概率论与数理统计：均匀分布与指数分布.docx

均匀分布与指数分布教学目标：1. 理解均匀分布，并能运用均匀分布解决实际问题2. 理解指数分布，并能运用指数分布解决实际问题教学重难点：理解连续型随机变量中常见的三大分布之二均匀分布和指数分布，并能熟练运 用一、均匀分布概念导入：均匀分布 如果随机变量x的概率密度为f⑴=

解：设乘客于7点过X分钟到达车站，则X〜U[0,30],即其概率密度为I同A ”心0 ,其它于是该乘客等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率为尸{10 < x < 15或25 < x < 30}=尸{10 < x < 15} + P{25 < 尤 < 30}「15 1 刀「30 1 刀 5 5 1=J — dx + J30— dx = — + ——=—10 30 25 30 30 30 3练习：设随机变量X在[2, 5 ]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求至少有 两次观测值大于3的概率.三、指数分布概念导入：[腥一七,x > 0 八指数分布 如果随机变量X的概率密度为f (x)=〈 其中人〉0，则称X服从[0, x < 0参数为人的指数分布，记为X〜E(人)四、指数分布应用举例指数分布常见于下列情形：在实际生活中，常用指数分布作为各种“寿命”分布的近似如电子元件的寿命、动 物的寿命等都假定服从指数分布服从指数分布的随机变量X具有一个很有趣的性质：无 记忆性例2.某电子元件，其寿命服从参数为入=品 的指数分布(单位为小时)，(1) 求此电子元件能够使用1000小时以上的概率；(2) 如果已知一只元件已经正常使用了 1000小时，继续使用1000小时的概率；解：设X表示电子元件的寿命，则依据题意X服从入、的指数分布，即X的概率密1 _-^—曲斗 — V e 2000 , X > 0度为 f (X)-1 20000 , X < 01 —X—(1)所求概率为尸{X > 1000} — j+8 e-2000dx — 1000 2000—_e 2000+ 81000—e 2牝 0.607(2) P{X > 2000X > 1000} — P{X > 2000} — e-2 归 0.6071 P{ X > 1000}由此可以看出即使用N年后继续使用的时间的概率与先前已使用的时间无关。

例3.电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布1) 求该电子元件寿命超过2年的概率；(2) 已知该电子元件已使用了 1.5年，求它还能使用超过2年的概率为多少？解：(1) P (X > 2) - T 3 e - 3 xdx = e - 6,2(2) P (X > 3.51 X > 1.5) = e -6.课程小结1,均匀分布：X ~ U[a, b]2,指数分布：X〜E(人)。