的,K,*,的方法,,重点,:,,应用根轨迹分析系统的动态性能,4.4,系统性能的分析,,,利用根轨迹，可以对系统的性能进行分析,,,由给定参数确定闭环系统的极点的位置；,,分析参数变化对系统稳定性的影响；,,根据性能要求确定系统的参数；,4.4,系统性能的分析,,[,例,],：设开环系统传递函数为：,试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时 的区值范围。

实轴上根轨迹区间,：,,分离角：,设分离点为,d,，由公式 可得：,4.4,系统性能的分析,,与虚轴的交点,由图可知：当 时，系统是稳定的,将 代入得：,4.4,系统性能的分析,,[,例,],已知单位反馈系统的开环传递函数为,,（,1,）画出系统的根轨迹；（,2,）计算当增益,k,为何值时，系统的阻尼比 是 ，并求此时系统的闭环特征根；（,3,）分析,K,*,对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点1,）画根轨迹,,,分离（会合）点分别为,-2.93,和,-17.07,，,,分离（会合）角为,90,度根轨迹为圆，如右图所示4.4,系统性能的分析,,当 时，阻尼角 ，表示 角的直线为,OB,,其方程为 ，代入特征方程整理后得：,（,2,）计算当增益,K,*,为何值时，系统的阻尼比 ，并求此时系统的闭环特征根,令实部和虚部分别为零，有,4.4,系统性能的分析,,由图可知当 时,,,直线,OB,与,,圆相切，系统的阻尼比 ，,特征根为 。

4.4,系统性能的分析,解得,,对于分离点 ，由幅值条件可知,（,3,）分析,K,*,对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点,4.4,系统性能的分析,对于会合点 ，有,,由根轨迹图可知，当 时，闭环系统有一对,不等,的,负实数,极点，其瞬态响应呈,过阻尼,状态当 时，闭环系统有一对,共轭复数,极点，其瞬态响应呈,欠阻尼,状态当 时，闭环系统又有一对,不等,的,负实数,极点，瞬态响应又呈,过阻尼,状态由坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线就是直线,OB,，,直线,OB,与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比，由上可知，此时系统的闭环极点为 4.4,系统性能的分析,,例,2,．设系统结构图如图所示1,）绘制以,τ,值为变量的,根轨；,,（,2,）求系统在欠阻尼状态下,τ,值范围[,解,],：（,1,）绘制根轨迹：,_,Xr(s),Xc(s),,τ,s,①化简结构图，求得系统的开环传递函数,②,求等效开环传递函数,4.4,系统性能的分析,,③,利用常规根轨迹法则绘制以,τ,1,为参量的根轨迹,开环零极点：,实轴上根轨迹：,[-,∞,，,0,],,会合分离点：,,,得,,由图知 在根轨迹上，因此是会合点。

4.4,系统性能的分析,,（,2,）求系统在欠阻尼状态下,τ,值范围,4.4,系统性能的分析,,1.,附加开环极点对根轨迹的影响,4.4,系统性能的分析,,结论：,增加开环极点，根轨迹将向右偏移，降低系统的相对稳,,定性，而且增加的极点越靠近虚轴，这种影响越大4.4,系统性能的分析,,2.,附加开环零点对根轨迹的影响,结论：,附加开环零点，根轨迹将向左偏移，增加系统的稳定性,,,,而且增加的零点越靠近虚轴，这种影响越大因此选择合适的,,附加零点有可能将系统的根轨迹从平面的右半部分“拉”到,s,平面,,左半部分4.4,系统性能的分析,,Thank You !,,。