上海交通大学流体力学第二章剖析.ppt

C2.2 一般概念一般概念1. 欧拉运动方程欧拉运动方程 （无粘）（无粘）兰姆兰姆—葛罗米柯方程葛罗米柯方程（无粘（无粘)2. 欧拉积分（无粘、无旋欧拉积分（无粘、无旋 正压、重力正压、重力 、定常）、定常）伯努利积分（无粘、无旋伯努利积分（无粘、无旋不可压、重力、定常）不可压、重力、定常）常数常数 (全流场）全流场）常数常数 （全流场）（全流场）C2.2 C2.2 一般概念一般概念C2.1 2.1 引言引言( (工程背景工程背景)3. 斯托克斯定理斯托克斯定理（（封闭曲线、涡束）封闭曲线、涡束）开尔文定理开尔文定理（无粘、正压、有势力）（无粘、正压、有势力）（（沿封闭流体线）沿封闭流体线）C2.2 C2.2 一般概念一般概念(2-2)(2-2)[ [例例C2.2.2] C2.2.2] 有自由面的势涡：无旋流伯努利方程有自由面的势涡：无旋流伯努利方程已知已知: : 涡量处处为零的涡旋运动称为势涡（参见涡量处处为零的涡旋运动称为势涡（参见C2.4.3C2.4.3），），速度分布为速度分布为 v= =v0 0= =C/ /r，，C为常数，为常数，r为径向坐标。

为径向坐标求：求： 若势涡具有自由面（例如河中的水旋，见图若势涡具有自由面（例如河中的水旋，见图），）， 试确定自由面方程试确定自由面方程 解：解： 势涡流场为无旋流场，伯努利方程在全流场势涡流场为无旋流场，伯努利方程在全流场成立，在任意高度的两点上流体微元的总能量成立，在任意高度的两点上流体微元的总能量守恒设自由面的水平边界渐近线为守恒设自由面的水平边界渐近线为z=z 0，，渐近线渐近线的无穷远点与自由面上的任意点有关系式的无穷远点与自由面上的任意点有关系式 在水平边界上在水平边界上r0→∞，，v0=c/r0→0；；且在自由面上，且在自由面上，ps=p0，，由上式可得由上式可得 将将v=C/r代入上式可得自由面方程为旋转双曲线方程代入上式可得自由面方程为旋转双曲线方程 C2.3 速度势与流函数速度势与流函数名称名称 : 势函数势函数Φ(x,y) 条件条件: 无旋流无旋流引入引入:定义定义:等值线等值线: Φ=C (等势线等势线)性质性质: 等势线与速度垂等势线与速度垂直直流函数流函数Ψ(x,y)平面不可压缩平面不可压缩Ψ=C (流线）流线）,流线与等势线正交流线与等势线正交C2.3 C2.3 速度势与流函数速度势与流函数[ [例例C2.3.2] C2.3.2] 90°90°角域流的速度势和流函数角域流的速度势和流函数(2-1) (2-1) 已知已知: : 90°角域流的速度分布式为：角域流的速度分布式为：u=kx, ,v=－ky（（k为常数）。

为常数） 求：求：（（1 1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图；）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图； （（2 2）判断该流场是否存在流函数若存在请确定其形式并画流线图；）判断该流场是否存在流函数若存在请确定其形式并画流线图； 解：解：（（1 1）先计算速度旋度）先计算速度旋度 上式中上式中C为常数速度势函数为为常数速度势函数为 说明流场是无旋的，存在速度势说明流场是无旋的，存在速度势φ(x, y)，，由（由（C2.3.2C2.3.2））式式 (a)等势线方程为等势线方程为x2－y2=常数，在常数，在xy平面上是分别以第一、三象限角平分线平面上是分别以第一、三象限角平分线和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如上图中的虚线所示和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如上图中的虚线所示 （（2 2）再计算速度散度）再计算速度散度 说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数Ψ(x,y)，，由（由（C2.3.11C2.3.11））式式 上式中上式中C为常数，流函数为为常数，流函数为 流线方程为流线方程为xy=常数，在常数，在 xy平面上是分别以平面上是分别以 x, y轴为渐近线的双曲线族，轴为渐近线的双曲线族，如上图中的实线所示。

如上图中的实线所示x, y轴也是流线，称其为零流线流线族与等势线族轴也是流线，称其为零流线流线族与等势线族正交 (b)[ [例例C2.3.2] C2.3.2] 90°90°角域流的速度势和流函数角域流的速度势和流函数(2-2) (2-2) 平面势流平面势流平面流平面流存在速度势存在速度势Φ无旋流无旋流不可压缩不可压缩存在流函数存在流函数ΨC2.4 平面势流与基本解平面势流与基本解• 挑选一些基本解挑选一些基本解φi(ψi)，，叠加后若满足边界条件即是所求之解叠加后若满足边界条件即是所求之解C2.4 C2.4 平面势流与基本解平面势流与基本解C2.4.1 均流均流物理背景物理背景 全流场以等速全流场以等速( U )做平行直线流动做平行直线流动速度分布速度分布势函数势函数流函数流函数C2.4.1 C2.4.1 均流均流C2.4.2 点点源与点汇源与点汇物理背景物理背景当源汇位于当源汇位于A点点当源汇位于原点当源汇位于原点O点源（点源（Q > 0）：）：流体从一点均匀地流向各方向流体从一点均匀地流向各方向; 点汇（点汇（Q < 0）：）：流体从各方向均匀地流入一点。

流体从各方向均匀地流入一点C2.4.2 C2.4.2 点源与点汇点源与点汇C2.4.3 点涡点涡物理背景物理背景 与平面垂直的直涡线（强度为与平面垂直的直涡线（强度为Γ））诱导的流场诱导的流场当点涡位于当点涡位于A点点当点涡位于原点当点涡位于原点OC2.4.3 C2.4.3 点涡点涡C2.4.4 偶极子偶极子当偶极子位于原点当偶极子位于原点等势线等势线Φ=C流线流线 Ψ=C物理背景物理背景 点源点汇无限接近点源点汇无限接近(δ→0)形成的流场形成的流场 （（偶极矩偶极矩M = Qδ= 常数常数，源，源→汇）汇）C2.4.4 C2.4.4 偶极子偶极子[ [例例C2.4.4] C2.4.4] 兰金半体绕流：均流兰金半体绕流：均流+ +点源点源(2-1)(2-1)已知已知: : 位于原点的强度为位于原点的强度为Q（（Q＞＞0））的点源与沿的点源与沿x方向速度为方向速度为U的均流叠的均流叠 加成一平面流场加成一平面流场求：求： （（1 1）流函数与速度势函数；（）流函数与速度势函数；（2 2）速度分布式；（）速度分布式；（3 3）流线方程；）流线方程； （（4 4）画出物面流线及部分流线图。

画出物面流线及部分流线图解：解：（（1 1）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为 （（2 2）速度分布式为）速度分布式为 （（3 3）流线方程为）流线方程为 C 取不同值代表不同流线其中通过駐点的流线的一部分为该流场绕流取不同值代表不同流线其中通过駐点的流线的一部分为该流场绕流物体的轮廓线，即物面流线物体的轮廓线，即物面流线a)(d)(c)(b)(e)通过驻点通过驻点A（-b,0）的右半部分物面流线由的右半部分物面流线由A点的流函数值决定点的流函数值决定 （（4 4）物面流线的左半支是负）物面流线的左半支是负x轴的一部分（轴的一部分（θ=π），），驻点驻点A（（-b,0））由由 下式决定下式决定流线方程为流线方程为 物面流线及部分流线如右上图所示，右半部分所围区域称为兰金物面流线及部分流线如右上图所示，右半部分所围区域称为兰金( (Rankine) )半体，在无穷远处半体，在无穷远处θθ→0→0和和2π，物面流线的两支趋于平行由，物面流线的两支趋于平行由（（g g））式可确定两支距式可确定两支距x轴的距离分别为轴的距离分别为 (g)[ [例例C2.4.4] C2.4.4] 兰金半体绕流：均流兰金半体绕流：均流+ +点源点源(2-2)(2-2)C2.5 绕圆柱的平面势流绕圆柱的平面势流C2.5.1 无环量圆柱绕流无环量圆柱绕流一、求解流场一、求解流场均均 流流求流函数求流函数偶极子偶极子同理同理基本解叠加基本解叠加边界条件边界条件 圆柱面为零流线圆柱面为零流线C2.5.1 无环量圆柱绕流无环量圆柱绕流(2-1)(2-1)C2.5.1 无环量圆柱绕流无环量圆柱绕流(2-2)(2-2)二、流场分析二、流场分析1. 速度分布速度分布在圆柱面在圆柱面(S)上上2. 圆柱面上压强分布圆柱面上压强分布表面压强系数表面压强系数3. 压强合力压强合力 Fx= 0（（达朗贝尔佯缪），达朗贝尔佯缪），Fy= 0C2.5.2 有环量圆柱绕流有环量圆柱绕流在无环量圆柱绕流流场中再叠加一个点涡（顺时针）在无环量圆柱绕流流场中再叠加一个点涡（顺时针）一、求解流场一、求解流场二、流场分析二、流场分析1. 速度分布速度分布在圆柱面在圆柱面(S)上上C2.5.2 有环量圆柱绕流有环量圆柱绕流(2-1)(2-1)C2.5.2 有环量圆柱绕流有环量圆柱绕流(2-2)(2-2)2. 求解驻点位置求解驻点位置(θcr)3. 表面压强系数表面压强系数|Γ|<4πaU 有两个驻点有两个驻点|Γ|=4πaU 有一个驻点有一个驻点 |Γ|>4πaU 无驻点无驻点(自由驻点自由驻点)4. 压强合力压强合力Fy=ρUΓ升力公式升力公式Fx=0,C2.6 绕机翼的平面势流绕机翼的平面势流C2.6.1 儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理FL=ρUΓ式中式中U为来流速度矢量，为来流速度矢量，Γ为环量矢量（按右手法则确定方向）为环量矢量（按右手法则确定方向）C2.6.2 库塔条件库塔条件绕翼型产生环量的四个阶段绕翼型产生环量的四个阶段1)运动前（运动前（Γ=0））2) 运动后（开尔文定理）运动后（开尔文定理）3) 环量大小（库塔条件）环量大小（库塔条件）4) “起动涡起动涡”和和“附着涡附着涡”将有环量圆柱绕流的将有环量圆柱绕流的升力公式升力公式推广到对任意形状截面的绕流推广到对任意形状截面的绕流C2.6 C2.6 绕机翼的平面势流绕机翼的平面势流C2.6.3 机翼升力机翼升力1.机翼升力机翼升力 2. 压强分布压强分布3. 翼型翼型C2.6.3 C2.6.3 机翼升力机翼升力(2-1)(2-1)C2.6.3 机翼升力机翼升力4. 升力系数升力系数5. 有限翼展有限翼展C2.6.3 C2.6.3 机翼升力机翼升力(2-2)(2-2)C2.7 叶栅中的升力定理叶栅中的升力定理1.叶栅概念叶栅概念平均速度为平均速度为得得y方向分力方向分力环量为环量为由伯努利方程由伯努利方程得得x方向分力方向分力由由y方向动量方程方向动量方程合力为合力为2. 计算叶片升力计算叶片升力C2.7 C2.7 叶栅中的升力定理叶栅中的升力定理。