2022年线性代数期末试题及参考答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 线性代数期末试卷及参考答案一、单项挑选题（每道题 3 分,共 15 分）1．以下矩阵中,（ ）不是初等矩阵；0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 2 0 0 1 2（A） 1 0 0 〔B〕 0 1 0 〔C〕 0 0 1 〔D〕 0 0 12．设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,就以下向量组中线性无关的是（ ）；（A） 1 2 , 2 3 , 3 1 （B） 1 , 2 , 3 1（C） 1 , 2 ,2 1 3 2 （D） 2 , 3 ,2 2 33．设 A 为 n 阶方阵,且 A 2A 5 E 0；就 〔 A 2 〕 1（ ）1 〔 A E 〕 1 〔 A E 〕 〔A〕 A E 〔B〕 E A 〔C〕 3 〔D〕 34．设A为 m n 矩阵,就有（ ）；（A）如 m n,就 Ax b 有无穷多解；（B）如 m n,就 Ax 0 有非零解,且基础解系含有 n m 个线性无关解向量；（C）如 A 有 n阶子式不为零,就 Ax b 有唯独解；（D）如 A 有 n阶子式不为零,就 Ax 0 仅有零解；5．如 n 阶矩阵 A,B 有共同的特点值,且各有 （）n 个线性无关的特点向量,就（A）A 与 B 相像（ B）A B ,但 |A-B|=0 （C）A=B （D）A 与 B 不肯定相像,但 |A|=|B| 二、判定题 〔 正确填 T,错误填 F；每道题 2 分,共 10 分〕 1．A 是 n阶方阵,R ,就有0A〔A；（）1A1；（）,就AB〕1B2．A,B 是同阶方阵,且AB1 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3．假如 A 与 B 等价,就 A 的行向量组与 B 的行向量组等价； 〔 〕 4．如A,B均为 n阶方阵,就当AB时,A,B肯定不相像； 〔 〕 1,2,3也线性相关；（）5．n 维向量组1,2,3,4线性相关,就三、填空题（每道题4 分,共 20 分）012n1A3, 就A1=______,3A*；1．n0；2． A 为 3 阶矩阵,且满意1021112234423．向量组1 ,5 ,7 ,0 是线性（填相关或无关）的,它的一个极大线性无关组是；4． 已知1,2,3是四元方程组Axb的三个解,其中 A 的秩R A =3,114243234A4 ,4,就方程组Axb的通解为；2311a15．设503,且秩 〔A〕=2,就 a=；四、运算以下各题（每道题1211．已知 A+B=AB ,且A342 n A ；122,求矩阵 B；2. 设〔1, 1, 1,1〕,〔 1,1,1, 1〕,而AT,求2 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 1x 2ax 31x 1x 22x 313. 已知方程组 x 1 ax 2 x 3 a 2有无穷多解,求4. 求一个正交变换将二次型化成标准型a 以及方程组的通解；f〔x 1,x 2,x 3〕 2 x 122 x 22 2 x 34x 1x 24x 1x 38x2x 35． A,B 为 4 阶方阵, AB+2B=0,矩阵 B 的秩为 2 且| E+A|=|2 E- A|=0 ；（1） 求矩阵 A 的特点值；（ 2）A 是否可相像对角化？为什么？；（ 3）求 | A+3E| ；五．证明题（每题 5 分,共 10 分）； BA 是否为对称矩阵？证明你的结 1．如 A 是对称矩阵, B 是反对称矩阵, AB 论；2．设A为m n矩阵,且的秩R A 为 n,判定 T A A是否为正定阵？证明你的结论；3 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 线性代数试卷解答一、1．（ F）（AnA）2．（ T）3．（ F）；如反例：A100,B000；0100100000014．（ T）（相像矩阵行列式值相同）5．（ F）二、1．选 B；初等矩阵肯定是可逆的；2．选 B；A 中的三个向量之和为零,明显 A 线性相关； B 中的向量组与 1,2 , 3 等价 , 其秩为 3,B 向量组线性无关； C、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合, C、D 中的向量组线性相关；3．选 C ；由 A 2A 5 E 0 A 2A 2 E 3 E A 2 E 〔 A E 〕 3 E ,1 1A 2 E 〔 A E 〕3 〕；4．选 D；A 错误,由于 m n,不能保证 R A 〕 R A b ；B 错误, Ax 0 的基础解系含有 n R A 个解向量； C 错误,由于有可能 R A 〕 n R A b | 〕 n 1,Ax b 无解； D 正确,由于 R A 〕 n；5 ． 选 A ； A 正 确 , 因 为 它 们 可 对 角 化 , 存 在 可 逆 矩 阵 P Q , 使 得1 1PAP diag 〔 1 , 2 , , n 〕 QBQ ,因此 A B 都相像于同一个对角矩阵；三、 1． 1 1n .（按第一列绽开） n2．3 1；3 （ 5 3 A = 3 A ） 3 24 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3．相关（由于向量个数大于向量维数）；1,2,4；由于3212,A|124| 0；4T；由于RA3,原方程组的导出组的基4．1234Tk2022321,由原方程组的通解可表为导出础解系中只含有一个解向量,取为组的通解与其一个特解之和即得；5．a6（RA2A0〕四、1．解法一：ABABAE BAB〔AE〕1A；将 AE 与 A 组成一E| 〔AE〕1A ；01个矩阵〔AE|A ,用初等行变换求〔021121100001332342332342AE A =121122〔 r 1r3〕121122100001100001032341011222r23 ,3r 1021121r 2r 3021121100001100001011222011222r 32 r 20013253r001325100001001010103B103r2r 3001325；故325；B〔A解法二：ABABAE BAE〕1A ；0211010〔AE〕1332113B〔AE〕1A103121326,因此325；5 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1111T 1 1 1 1A1 1 1 12．解： 1 1 1 1 , A 2 4 A,n T T T T T T T n 1 T n 1A 〔 〕〔 〕 〔 〕 〔 〕〔 〕 〔 〕 4 4 A ；3．解法一：由方程组有无穷多解,得 R A 〕 R A b | 〕 3,因此其系数行列式1 1 a| A | 1 1 2 01 a 1 ；即 a 1 或 a 4；当 a 1 时,该方程组的增广矩阵1 0 1 121 1 1 1 0 1 3 02〔 A b | 〕 1 1 2 10 0 0 01 1 1 1于是 R A 〕 R A b | 〕 2 3,方程组有无穷多解；分别求出其导出组的一个T基础解系 2 1 32 1,原方程组的一个特解 1 0 0 T,故 a 1 时,方程T1 0 0 Tk 1 3 1组有无穷多解,其通解为 2 2 ,1 1 4 1 1 1 4 1〔 A b 〕 1 1 2 1 0 2 2 0当 a 4 时 增 广 矩 阵 1 4 1 1 6 0 0 0 1 5,R A 〕 2 R A b | 〕 3,此时方程组无解；解法二：第一利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形；6 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,。