2022届高考新课标Ⅰ卷导数题型及解法总结.doc

2022届高考新课标Ⅰ卷导数题型及解法总结 - 2022届高考新课标Ⅰ卷导数题型及解法总结〔二) 参考题1. 函数f(x)?|x?a|?lnx(a?0). 〔1〕假设a?1,求f(x)的单调区间及f(x)的最小值； 〔2〕假设a?0，求f(x)的单调区间； ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)〔3〕试比拟〕2?2-?2与的大小，(n?N*且n?2)，并证23n2(n?1)明你的结论 1x?1-0. xx1?f(x)在区间?1,-?上是递增的.当0?x?1,f(x)?1?x?lnx,f?(x)-1-0[ x〔1〕a?1,f(x)?x?1?lnx 当x?1时,f(x)?x?1?lnx,f?(x)?1-f(x)在区间(0,1)上是递减的. 〔2〕假设a?1,当x?a时，f(x)?x?a?lnx,f?(x)?1?1x?1-0.那么f(x)在区间xx1[a,-]上是递增的；当0?x?a时,f(x)?a?x?lnx,f?(x)-1-0?f(x)在x区间(0,a)上是递减的．〔6分〕 假设0?a?1,当x?a时,f(x)?x?a?lnx, f?(x)?1?1x?1?,x?1,f?(x)?0,a?x?1,f?(x)?0 xx那么f(x)在区间[1,-)上是递增的，f(x)在区间[a,1)上是递减的； 当0?x?a时,f(x)?a?x?lnx,f?(x)-1?1?0, xf(x)在区间〔0，a〕上是递减的，而f(x)在x?a处连续； 那么f(x)在区间[1,-)上是递增的，在区间〔0，1〕上是递减的 〔8分〕 时,f(x)的递增区间是[a,-)，递减区间是〔0，a〕综上：当a?1； 当0?a?1时，f(x)的递增区间是[1,-)，递减区间是〔0，1〕 〔9分〕 〔3〕由〔1〕可知，当a?1，x?1时， 有x?1?lnx?0，即lnx1?1? xx ln22ln32lnn2?2?2-?223n?1?111?1--1?2232n2 ?n?1?(111--) 2232n2111111111) --)?n?1?(---?2334nn?12?33?4n(n?1) ?n?1?(11(n?1)(2n?1) 〔14分〕 ?n?1?(?)?2n?12(n?1)〔Ⅱ〕当a?1时,f(x)【答案】〔Ⅰ〕f(x)的增区间为[减区间为〔0，1〕，f1,-)，xnim0.?的递增区间是[a,-)，递减区间是〔0，a〕；当0?a?1时，f(x)的增区间[1,-)，减区间〔0，1〕 参考题2. 函数f(x)?ex(x2?ax?a)，其中a是常数. 〔Ⅰ〕当a?1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； 〔Ⅱ〕求f(x)在区间[0,-)上的最小值. 【解析】〔Ⅰ〕由f(x)?ex(x2?ax?a)可得 f'(x)?x2ex[?a(? 2. x) ] 当a?1时,f(1)?e ,f'(1)?4e. 所以 曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?e?4e?x?1?，即y?4ex?3e. 〔Ⅱ〕令f'(x)?e[x?(a?2)x]?0， 解得x-(a?2)或x?0. 当?(a?2)?0，即a-2时，在区间[0,-)上，x2f'(x)?0，所以f(x)是[0,-)上的增函数. 所以f(x)的最小值为f(0)＝?a; 当?(a?2)?0，即a-2时, f'(x),f?x?随x的变化情况如下表 x f'(x) f(x) 0 0 (0,?(a?2)) ?(a?2) 0 (?(a?2),-) + ↗ - ↘ f(0) f(?(a?2)) a?4. a?2e参考题3. 函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数，当x?0时，f(x)?ax?lnx，由上表可知函数f(x)的最小值为f(?(a?2))? 其中a?R． 〔1〕求函数f(x)的解析式； 〔2〕假设函数f(x)在区间(- , ?1)上是单调减函数，求a的取值范围； 〔3〕试证明对?a?R，存在-(1 , e)，使f(?)?/f(e)?f(1)． e?121. 解：⑴f(0)?0 ---1分 x?0时，f(x)-f(?x)?ax?ln(?x)-3分， x?0?ax?lnx , ? x?0 ----4分 所以f(x)-0 , ?ax?ln(?x) , x?0?⑵函数f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(- , ?1)上单调递减，当且仅当f(x)在区间(1 , -)上单调递减，当x?0时，f(x)?ax?lnx，f/(x)?a?由f(x)?a?/1 --?6分 x111?0得a--8分，?在区间(1 , -)的取值范围为(?1 , 0) xxx所以a的取值范围为(- , ?1] -----?9分 ⑶f(e)?f(1)(ae?1)?a111/-a-?10分，解f(?)?a-a? e?1e?1e?1?e?1得-e?1-11分，因为1?e?1?e，所以-e?1为所求 --12分. 参考题6. 在直角坐标平面内，三点A、B、C共线，函数f?x?满足： ------?OA?[f?x-2f'?1?]OB?ln?x?1-OC?0 〔1〕求函数f?x?的表达式；〔2〕假设x?0，求证：f?x-〔3〕假设不等式2x； x?212x?f?x2-m2?2bm?3对任意x-?1,1?及任意b-?1,1?都成2立，务实数m的取值范围。

------解：〔1〕∵三点A、B、C共线且OA?[f(x)?2f'(x)]OB?ln(x?1)?OC ∴f(x)?2f'(1)?ln(x?1)?1?f(x)?1?2f'(1)?ln(x?1) 11 得f'(1)? 故f(x)?ln(x?1) x?122x2x〔2〕证明：记g(x)?f(x)? 那么g(x)?ln(x?1)? x?2x?2 由f'(x)?14x2∵x?0时g'(x)--0g(x)在(0,?)上是单调增函数 22x?1(x?2)(x?1)(x?2) 2x成立 x?2121222〔3〕记?(x)?x?f(x)那么?(x)?x?ln(x?1) 222x(x?1)x(x?1)?由?'(x)?x?2 又x?[?1,1] 知x?0时 x?1x2?1故g(x)?g(0)?0即f(x)-(x)取的最大值，且?(0)?0故原命题可化为对任意b?[?1,1]都有：m2?2bm?3?0恒成立 记h(b)-2mb?m2?3 知?1?b?1时h(b)?0恒成立 2?h(?1)?0-m?2m?3?0--2?m?3或m-3 h(1)?0-?m?2m?3?0 参考题7. 设M是由满足以下条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)?x?0有实数根；②函数f(x)的导数f?(x)满足0?f?(x)?1” (Ⅰ)判断函数f(x)?xsinx?是否是集合M中的元素，并说明理由； 24(Ⅱ)假设集合M中的元素具有下面的性质：“假设f(x)的定义域为D，那么对于任意[m,n]?D，都存在x0?[m,n]，使得等式f(m)?f(n)?(m?n)f?(x0)成立” 试用这一性质证明：方程f(x)?x?0只有一个实数根； (Ⅲ)设x1是方程f(x)?x?0的实数根，求证：对于f(x)定义域中的任意的x2,x3，当|x2?x1|?1且|x3?x1|?1时，|f(x3)?f(x2)|?2 解：(Ⅰ)易证函数f(x)?xsinx?满足条件①②，因此f(x)?M 24(Ⅱ)假设f(x)?x?0存在两个实根?,?(-?)，那么f(?)-?0，f(?)-?0不妨设-?，由题知存在实数-(?,?)，使得f(?)?f(?)?(-?)f?(?)成立。

∵f(?)-，f(?)-且-?，∴f?(?)?1与矛盾，所以方程f(x)?x?0只有一个实数根 (Ⅲ) 不妨设x2?x3，∵f?(x)?0，∴f(x)为增函数，∴f(x2)?f(x3)，又∵f?(x)?1∴函数f(x)?x为减函数，∴f(x2)?x2?f(x3)?x3， ∴0?f(x3)?f(x2)?x3?x2，即|f(x3)?f(x2)|?|x3?x2|， ∴|f(x3)?f(x2)|?|x3?x2|?|x3?x1?(x2?x1)|?|x3?x1|?|x2?x1|?2 参考题8. 函数f(x)?kx,g(x)?〔Ⅰ〕求函数g(x)?lnx的单调区间； xlnxx 〔Ⅱ〕假设不等式f(x)?g(x)在区间(0,-)上恒成立，务实数k的取值范围； ln2ln3lnn1---? 4442e23nlnx1-lnx‘‘【解析】〔Ⅰ〕?g(x)?，故其定义域为(0,-)?g(x)?令g(x)>0,得2xx0?x?e lnx‘令g(x)<0,得x?e故函数g(x)?的单调递增区间为(0,e)单调递减区间为(e,-) xlnxlnxlnx1-2lnx‘‘,?k?2令h(x)?2又h(x)?〔Ⅱ〕?x?0,kx?令h(x)?0解得3xxxx〔Ⅲ〕求证：x?e ‘当x在(0,-)内变化时，h(x)，h(x)变化如下表 x ‘h(x) (0,e) + ↗ e 0 (e,-) - ↘ 1 2e11由表知，当x?e时函数h(x)有最大值，且最大值为所以，k? 2e2eh(x) 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知lnx1lnx11-?(x?2) ?x42ex22ex2?ln2ln3lnn1111---?(---) 2e22322434n4n2111111------?(n?1)n2232n21?22?3111111?(1?)?(?)--?(?)?1-1 223n?1nnln2ln3lnn11111ln2ln3lnn1?4?4--?4?(2?2--?2)?即4?4--?4? 2e22e2e23n3n23n第 页 共 页。