习题答案第二章.docx

细心整理其次章 开放式光腔及高斯光束习题1．试利用来回矩阵证明共焦腔为稳定腔，即随意傍轴光线在其中可以来回无限屡次，而且两次来回即自行闭合证：设光线在球面镜腔内的来回状况如下列图所示：其来回矩阵为：由于是共焦腔，有来回矩阵变为假设光线在腔内来回两次，有可以看出，光线在腔内来回两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次来回即自行闭合于是光线在腔内来回随意屡次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔2．试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件解：共轴球面腔的稳定性条件为0

图示环形腔为非共轴球面镜腔在这种状况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式()中的，对于在及此垂直的平面内传输的弧矢光线，，为光轴及球面镜法线的夹角图2.1解：稳定条件 左边有 所以有对子午线：对弧矢线：有：或所以同时还要满足子午线及弧失线5．有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，，，镜的反射率为，其他的损耗以每程0.003估计此激光器能否作单模运转？假如想在共焦镜面旁边加一个方形小孔阑来选择模，小孔的边长应为多大？试依据图作一个也许的估计氦氖增益由公式计算解：设模为第一高阶模，并且假定和模的小信号增益系数一样，用表示要实现单模运转，必需同时满足下面两个关系式依据确定条件求出腔的菲涅耳数由图可查得和模的单程衍射损耗为氦氖增益由公式计算代入确定条件有将、、、和的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转为了获得基模振荡，在共焦镜面旁边加一个方形小孔阑来增加衍射损耗假设满足II式的条件，那么要求依据图可以查出对应于的腔菲涅耳数由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长因此，只要选择小孔阑的边长略小于0.83mm即可实现模单模振荡。

6．试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的模的场分布可以写成令，那么I式可以写成式中为厄米多项式，其值为由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令，得考虑到，于是可以得到镜面上的节点位置所以，模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为；而沿y方向没有节线分布8．今有一球面腔，，，试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置解：该球面腔的g参数为由此，，满足谐振腔的稳定性条件，因此，该腔为稳定腔两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为依据计算得到的数据，在下列图中画出了等价共焦腔的具体位置14．某高斯光束腰斑大小为=1.14mm，求及束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径及波前曲率半径R解：入射高斯光束的共焦参数依据z30cm10m1000m1.45mm2.97cm2.96m0.79m10.0m1000m求得：15．假设确定某高斯光束之=0.3mm，求束腰处的参数值，及束腰相距30cm处的参数值，以及在及束腰相距无限远处的值解：入射高斯光束的共焦参数依据，可得束腰处的q参数为：及束腰相距30cm处的q参数为：及束腰相距无穷远处的q参数为：16．某高斯光束=1.2mm，。

今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰及透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果解：入射高斯光束的共焦参数又确定，依据得10m1m10cm02.00cm2.08cm2.01cm2.00cm2.4022.555.356.2从上面的结果可以看出，由于f远大于F，所以此时透镜必需具有必需的聚焦作用，并且不管入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上17．激光器输出光，=3mm，用一F=2cm的凸透镜距角，求欲得到刚好透镜应放在什么位置解：入射高斯光束的共焦参数确定，依据得时，，即将透镜放在距束腰1.39m处；时，，即将透镜放在距束腰23.87m处18．如图2.2光学系统，入射光，求及图2.2解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置由于，所以=2cm所以对其次个透镜，有确定，依据得，19．某高斯光束=1.2mm，今用一望远镜将其准直主镜用镀金反射镜R=1m，口径为20cm；副镜为一锗透镜，=2.5cm，口径为1.5cm；高斯束腰及透镜相距=1m，如图2.3所示求该望远系统对高斯光束的准直倍率图2.3解：入射高斯光束的共焦参数为由于远远的小于，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为这样可以得到在主镜上面的光斑半径为即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不须要考虑主镜孔径的衍射效应。

这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为20．激光器的谐振腔有两个一样的凹面镜组成，它出射波长为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试表达测量该高斯光束共焦参数f的试验原理及步骤解：一、试验原理通过放在离光腰的距离为z的小孔(半径为a)的基模光功率为 (I)式中，为总的光功率，为通过小孔的光功率记，那么有 (II)留意到对基模高斯光束有在(II)式的两端同时乘以，那么有令(III)那么解此关于f的二次方程，得因为、、、都可以通过试验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f二、试验步骤1．如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a)，用卷尺测量出B到光腰O(此题中即为谐振腔的中心)的距离z；2．用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率；3．移走光阑，量出高斯光束的总功率；4．将所得到的数据代入(III)及(IV)式即可求出f(依据实际状况确定(IV)式根号前正负号的取舍)。