高等数学多元函数极值典型问题.doc

1　设函数在处获得极值，试求常数a，并拟定极值的类型．2　求函数在区域上的最大值和最小值．3（04研） 设是由拟定的函数，求的极值点和极值．4 求函数在条件（其中）下的条件极值．1　设函数在处获得极值，试求常数a，并拟定极值的类型．分析 这是二元函数求极值的反问题， 即懂得获得极值，只需要根据可导函数获得极值的必要条件和充足条件即可求解本题．解　由于在处的偏导数均存在，因此点必为驻点， 则有 ，因此有，即．由于，， ，，，因此，函数在处获得极小值．2　求函数在区域上的最大值和最小值．分析　这是多元函数求最值的问题．只需规定出函数在区域内也许的极值点及在区域边界上的最大值和最小值点，比较其函数值即可． 解　由，解得，，且．在边界上，，它在上最大值和最小值分别为1和；同理，在边界上有相似的成果．在边界上，，在上最大值和最小值为1和；同理，在边界上有相似的成果． 综上所述，函数在区域上的最大值和最小值分别为 ， ．注 求多元持续函数在有界闭区域上的最大值和最小值时，求出也许的极值点后，并不需要鉴别它与否为极值点．此外，求函数在边界上的最大值和最小值时，一般是将问题化为一元函数的最值问题或用其她措施，例如用条件极值的措施或不等式的技巧． 3（04研） 设是由拟定的函数，求的极值点和极值．分析 本题考察由方程拟定的隐函数的极值问题，应先求出驻点．再求出二阶偏导数，运用充足条件鉴定与否为极值点．解　由于，因此方程两边分别对与求偏导，得令 ，解之得 即 ．将，代入可得 或 ，即点与点是也许的极值点，下面鉴定与否为极值点．在（1）式两边对求偏导，得，在（1）式两边对求偏导，得　，在（2）式两边对求偏导，得，因此．故，又，从而点是的极小值点，且极小值为．类似地由．故，又，因此点是的极大值点，且极大值为．综上所述，点是的极小值点，且极小值为；点是的极大值点，且极大值为．4 求函数在条件（其中）下的条件极值．分析　条件极值问题可考虑将其转化为无条件极值，或用拉格朗日乘法来求．解法1　将代入函数，得，于是由解得，则 ， ， ， ．因此，当时，函数获得极大值，且极大值为 ．解法2　令，于是由解得，即为也许的极值点，将代入函数，得， 则为也许的极值点，余下解法同解法1，求出．知时，函数获得极大值．。