量子力学第六章散射.doc

153第六章 散射6.1 两体碰撞和散射截面两个粒子的碰撞可以分为弹性散射，非弹性散射和反应三种类型如果两个粒子的内部状态在碰撞前后都保持不变，则称为弹性散射弹性散射也就是弹性碰撞，下面将只讨论弹性散射问题如果粒子的内部状态在碰撞后有变化（例如激发或电离） ，则称为非弹性散射如果碰撞后有新粒子出现，则称为反应非弹性散射与反应有时并不能严格区分开来单粒子的衰变也可属于反应粒子之间的碰撞与能级跃迁中的频谱（能谱）一样对许多实际问题的研究具有很重要的意义例如，贞瑟福（Rutherford）由对 X 粒子被原子散射的研究中发现原子中心有一个重核又如，电子与原子碰撞的夫兰克——赫兹（Franck-Herty）实验证明了原子中有定态两个粒子的碰撞可以在外场中进行，下面也只讨认没有外场的情况，这时，两个粒子体系的势能仅由相互作用能决定由§2.7“5”可知，两体问题可以化为一个具有折合质量为( )U r的粒子在一个固定于质心位置的势场中运动这个静止不动的质心位置被称为散射中心，( )U r也称为靶心这时，两个粒子的散射便化为粒子被势场的散射这个粒子的能量 E 是连续谱，在弹性散射中，能量 E 在散射过程中保持不变。

为了简单，设耙心质量比位于处的粒子质量大得多，r则这个具有折合质量的粒子便化为一个真实粒子，而相对运动能量 E 便化为这个真实粒子的能量考虑一束粒子沿 Z 轴正方向向散射中心 C 射束，如下图：在入射粒子未进入势场之前，即当入射粒子距离散射中心很远时，可近似地用平面波描写，所以穿过垂直于 Z 轴平面的射粒子是均匀分布的单位时间内穿过垂直于入射方向单位面积的粒子数 N 称为入射粒子流强度粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角称为散射角设以 C点为球心以 r 为半径的球面上的面积元 ds 对 C 点张开的立体角为 d，则单位时间内散射到 d内的粒子数 dn 应与 d成正比，也与 N 成正比：（6.1-1）( , )dnqNd 其中为比例系数通常是的函数，它的值与入射粒子的能量 E 以及势场( , )q ( , )q , 有关，但应与 N 无关因，则上式可化为：( )U r2dSdnr（6.1-2）2( , )dnq dsr 154上式中的与 N 应具有相同的量纲，所以具有面积的量纲称为微分dn ds( , )q ( , )q 散射截面进入立体角 d内的粒子数 dn 来自入射粒子流，如果取垂直入射粒子前进方向的面积dQ，使单位时间内穿过 dQ 的粒子数 NdQ 等于 dn，则（6.1-1）式化为：，即 （6.1-3）( , )dQq ( , )dQqd 由上式得：（6.1-4）200( , )( , )siQqdqm d d      Q 称为总散射截面。

上面关于微分散射截面和总散射截面的定义在量子力学中和在经典力学中都同样适用但量子力学中存在几率概念，每一个入射粒子都具有相同的被散射的几率经典力学中不存在几率概念，但可引入瞄准距离的概念，均匀分布的入射粒子在进入势场前都各有一条平行于 Z 轴的轨道，此轨道与 Z 轴之间的距离（也是与散射中心之间的距离）称为瞄准距离，记为 b当粒子被一个以 C 点为球心半径为 a 的刚性球散射时，只有 bU 区域内的解也称为振荡解，在 E0]，则在内波的振荡次数将减少，相当于若粒子主要受到势场Or0l的吸引[例如 U（r）a 时，U（r）等于零或可近似地视为零，则入射波仅在ra，则的第一个极大值位于势场作用范围之外，则对 l>ka 的各分波都有l k()lj kr0l所以计算相移时，只要从计算到就够了，即 l 的取值范围为：l0l lka:（6.2-lka20）将最近 ka 的整数记为[ka]，则（6.2-5）式、 （6.2-16）式以及（6.2-18）式中对 l 的求和上限便可改为[ka]，在中只保留 l=0 一项的条件是因，所以分波法比较l1ka 22 EKh适用于低能散射。

如果 E 较大而仍能算出各，则仍可以应用分波法来计算散射截面l计算相移时 l 的取值范围也可以从准经典估计中得到动量为 kh 的入射粒子的瞄准距离ba 时，记，则（6.2-3）式化为：，得：2 2( )( )( )o OOUrRrRrr2 202 0220d Uk Udr（6.3-0202( )sin()2oUrAkrEKh 3）当时，将与（6.2-6）式比较可知，上式中的就是 S 分波的相移对于球方r2( )oUr r0势阱，不可能为负值UO（r）在 r=a 点的连续性条件为：0（6.3-4）00sinsin()coscos()ooooBaAkaBaA kka 163由可得：22sin ()cos ()1ookaka（6.3-5）22001cosoAUaBE 上式是随 E 变化的关系式，有多个极值在（6.3-4）式中，B0与 A0有非零解的20oA B 20oA B 条件为：，得：00sinsin()0coscos()akaakka（6.3-6）0karctgtg aka当时，，则。

一般说来，若 U（r）处处有限，则当时，总有E  k00OE是 E 的函数，所以可记为，应是 E 的连续函数当 E0 时，K0，00Ol( )lE( )lE在上式中，若 K0a 不是的奇数倍，则当 K0 时，的值很小，则0 022 UKh2ktg a由得：00arctgxxxn （6.3-7）000 00010,1,2ktg akanann   通常所说的低能散射是指满足的散射，这时只要考虑 S 分波即可低能散射应包含1ka 的情况，但并不要求 E 一定要趋近于零，所以在考虑低能散射时，应由上式中的第一式0E 0表示若是的奇数倍，则在（6.3-6）式中，在时化为型，应0K a2 2kKtg actgxa0K 0 0用洛华达法则可得：（6.3-8）0 002kn 在（6.3-7）式与（6.3-8）式中尚有 n0未确定，若能作出曲线便应能确定 n0的值计0E算散射截面时与的取值无关1642、莱文森（Levinsen）定理简介当粒子在有心力场[势能为 U（r）]中运动时，莱文森定理为：（6.3-2 11( 1)(0)sin(0)2llln9）上式的证明从略[莱文森定理与§4.3“3”中所说的状态数守恒有关。

参看：倪光炯，高能物理与核物理 3，449（1979）]其中是角量子数为 l 时的束缚态能级数目，是时第ln(0)l0E l 个分波的相移可以证明（其证明从略） ，为有限值的条件为：ln（6.3-2 2 211( )( )()22lrrhU rV rlr 当足够小和足够大时都有:10）165当 l=0 时， （6.3-9）式化为：2 0011(0)sin( )2ono对于球方势阱，当 l=0 时，由求解束缚态的化径向方程可得：若，则无束缚态即2oK a，对应；若，则体系处在无束缚态与有一个束缚态边界点上，称为半束00n ( )0oo2oK a缚态，这时也有，但对应，若，则，对应；若00n ( )2oo03 22k a01n ( )oo，则也有，对应；……可见应用莱文森定理来确定的值，其物理03 2k a01n 3( )2oo0n意义更明显3、球方势垒对低能粒子的散射设球方势垒为：（6.3-0( )0oUraU rra11）上式相当于将（6.3-1）式中的 UO改为-U，对于 E≥Uo时的 S 分波，可以仿照上面对球方势阱的计算进行讨论， ，只要将球方势阱中的 Uo改为-Uo并注意到 E≥Uo即可。

对于低能散射，应考虑E0）的场散射时的微分散射截面；并根据( )r a oU rU e （6.4-23）式和（6.4-24）式估算玻恩近似的适用条件5、设粒子沿 Z 轴正方向入射，受到势能为（a>0）的场散射，试用玻2016( )5ar oU rUY e恩近似法求微分散射截面。