基本积分方法.docx

§2基本积分方法一、换元积分法换元积分法〈'第一类换元积分法、第二类换元积分法♦ 1第一类换元积分法： f设f(u), 9 (x)为连续函数，T (x)可导，且J f (u )du = F (u) + C,则 J f [9 (x)]p' (x)dx =岂二J f (u )du = F (u) + C = F [9 (x)] + C常见的凑微分形式：J f (ax + b)dx =丄 J f (ax + b)d (ax + b)aJ f (axn + b)dx 二丄J f (axn + b)d(axn + b)naJ f (In x)丄 dx =J f (In x)d (In x)x④⑤ J f (sin x) cos xdx =J f (sin x)d (sin x)J f (ln x)丄 dx =J f (ln x)d (ln x)xf (sin x) cos xdx =J f (sin x)d (sin x)⑥ J f (cos x) sin xdx = —J f (cos x)d (cos x)⑦ J f (tan x) sec 2 xdx =J f (tan x)d (tan x)⑧ J f "arc'in 卫心=J f (arcsin x)d (arcsin x)1 一 x 2例计算J匹归dxx2(1+ x2 )解：令 arctan x = t， dx = sec 2 tdt，贝I」arctan x t sec2 t t2dx = dt = t(csc2 t 一 1)dt = 一J td cot t 一 -x2(1 + x2) tan2 t sec2 t 2二一t cot t +Jt2cot tdt 一 -二一t cot t + ln I sin 11+Carctan x | x | 1二 一 + ln 一 (arctan x)2 + C。

x <1+ x2 2例计算下列积分：(1) Jex ln(1 + ex) ； (2) JL xdx1+ cos x解：(1) Jexln(1+ex)=Jln(1+ex)d(ex +1)=ln(1 + ex) - (ex + 1) — I (ex + 1)-ex■dx = (ex + 1) ln(1 + ex) — ex + C1 + ex⑵ 11—cosx dx = I (1- cosx)2 dx =1 + cos x (1 + cos x)(1 — cos x) sin 2 xd sin x 2=J 2csc2 xdx — J dx — 2 = —2cot x — x + + Csin 2 x sin x2 — sin 2 x — 2 cos xdx♦ 2■第二类换元积分法:gt)单调、可导且『(t)丰0，又f Q(t)]0(t)有原函数G(t)则I f (x)dx == I f g (t )]0(t )dt = G (t) + C = G[q-1 (x)] + C第二类换元法中常用的变量代换：① 三角代换：变根式积分 三角有理式积分注意：辅助三角形可为变量还原提供方便被枳函数含有根式代 换— X 2X— a sin t甘-创XW + x1乂= a tan ta.vQ x2 — o 2a set t② 倒数代换x =-:可消去分母中的变量X。

t③ 指数代换：适用被积函数由a X或e X构成的代数式例计算积分工 6解：令e6 = t n x = 6lnt, dx = dttI 1 6 I 6 3 3t +1原式=J - - dt = J ( — — )dt1 +13 +12 +1 t t 1 +1 1 +12=6ln t — 3lnl1 +11 —；工 3 工 工= x —3ln |1+ e6 e3 ) — 3 arctan e 6 +C例计算积分Jx + \；1 — x2dx解： J dx _ . J cos t = 1 j sin t + cos t + cos t — sin tsin t + cos t^解: x = sin t dt = = — J dtx + J] 一 x 2 sin t + cos t 2=—t + in I sin t + cos 11+C2 2=—arcsin x + in I x + x' 1 — x2 I+C例计算积分J dxX 2 x 2 一 1解:令X =-，则t2 一1 ]J-4^ dx = J 上x2 \ x2 — 1 1 ' 1x+1(—丄 dt)=—J 上Ldt=—dt+J 峯巳12 1 — 12 1 — 12 211 — 12■" x2 — 1 1 „二 一 arcsin t + \1 一 12 + C = 一 arcsin — + Cx x二、分部积分法分部积分公式：J udv = uv — J vdu♦分部积分法条件：u, v具有连续导数。

选取u, v的原则：＜v 要易于求出J vdu比』udv容易求出♦可用分部积分法求积分的类型:sin axJ P (x) f cos ax dx, nu (x) dve axln xJ P ( x) f arctan x dx, narccos xdv u(x)I sin axeax 彳 dxI cos axU, v可任选例计算积分 J xln xdx 解:原式二Jinxdy = *lnx 一 2J xdx=fln x 一宁+C例计算积分J arctanex dx解 J arctan exe2xdx =——J arctan exd(e-2x)=—— e-2x arctan exJe 2 x (1 + e 2 x )dex=——(e-2x arctan ex + ex + arctan ex) + C2例设 f (ln x) = "(1 + x)，计算 J f(x)dx解：，设t = Inx,则x = et, f(t) = *(1 + e)etJ f (x)dx二 J —^-dx = -+ ex)d(e-x) = -e-x ln(1 + ex) + J dxex 1+ exex=-e-x ln(1 + ex) + J(1 一 )dx = x 一 (1 + e-x)ln(1 + ex) + C。

1 + e x三、几种特殊类型的积分：1有理函数的积分=部分分式之和的积分 对于任意有理函数,存在一个固定的代数算法,可以把它分解为四种基本形式的有理分式的和,而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式列出如下：AJ dx = Aln I x 一 a I +Cx-aJ_^dx = aJ =_^A(1)(2)(3)+ C(x -a)k (x -a)k (x-a)k-1J Px + Q P 2q - pP 2 x - pdx = ln( x2 + px + q) + arctan + Cx 2 + px + q 2 4q - p2 丫 4q - p2(4) J Px+Q(x2 + px+q)kPpPt+(Q-~2) P ”dx = J dt = J dt+(Q — dt2 (t2 +a2)k (t2 +a2)k(t2 + a2) kPt其中 t ― x + ； dt=dx；2可以很容易地求出i p2 a = \q-~44)中的第一个积分为1dt =—(t(t2 +a2)k (k -1)(t2 +a2)k-1而对于第二个积分式，我们可以得到递推公式n+1 2na2 (t2 + a2)n 2n a2 + 2n — 1 •丄-1，其中：I =J dt = — arctan — + C。

n 1 t2 + a2 a a【注意】从理论上讲，任意有理函数的积分都可以被积出来，但要分析被积函数的特点，灵活选择解法，常用的方法中有凑微分法和变量替换法例计算积分J - dxx 2 一 6 x +13心 dx + 8J x2 一 6x -13dx(x - 3)2 + 22解 [ x + 5 丿 1 [ (2x -6) +16解： dx = dx =x 2 一 6 x +13 2 x 2 一 6 x +131 x —3二一ln( x 2 — 6 x +13) + 4 arctan + C22例计算下列积分(1)J 2 x 3 +1 dx ； (x —1)100⑵J dx x(x10 +1)2解：⑴令x — 1 =-，则dx = - dx,于是u u 2原式二 J dx = J u 100[2(% +1 )3 +1](———)du = -J u 95 (3u3 + 6u 2 + 6u + 2) du(x 一1)100 u u21 3 6 1二一 U 99 — u 98 — u 97 — u 96 +33 49 97 48148( x —1)96+C1 3 633( x — 1)99 49( x — 1)98 97( x — 1)97(2)令x10 = u，则 du = 10x9dx ,于是1 du 1 u + 1 — u 1 1 1原式二 = du = [ — ]du丄J [1 一丄10 u u + 110 u(u+1)2 10 u(u+1)2 10 u(u+1) (1+u)2]du = (In I u I — In I u +11 +(1 + u )2 102■三角函数有理式的积分n有理函数的积分由sinx，cosx及常数，经过有限次四则运算所得到的函数称为三角函数有理式，记作: R(sinx, cosx)，积分J R(sinx, cosx)dx称为三角函数有理式积分。

解题方法】① 尽量使分母简单，为此可以分子、分母同乘以某个因子，把分母化成sinkx或 coskx 的单项式,或将分母整个看作一项② 尽量使R(cosx, sinx)的幕降低，常用倍角公式或积化和差公式 常用积化和差公式：sin a x cos 卩x = [sin(a + j3) x + sin(a — j3) x]sin a x sin 卩x = 2 [cos(a — p) x — cos(a + 卩)x]cos a x cos p x=2[cos(a+p) x+cos(a—卩)x]倍角公式：sinxcosx =1 sin2x， sin2 x =丄(1 — cos2x)， cos2 x = — (1 + cos2x)2 2 2③在积分的过程中注意“ 1 =sin2 x + cos2 x ”的妙用例计算下列积分dx xFsinx1) ； (2) dx ； (3) J sin2 xcos4 xdxsin2 x + cos2 xsin3 xcos5 x 1Fcosx解： = = + —sin3 xcos5 x sin3xcos5 x sinxcos5 x sin3xcos3 xsin2 xFcos2 x sin2 xFcos2 x 1 sin3 x cos3 x 1。