【教案】青理工高数同济第七章教案.docx

学习必备 欢迎下载7 3 齐次方程齐次方程假如一阶微分方程 dydxf 〔x, y〕中的函数 f〔x, y〕可写成y 的函数x即 f 〔x, y〕〔 y 〕 x就称这方程为 齐次方程以下方程哪些是齐次方程？〔1〕 xy yy2 x20 是齐次方程dy y dxy2 x2 xdy ydx x〔 y 〕2 1x〔2〕 1x2 y1 y2不是齐次方程dy 1 y2dx 1 x2〔3〕〔x2 y2〕dx xydy 0 是齐次方程dy x2 y2dx xydy x ydx y x〔4〕〔2x y 4〕dx 〔x y 1〕dy 0 不是齐次方程dy 2x y 4dx x y 1〔5〕 〔2xsh yx3ych y dx〕x3xch y dyx0 是齐次方程2 xsh ydy x3 ych yxdy 2 th y ydx 3xch y xdx 3 x x齐次方程的解法在齐次方程 dydx〔 y〕 x中 令 u yx即 y ux 有u x du dx〔u〕分别变量 得du dx〔u〕 u x两端积分 得du dx〔u〕 u x学习必备 欢迎下载求出积分后 再用y 代替 u 便得所给齐次方程的通解x例 1 解方程 y2x2 dydxxy dydxdy y2〔 y〕2x解 原方程可写成dx xy x2 y1x因此原方程是齐次方程 令 y ux就 y uxdy u dxx dudx于是原方程变为u x du u2即 x du udx u 1 dx u 1分别变量 得〔1 1 〕du dx u x两边积分 得 u ln|u| C ln|x| 或写成 ln|xu| u C以 y 代上式中的 u 便得所给方程的通解xln | y| y Cxy2 z22C〔 x C 〕2练习: P314 1 〔3〕作业: P314 1 〔2〕 2 〔2〕7.4 线性微分方程学习必备 欢迎下载一、 线性方程线性方程方程 dydxP〔 x〕 yQ〔 x〕 叫做一阶线性微分方程假如 Q〔x〕 0 就方程称为齐次线性方程 否就方程称为 非齐次线性方程方程 dydxP〔 x〕 y0 叫做对应于非齐次线性方程dy P〔x〕y dxQ〔x〕 的齐次线性方程以下方程各是什么类型方程？(1) 〔x2〕 dy y dy1 y 0是齐次线性方程dx dx x 2(2) 3x2 5x 5y 0 y 3x2 5x 是非齐次线性方程(3) y y cos x e sin x 是非齐次线性方程(4) dy 10x ydx不是线性方程(5) 〔 y1〕2 dydxx3 0dydx 〔 yx31〕20 或 dxdy〔 y 1〕2x3不是线性方程齐次线性方程的解法齐次线性方程 dydxP〔x〕y0 是变量可分别方程 分别变量后得dy P〔x〕dx y两边积分 得ln |y|P〔x〕dx C1或 y CeP〔x〕dx 〔CeC1 〕这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）例 1 求方程 〔x2〕 dydxy 的通解学习必备 欢迎下载解 这是齐次线性方程 分别变量得dy dxy x 2两边积分得 ln|y| ln|x 2| lnC方程的通解为 y C〔x 2〕非齐次线性方程的解法将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数 u〔x〕 把y u〔x〕eP〔x〕dx设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得u 〔x〕eP〔x〕dxu〔 x〕eP〔x〕dx P〔x〕P〔x〕u〔x〕eP〔x〕dxQ〔 x〕化简得u 〔x〕Q〔 x〕eP〔x〕dxu〔x〕Q〔x〕eP〔x〕dxdx C于是非齐次线性方程的通解为y e P〔x〕dx[Q〔x〕eP〔x〕dxdx C]或 y CeP〔x〕dxe P〔x〕dxQ〔x〕eP〔x〕dx dx非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和例 2 求方程 dy2 y 〔x51) 2 的通解dx x 1解法 1 这是一个非齐次线性方程学习必备 欢迎下载先求对应的齐次线性方程 dy 2y 0 的通解dx x 1分别变量得dy 2dxy x 1两边积分得 ln y 2ln 〔x 1〕 ln C齐次线性方程的通解为 y C〔x 1〕2用常数变易法 把 C 换成 u 即令 y u 〔x 1〕2 代入所给非齐次线性方程 得u 〔 x1〕22u 〔 x 1〕2 u 〔x x 11〕25〔 x 1〕 2u 〔x11〕 2两边积分 得u 2 〔x331〕 2 C再把上式代入 y u〔x 1〕2 中 即得所求方程的通解为y 〔x1〕 2[ 2 〔x331〕2 C]解法 2 这里P〔x〕2 Q〔x〕x 15〔x 1〕 2由于 P〔x〕dx〔 2 〕dxx 12ln〔 x 1〕P〔x〕dxee2ln〔 x 1〕〔x 1〕2Q〔 x〕eP〔 x〕dxdx5〔 x 1〕2 〔x1〕 2 dx1〔 x 1〕2 dx2 〔 x331〕 2所以通解为P〔x〕dxy e [Q〔x〕eP〔x〕dxdx C ]〔 x 1〕2[ 2 〔x331〕 2 C]学习必备 欢迎下载例 3 解方程dy 1dx x y解 如把所给方程变形为dx x y dy即为一阶线性方程 就按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程令 x y u 就原方程化为du 1 1dx u即 du u 1 dx u分别变量 得u du dx u 1两端积分得 u ln|u 1| x ln|C|以 u x y 代入上式 得y ln|x y 1| ln|C| 或 x Cey y 1练习: P320 1 〔2〕 2 〔3〕 7 〔1〕 〔2〕作业： P320 1 〔1〕 〔7〕 2 〔2〕7 5 可降阶的高阶微分方程一、y〔n〕 f 〔x〕型的微分方程解法 积分 n 次学习必备 欢迎下载y〔n 1〕f 〔x〕dx C1y〔n 2〕[ f 〔x〕dxC1]dx C22x例 1 求微分方程 y ecos x 的通解解 对所给方程接连积分三次 得y 1 e2x2y 1 e2 x4y 1 e2 x8sin xcosxsin xC1C1x 1C1x22C2C2x C3这就是所给方程的通解或 y 1 e2x 2y 1 e2 x4y 1 e2 x8sin xcosxsin x2C12C1xC1x2C2C2x C3这就是所给方程的通解二、y f〔x y 〕型的微分方程解法 设 y p 就方程化为 p f〔x p〕设 p f〔x p〕的通解为 p 〔x C1〕 就dydx 〔x,C1〕原方程的通解为y 〔x,C1〕dx C2学习必备 欢迎下载例 2 求微分方程 〔1 x2〕y 2xy 满意初始条件 y|x 0 1 y |x 0 3 的特解解 所给方程是 y f〔x y 〕 型的 设 y p 代入方程并分别变量后 有dp 2 x dx p 1 x2两边积分 得 ln|p| ln〔1 x2〕 C即 p y C1〔1 x2〕 〔C1 eC〕由条件 y |x 0 3 得 C1 3 所以 y 3〔1 x2〕两边再积分 得 y x3 3x C2又由条件 y|x 0 1 得 C2 1于是所求的特解为 y x3 3x 1例 3 设有一匀称、松软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平稳状态时是怎样的曲线 .三、y f〔y y 〕型的微分方程解法 设 y p 有y dp dxdp dydy dxp dpdy原方程化为p dpdyf 〔 y, p〕设方程p dpdyf 〔 y, p〕 的通解为 y p 〔y C1〕 就原方程的通解为dy〔y,C1〕x C2。