线性代数与解析几何-第二章-矩阵.ppt

《线性代数与空间解析几何》,,哈工大数学系代数与几何教研室,王宝玲,2007.9,,,第二章,矩 阵,2,矩阵的概念及运算 可逆矩阵* 矩阵的初等变换与初等阵 矩阵的秩 分块矩阵,本章主要内容,,1. 矩阵的定义,由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表,称为阶数为,的矩阵.,2.1.1.矩阵的概念,,,2.1 矩阵的概念,简记为,当 m=n 时称为n 阶方阵.,矩阵同形它们行数和列数相同.,矩阵相等它们同形且对应元素相等.,2.特殊矩阵,零矩阵:,,,对角矩阵:,单位矩阵:,E ,In 或,数(纯)量矩阵:,上三角矩阵:,,,下三角矩阵:,行矩阵:,列矩阵:,,,,,2.2 矩阵运算,矩阵的线性运算,矩阵的乘法运算,方阵的幂及行列式 的乘法公式,矩阵的转置,8,加 法:,负矩阵:,减 法:,,,,2.2.2 数乘,其中,,,则,,,,,,,2.2.3 矩阵乘法,可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B 的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数.,总结如下:,,,运算性质:,学习矩阵运算,尤其要注意其不具备什 么熟知的运算规律.特别是乘法运算.,,,(A是mn的矩阵),设,求 AB .,解,注意: 在这个例子中 BA 无意义.,,,例1,则,注意: 在这个例子中,虽然 AB 与 BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵,而BA是 1×1 矩阵.,,,例2,设,则,注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB 不等于BA. (2) 虽然A, B都是非零矩阵, 但是 AB = 0.,,,例3,设,求 AB 及 AC.,解,注意: 虽然A不是零矩阵, 而且AB=AC, 但是B不等于C.这说明消去律不成立!,,,例4, 总结一下矩阵乘法的一些反常性质:,不满足交换律:,不满足消去律:,可能有零因子:, 如果 AB=BA, 则称 A 与 B 可交换.,,,18,祝 大 家 中秋节 快 乐,预习2.3-2.4,!,19,2.2.4 方阵的幂,AA有意义当且仅当A为方阵.,对于方阵相乘可以定义乘幂的概念:,因为矩阵乘法不满足交换律,所以对于 同阶方阵A与 B, 一般,运算性质:,,,20,矩阵多项式,仍是方阵.,设,为A的矩阵多项式，,A是方阵，则称,,,21,由 n 阶方阵A的元素按原来的位置组成 的行列式称为方阵A的行列式,记为 |A|,即,,,2.2.5 方阵的行列式及乘法公式,22,(行列式乘法公式),运算性质(定理2.1):,,,设A, B, 为 n 阶方阵, k 为数, 则有,23,例1 设A为3阶方阵, B为4阶矩阵, 且|A|=3, | B |=-2, 则||B| A|= .,,,,,解 ||B| A|=|-2A|=(-2)3| A |=(-8)3=-24.,,,例2 设A为n阶矩阵, k为非零常数,则 |-k A|= . (A) –k| A | (B) k| A | (C) (-1)nk n| A | (D) kn| A |,-24,,,,24,定义,称为A的转置矩阵.,,,2.2.6 矩阵的转置,25,,,,,运算性质,26,特殊矩阵,对称矩阵: AT =A,反对称矩阵: AT = - A,,,27,2. 矩阵与行列式有什么区别?,,,问题:,28,本节主要内容, 逆矩阵的定义, 可逆的条件, 伴随矩阵,2.3 逆 矩 阵,29,在解方程 ax=b 的时候,如果 a  0, 等式两边同乘以 a-1, 得 x=a-1b . 线性方程组 AX=b, 能否在一定条件下引进 A-1 的概念,使得解为 X = A-1b ? 由a-1 a=1想到 A-1A= E.,问题的提出:,A应当满足什么条件?如何定义A-1 ?,30,定义 A为n阶方阵, 若存在n阶方阵B, 使 AB = BA = E 则称A为可逆矩阵,称B为A的逆矩阵. 记作B = A-1.,,,2.3.1 逆矩阵的定义,注 定义中矩阵 A 与B的地位是相同的, 如果 A可逆,且B是 A的逆,则B也可逆, 且A 也是B的逆,即A与B互逆.,31,问题: 你学过的方阵中,哪些是可逆阵, 哪些是不可逆阵 ?,1. E-1=,E,2. 当 k1k2…kn≠0 时,有:,,,32,性质,若矩阵A可逆,则A的逆矩阵唯一.,证,设B, C都是矩阵A的逆矩阵,则有,,,33,可推广至有限个积,,,可逆阵还具有如下性质: A,B 可逆,34, 如何判断一个矩阵是否存在逆矩阵?  如何求一个可逆矩阵的逆矩阵?,复习行列式的展开性质,,,35,伴随矩阵: A为n 阶方阵,,,2.3.2 可逆的条件,36,称,为矩阵A的伴随矩阵.,A* 是用方阵A的元素的代数余子式 组成的矩阵.,,,37,A A﹡= A﹡A =｜A｜E,A( A﹡)=( A﹡)A =E,,,引理2.1 (基本公式),A为n阶方阵,38,设 A 为数域 F 上 n 阶方阵,则,1. A 可逆,,｜A｜≠0,2. A 可逆时, A-1=,,,定理 2.2,从而 |A|  0.必要性得证.,证,若A可逆,则,39,,故矩阵A可逆,且, 在|A|  0时,,,若 |A|  0, 则由,,,也可逆,40,,, ｜A｜= 0 时, 称 A 为奇异阵,｜A｜≠0 时, 称 A 为非奇异阵,41,例1,讨论并求 2 阶矩阵的逆矩阵,解,,,, 利用伴随矩阵求逆矩阵,42,求满足矩阵方程 AX=B 的矩阵 X,,解 ｜A｜=-27≠0,,X =A-1B =,,,还可以用初等变换求解,例2,其中,43,,,解 设,设,,计算,则,例3,44,,,45,总结关于方阵 A :,A 可逆 |A|  0,AA*=A*A=|A| E,,,46,本节内容提要, 矩阵的初等变换,,, 矩阵的等价, 矩阵的等价标准形,2.4 矩阵的初等变换,47,解线性方程组的过程中经常用到:,问题的引入,,1.互换两个方程的位置. 2.用一个非零常数乘某个方程. 3.把一个方程的倍数加到另一个方程上去.,这三种变换不改变方程组的解,且对应与矩阵的三种变换.,,,48,矩阵的三种初等行变换:,换法变换: rirj 倍法变换：ri (0)ri 消法变换: krj+riri,矩阵的三种初等列变换：,换法变换: cicj 倍法变换：ci ( 0)ci 消法变换：kcj+cici,,,2.4.1 矩阵的初等变换,49,问题,如果矩阵A 经过初等变换变为B , 那么A 与B 之间究竟有何种关系?,定义 矩阵的三种初等行变换和三种初等 列变换统称为矩阵的初等变换.,初等变换可逆. 第三种初等变换保持行列式值不变. 初等变换保持矩阵可逆性不变.,,,记为,50,性质:,自反性,A 与 A 等价;,对称性,若A 与B等价，则B与A等价;,传递性,若A与B等价，B 与C等价， 则A与C等价.,2.4.2 矩阵的等价,A与B等价,,,,A与B同形且等秩.,51,2.4.3 矩阵的等价标准形,定义 满足下面两个条件的矩阵称为行阶 梯形矩阵或阶梯形矩阵: (1) 零行全部位于非零行下方; (2) 非零行的左起第一个非零元素的 列数由上至下严格递增.,,,例1,,,1.行阶梯形,52,2.行最简形,定义 如果阶梯形矩阵A满足: (1) 非零行左起第一个非零元素都是1; (2) 非零行左起第一个非零元所在列只有 一个非零元.则称A为行最简形矩阵.,,例2,,,53,3.矩阵的等价标准形,定理3.3 任意矩阵A都与一个形如 矩阵等价.,,A的等价标准形,定义 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵, 其余元素都是零 . 则称这个矩阵为 标准形 矩阵（唯一）.,,,54,的矩阵都是标准形矩阵.,用分块矩阵的表示方法,形如:,,,55,结 论,1 任一矩阵A都可经初等行变换化成行阶梯形;,2 任一矩阵A都可经初等行变换化成行最简形;,3 任一矩阵A都可经初等变换化成标准形.,,,56,,行阶梯形,行最简形,标准形,例3 化 简,,,57,预 习 完 2.6,58,祝大家国庆节快乐,预习2.4,2.5,！,59,设A, B是三阶方阵，,则,解,例1,由,,,,60,设A为3阶方阵, A*为A的伴随矩阵,且|A|=1/2, 则|(3A)-1 -2 A*|的值为( ). (A) 16/27 (B)- 4/3 (C) 5 (D) -16/27 分析 已知条件涉及A*, 应该立即联想到公式A A*= A*A =|A|E，A还可逆,利用这个公式可以得到A*=|A| A-1.,,,,解 |(3A)-1 -2A*| = |(1/3) A-1 -2|A|A-1| = |(1/3) A-1- A-1| =|(-2/3) A-1| =(-2/3) 3|A-1| =(-8/27)2 =-16/27,,,,例2,61,设A是n 阶方阵，,的伴随矩阵,,试证:,证,由,下面分三种情况讨论:,(1)若,则,(2)若,且,则,显然结论成立:,有,例3,,,62,(3)若,而,下面证明,反证:若,则 可逆,,所以,这与 矛盾.,,,63,2.5 矩阵的秩,,,本节内容提要, 矩阵的秩的概念, 矩阵的秩的求法,64,2.5.1 矩阵的秩的概念,,定义 矩阵A的子方阵的行列式称为矩阵A 的 一 个子式.,1 子矩阵,,定义 划去A的某些行或列后剩下的元素， 按原顺序构成的矩阵称为矩阵A的一 个子矩阵.,2 子 式,,,65,3 矩阵秩的定义,A的非零子式的最高阶数r.,,,,3阶子式只有一个,且 ,所以,r(A)=rA中存在一个r阶非零子式,但 其中任意r+1阶子式都等于零.,,,r(A)=2.,A的秩:,66,4 运算性质,若 A 是m×n 矩阵，则,1. 0 ≤r(A)≤min{m,n},2. r(AT) = r(A),4. r(A1)≤r(A),(A1为 A的子阵),,,67,求法:,2.行阶梯形矩阵的秩=非零行的个数.,2.5.2 秩的求法,可以通过初等变换把矩阵化为阶梯形 来求矩阵的秩.,,,68,注,称A为行满秩.,,称A为列满秩.,n方阵A可逆,,称A为满秩阵.,69,例1,其中,,解,1,,,可求,70,0,0,,,思考,71,本节内容提要, 初等矩阵与初等变换的关系, 求逆矩阵的初等变换法, 矩阵等价的充要条件,2.6 初等矩阵,,,72,问题:为什么要引入“初等矩阵” 呢？,,,如果对于单位矩阵E进行一次初等变 换,它会变成什么样? 如果矩阵A经过一次初等变换变为B, 那么A与B间如何建立等量关系?,,,73,定义 单位矩阵E经过一次初等变换所得 到的矩阵称为初等矩阵:,,,2.6.1 初等矩阵的概念,74,1. (换法)交换单位矩阵E 的第 i 行与第 j 行 （或交换E 的第 i 列与第 j 列）:,,,第i 行,第j 行,第i 列,第 j 列,,,,,75,,第 i 行,,第 i 列,2. (倍法)给单位矩阵 E 的第 i 行乘以非零数 ( 或给 E 的第 i 列乘以非零数 ):,,,76,3. (消法)将单位矩阵 E 的第 j行的 k 倍加到 第 i 行:,,,第 j 行,第 i 行,,,,第 i 列,第 j 列,或看作是将 E 的第 i列的k 倍加到第 j 列.,,,77,2.6.2 初等矩阵的性质,,,78,,,用初等矩阵左乘一个矩阵,相当于 对它进行一次相应的初等行变换.,用初等矩阵右乘一个矩阵,相当于 对它进行一次相应的初等列变换.,性质2,79,例1,,,80,,,81,,,82,计算,解 原式,例2,,,83,,,总结:,84,,存在相应初等阵P 使:,PA=B,,存在相应初等阵Q使:,AQ=B,,,85,,,86,预习完 2.7,87,*定理2.4,A可逆 初等阵 使:,证,显然,A可逆,。