步步高高中数学第二章数列章末检测A新人教A版必修5.doc

步步高】2020学年高中数学 第二章 数列章末检测（A）新人教A版必修5　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 011，则序号n等于(　　)A．667 B．668 C．669 D．671答案　D解析　由2 011＝1＋3(n－1)解得n＝671.2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)A．15 B．30 C．31 D．64答案　A解析　在等差数列{an}中，a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15.3．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(　　)A．81 B．120 C．168 D．192答案　B解析　由a5＝a2q3得q＝3.∴a1＝＝3，S4＝＝＝120.4．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于(　　)A．160 B．180 C．200 D．220答案　B解析　∵(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝3(a1＋a20)＝－24＋78＝54，∴a1＋a20＝18.∴S20＝＝180.5．数列{an}中，an＝3n－7 (n∈N＋)，数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn(n≥2且n∈N＋)，若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值(　　)A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为3C．存在且不唯一 D．不一定存在答案　B解析　依题意，bn＝b1·n－1＝·3n－3＝3n－2，∴an＋logkbn＝3n－7＋logk3n－2＝3n－7＋(3n－2)logk＝n－7－2logk，∵an＋logkbn是常数，∴3＋3logk＝0，即logk3＝1，∴k＝3.6．等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于(　　)A．8 B．－8 C．±8 D．以上都不对答案　A解析　∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a＝64，∵a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0，∴a4＝8.7．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于(　　)A．1或2 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2答案　C解析　依题意有2a4＝a6－a5，即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，∴q2－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0.∴q＝－1或q＝2.8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于(　　)A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3答案　A解析　显然等比数列{an}的公比q≠1，则由＝＝1＋q5＝⇒q5＝－，故＝＝＝＝.9．已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则等于(　　)A. B. C. D.答案　C解析　因为a＝a1·a9，所以(a1＋2d)2＝a1·(a1＋8d)．所以a1＝d.所以＝＝.10．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是(　　)A．21 B．20 C．19 D．18答案　B解析　∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，∴99－105＝3d.∴d＝－2.又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴当n＝20时，Sn有最大值．11．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　)A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)答案　D解析　由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.又∵{an}是等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，即X，Y－X，Z－Y为等比数列，∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，∴Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)．12．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的(　　)A．第48项 B．第49项C．第50项 D．第51项答案　C解析　将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n组n个，即，，，…，，则第n组中每个数分子分母的和为n＋1，则为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.－1与＋1的等比中项是________．答案　±114．已知在等差数列{an}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．答案　－4解析　由，解得－≤d<－，∵d∈Z，∴d＝－4.15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．答案　15解析　设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式得na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.16．等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0.给出下列结论：①01成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)答案　①②④解析　①中，⇒⇒q＝∈(0,1)，∴①正确．②中，⇒a99a101<1，∴②正确．③中，⇒T1001，T199＝a1a2…a198a199＝(a1a199)…(a99a101)·a100＝a199100<1，∴④正确．三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(12分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．解　(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3＝－6，a6＝0，所以解得a1＝－10，d＝2.所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，q＝3.所以数列{bn}的前n项和公式为Sn＝＝4(1－3n)．18．(12分)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.解　设{an}的公差为d，则即解得或因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．19．(12分)已知数列{log2(an－1)} (n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<1.(1)解　设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.由a1＝3，a3＝9，得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝2n＋1.(2)证明　因为＝＝，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝1－<1.20．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和．(1)证明　由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解　由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1两边乘以2得：2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.21．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)当bn＝log(3an＋1)时，求证：数列{}的前n项和Tn＝.(1)解　由已知(n≥2)，得an＋1＝an(n≥2)．∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．又a2＝S1＝a1＝，∴an＝a2×()n－2(n≥2)．∴an＝(2)证明　bn＝log(3an＋1)＝log[×()n－1]＝n.∴＝＝－.∴Tn＝＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.22．(14分)已知数列{an}的各项均为正数，对任意n∈N*，它的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)(an＋2)，并且a2，a4，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n＋1anan＋1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.解　(1)∵对任意n∈N*，有Sn＝(an＋1)(an＋2)， ①∴当n＝1时，有S1＝a1＝(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或2.当n≥2时，有Sn－1＝(an－1＋1)(an－1＋2)． ②①－②并整理得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.而数列{an}的各项均为正数，∴an－an－1＝3.当a1＝1时，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，此时a＝a2a9成立；当a1＝2时，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，此时a＝a2a9不成立，舍去．∴an＝3n－2，n∈N*.(2)T2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)＝－6a2－6a4－…－6a2n＝－6(a2＋a4＋…＋a2n)＝－6×＝－18n2－6n. 。