总结报告-学生建模报告-战斗模型.doc

三教上人（A+版-Applicable Achives）信息与计算科学周丹20GG1090045惠洁20GG1090046秦剑20GG1090099战斗模型摘要本文以二战时期的阿登高原战役为背景，运用兰彻斯特关于战争的数学模型对其进行分析文中从兰彻斯特的三种战斗模型中寻找方法，它们分别是常规战模型，游击战模型以及混合战模型，对阿登高原战役的战场数据进行分析，提出问题问题可以归纳为以下几点：第一，常规战中双方的伤亡有何规律；第二，游击战中双方的伤亡有何规律；第三，混合战中双方的伤亡有何规律关键词：兰彻斯特模型常规战模型游击战模型混合战模型一.问题的重述在第二次世界大战期间，德国国防军进行的最后一场大规模的进攻是阿登高原战斗德军于1944年12月~1945年1月在阿登地区对盟军发动了战略性反攻战役.这次战役德军的目的是为了夺回其在西线战场的主动权.1944年12月16日拂晓,德军发起进攻.20日抵达昂布莱沃河谷,17日围歼美军2个团,19日进抵巴斯托涅,但未能占领交通枢纽圣维特和巴斯托涅.在战役的初期德军的攻势一度非常迅猛,.之后盟军判明德军的企图后,采取了一定有针对性的局部战斗,并逐渐扭转了战役的局势.1月3日德军再次进攻巴斯托涅失利后,希特勒下令撤退.美军立即转入反攻,但由于天气恶劣,美军的进展缓慢,12日苏军营盟国要求参战,这场战役直到28日德军撤回本国境内宣告结束.此役是德军在西线最后一次进攻战役.德军损失10万人,美军损失8.1万人,英军损失1400人.德军虽使盟军遭受较大损失,推迟了其进攻齐格菲防线的时间,但未能扭转西线局势,反而严重降低了自己的防御力量和东线的机动兵力,从而加快了其在西线的溃败.战争是一个很复杂的问题,涉及的因素很多,如兵员的多少,武器的先进与落后,两军所处地理位置的有利与不利,士气的高低,指挥员的指挥艺术,,后勤供应状况,气候条件等诸多原因.因此,如果把战争涉及到的因素都要考虑进去,这样的模型是难以建立的,但对于通常情况下的局部战争,在合理的假设下建立一个作战数学模型,得出的结论是具有普遍意义的.二.模型的假设甲乙两支部队互相交战,设G(t)和y(t)分别代表两支队伍在t时刻的力量,其中t是从战斗开始时以天为单位计算的时间.我们所作模型仅从以下方面进行考虑:1. 双方兵力的多少和战斗力的强弱,同时考虑兵力因战斗减员和非战斗减员,又由后备力量的增援而增加;2. 战斗力即杀伤对方的能力与射击率,即单位时间内的射击次数,射击命中率;3. 战争类型:包括常规战,游击战以及二者混用的战争类型——混合战;4. 交战双方的政治,经济,社会等因素均不予以考虑.为此,我们作如下假定:(1) 假设两军人数关于时间的函数是连续变化的,并且充分光滑.(2) 每一方的减员率取决于敌军的兵力.(3) 每一方的非战斗伤亡数字为固定值.(4) 每一方的增援率是给定的函数.符号说明:G(t),y(t)：第t天甲乙两军人数；f(t),g(t)：第t天甲乙两军减员率；u(t),v(t)：第t天甲乙两军增援率；rG,ry：G军y军的射击率(每个士兵单位时间射击次数)；sG,sy：G军y军的活动面积；srG,sry：G军y军的每次射击有效面积；pG：G军每次射击的命中率；三， 模型的分析与求解下面分别就不同的战争类型进行讨论：1、常规战模型显然甲军人数越多，乙军伤亡越大，反之亦然，所以有假设：（1）甲军人数的减员率与乙军人数成正比；（2）乙军人数的减员率与甲军人数成正比。

所以常规战模型可以简化为:（1）其中a>0,b>0均为常数，a(或b)越大，表示乙军（或甲军）战斗力越强记Q=b/a,称Q为甲军与乙军的交换比，联立方程（1）求解得（2）分离变数并积分得即（3）若初始条件为：则有（4）（3）式在Goy平面上是一族双曲线，如图（1）图（1）图上箭头表示兵力随时间而变化的方向由图可知：若D>0，乙军胜，且当y减少到时，G为零；若D=0，平局，且当y减少到零时，G也减少到零；若D<0，甲军胜，且当G减少到时，y为零图中箭头表示兵力随时间变化的方向，因此，对于乙军来说，为了保持取胜的战斗态势，当然希望D>0，即或(5)所以要想取胜，要么兵力多，要么增强士兵的战斗力；因此，如果士兵的战斗力强，当然可以以少胜多另一方面，（5）式可写成 (6)（6）式说明双方初始兵力之比以平方关系影响着战争的结局，由于这个原因，常规战争模型又称为平方率模型2．游击战模型假设甲乙双方均用游击部队作战，假设双方都没有自然损失和增援，也即双方人数的减少只由战斗伤亡引起G军士兵隐藏在y军士兵看不到的某个面积为的隐蔽区域R内活动，y军士兵不是向G军开火，而是向区域R射击，并且不知道杀伤情况于是我们有理由认为G军的战斗减员率应与区域R内自己人员数量G(t)成正比例，G(t)越大，被敌人杀死的概率也越大。

另外与y军的兵力y(t)也成正比例，所以可以简单的假设f=cGy，且y军的战斗力有效系数c=，其中为射击率，为y军一次射击的有效面积，为G军活动的面积同理有g=dGy,于是，游击战争模型便为：其解为cy-dG=L，结合初始条件，便有，,上式确定的图形为一族直线，如下图所示，向分析常规战争一样，可知L>0时乙军胜，L<0时，甲军胜，L=0时，双方战平图中箭头表示兵力随时间而变化的方向并且乙军获胜的条件为>=（7）（7）式说明双方初始兵力之比以线性关系影响着战争的结局,因此这个模型又称为线性律模型3、混合战争模型如果甲军是游击队，乙军是正规军，由于甲军对当地地行熟，常常位于不易发现的有利地形设甲军占据区域为R，由于乙军看不清楚甲军，只好向R区域射击，但并不知道杀伤情况，所以我们作如下假设：（1） 游击队的战斗减员率与G(t)及y(t)成正比，因为G(t)越大，目标越大，被敌方子弹命中的可能性越大，另一方面，y(t)越大，火力越强，G(t)的伤亡人数也就越多；（2） 正规军的战斗减员率与游击队人数成正比；（3） 游击队与正规军的增援率分别为u(t),v(t)则混合战争模型：（8）其中，j>0,k>0为常数，分别代表y军和G军的战斗有效系数。

战斗中，若双方都无增援，即u(t）=v(t)=0,则（8）变为：（9）由（9）得积分（10）若初始条件为：所以， (11)(9)式在Goy平面上是一族抛物线，如下图：图中箭头表示兵力随时间而变化的方向由图知：若P>0，乙军胜，且当y减少到时，G将为零；若P=0，平局，且当y减少到零时，G也将为零；若P<0，甲军胜，且当G减少到时，y将为零；因此对于正规军来说，为了保证取胜的战斗状态，必须P>0,即所以正规军取胜的条件： (12)由于j,k分别表示正规军与游击队的战斗有效系数，所以根据前面的结论有：（13）将（13）式代入（12）式得正规军取胜的条件：（14）我们可以一组简单数据：假定正规军的作战火力比游击队作战火力强，不妨设为；游击队的作战火力=100人；命中率=0.1，活动范围，正规军每次射击的有效面积，则由式（14），正规军取胜的条件为：即正规军必须10倍于游击队的兵力才能取胜四．阿登高原战斗阿登高原战为时二战时期德国国防军最后一次大规模的进攻，战斗于1944年12月16日开始，德国首先发起惊人的攻击，头6天中，突入盟军防线达43.5千米宽，31千米深到1945年1月28日，战线退回到原来的位置，整个战斗结束。

下表概述了战斗统计资料，其中每天非战斗伤亡数字主要是推测出来的没有关于德国每天战斗伤亡的数字表格如下：天数日期美军德军增援部队战斗伤亡非战斗伤亡战斗力增援部队非战斗伤亡012.150009220000112.1602500100088700010002170600010008170024400100031833100375010001100500100041913200380010001845014400100052048800275010001635001000621261001625100018697501000722267003500100020917534000100082324400187510002307000100092412900257510002400250100010251300020GG1000250025010001126020GG10002470250100012271220018751000256350010001328012501000254100010001429012501000251850010001530233001000100027315020GG010001631103001500100028095001000171．101125100027882548000100018208751000276950100001000193850015001000282950010002040150010002800450100021501250100027820001000226087510002763250100023701375100027395001000248010001000271950010002591290012501000282600010002610013751000280225010002711010001000278225010002812013751000276225010002913010001000273225010003014010001000271225010003115015001000268225010003216015001000265600010003317020GG100026360001000341801625100026135001000351901000100025922501000362001250100025735001000372101125100025522501000382208751000253。