数列求和7种方法方法全例子多.docx

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、 总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、 等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法，三、 逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定 的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：S = n（ai: 气）=na + n（n 1）dn 2 1 2，na1 （q = 1）2、 等比数列求和公式：S =\a （1 - qn） a - a q3、顶，1 z ...=乙 k = —n(n +1)k=1n =匚（q * 1）4、S =£k2 = 1n(n + 1)(2n +1)k=15、=X k 3 = ^-n(n +1)]22k=1-1[例 1]已知logx = ，求 x + x2 + xlOg23 + + xn +—的前 n 项和.3 X = T°g32n x - 2解：由 log X = -1- n log3 log 3由等比数列求和公式得S = X + X2 + x3 H F xn（利用常用公式）「 -(1 -—) .x(1 - xn) 2’ 2 n 1 1=卡厂=丁==1-方1 ——2- S［例 2］设 Sn=1+2+3+...+n, n£N*,求 f (n)=(〃 十矽)$ 的最大值.n+1（利用常用公式）解：由等差数列求和公式得S =1 n(n +1), S = 1(n + 1)(n + 2) n 2 n 2S• • f (n) n —(n + 32) S n 2 + 34n + 64n + 1_ 1=牌 64n + 34 + ——n1— V —(打-旦)2 + 50 50x：n即 n=8 时，f (n)=二max 50平-1 题1.等比数列叵)的前n项和Sn=2n-1,则仅；+材+机 "+片=3 题2.若 I2+22+•••+(n-1)2=an3+bn2+cn, 则 a=,b=, c= ^^^^^^.(范一 1)范• (N范一 1) 2r? - 3^2 + ra 1 _ 1 1解：原式= & & ■ 答案：亍亍5二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛an - bn｝的前n 项和，其中｛ an ｝、｛ bn ｝分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：S = 1 + 3x + 5x2 + 7x3 + + （2n 一 1）xn—1 ①解：由题可知，｛（2n — 1）xn-1｝的通项是等差数列｛2n—1｝的通项与等比数列｛xn-1｝的通项之积设 xS = 1x + 3x2 + 5x3 + 7x4 + + （2n 一 1）xn ② （设制错位）①一②得（1 一 x）S = 1 + 2x + 2x2 + 2x3 + 2x4 + + 2xn-1 一 （2n 一 1）xn （错位相减1 — Xn T再利用等比数列的求和公式得：(1 — X)Sn = 1 + 2X• 1 x -(2n — 1)Xn_ (2n -1)xn+1 - (2n +1)xn + (1 + x)n (1 一 x )2队 2 4 6［例 4］求数列；,- 2 22232n 、—,• • •前n项的和.2 n△ — ， 2n 1 ,,寸十…解：由题可知，｛丁｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛丁｝的通项之积2n 2n2 4 6 2n+ ——+ — + •••+ -2 22 23 2n2 4 6 2n+ — + ——+ •••+ —22 23 24 2 n+1①一②得(1 —2 2 2 2 2 2n_ + + + + • • • + -— 2 22 23 24 2n 2 n+1(设制错位)(错位相减2n2 n+1Sn= 4 - 壬练习题1 已知 * ，求数列｛an｝的前n项和Sn.K =^2"-1*2°-21----2"-1 =^2"-2"+1答案：n练习题2的前n项和为三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原 数列相加，就可以得到n个(气+。

〃).［例5］求证：Co + 3C + 5C2 +... + (2n + 1)Cn _ (n +1)2n证明： 设S _ Co + 3Ci + 5C2 +... + (2n + 1)C〃 ①把①式右边倒转过来得S _ (2n + 1)Cn + (2n — 1)C 〃-1 + ... + 3Ci + C0 (反序)又由Cm _ Cn-m可得S = (2n + 1)Co + (2n -1)0 +••• + 36-1 + C①+②得 2S = (2n + 2)(C0 + O +••• + Cn-1 + C〃)= 2(n +1) • 2nS = (n +1) • 2 nn[例 6] 求 sin21 sin2 2 sin2 3H b sin2 88 sin2 89的值解：设 S = sin21 sin2 2 sin2 3 + sin2 88 sin2 89将①式右边反序得S = sin 2 89 sin 2 88 + sin 3 sin 2 sinl又因为 sin x = cos(90 x), sin2 x + cos2 x = 1①+②得（反序相加）（反序）（反序相加）2S = (sin21 cos21。

) + (sin2 2 cos2 2) + + (sin2 89 cos2 89) =89S=44.5已知函数小F+龙(1)证明：’⑴+/（1一对=1(2)解：（2）求3 / .时的值.（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 利用第（1）小题已经证明的结论可知，—+/ — =-■ = / — +/ —二1f I \ / Q \两式相加得:所以222102—i L练习、求值：1+1° 2+9 3+8 10 +1四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.［例7］求数列的前n项和：1 +1, — + 4, — + 7,…, + 3n — 2，…解：设 S = (1 +1) + (- + 4) + (— + 7) + ... + (上 + 3n — 2) n a a 2 an—1将其每一项拆开再重新组合得S = (1 + - + — + ... +上)+ (1 + 4 + 7 + ••• + 3n — 2) (分组)n a a 2 a n — 1(3n — 1)n (3n + 1)n当a=1时，S = n + 2 = 2 (分组求和)1 ——当a。

1 时，S广」+ (3n — 1)n = 0—0—1 + (3n-1)n1 ——a［例8］求数列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n项和.解：设 a^ = k (k + 1)(2k +1) = 2k 3 + 3k 2 + kS =£k (k + 1)(2k +1)=工(2k 3 + 3k 2 + k) k=1 k=1将其每一项拆开再重新组合得S =虬 k3+3^ k 2+Xknk = 1 k = 1 k = 1（分组）=2(13 + 23 + + n 3) + 3(12 + 22 + + n 2) + (1 + 2 + + n)n 2(n +1)2 n(n + 1)(2n +1) n(n +1)= + + -2（分组求和）n(n +1)2 (n + 2)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1) a = f (n +1) — f (n) nsin12) = tan(n +1)— tanncos ncos(n +1)3)1 1 1a = =—— n n(n +1) n n +1(4)(2n)2 =1+1——，)(2n — 1)(2n +1) 2 2n — 1 2n +1(5)n(n — 1)(n + 2) = 2[ n(n +1) (n + 1)(n + 2)(6)n + 2 1 2(n +1) — n n(n + 1) 2n n(n + 1)=1 —(n +1)2 n(7) a = = ( 一 )n (An + B)(An + C) C — B An + B An + C(8) a = , =

+ + • • • + = cos0cos1 cos1cos2 cos88cos89 sin2 1 ——，…的前n项和. 1+七2 v2 + \.：3 ,n +、F +1解：设an———: =5 +1 — 5

cos 1 cos 1。