完全平方公式和平方差公式专项训练.docx

a + b)2 = a 2 + 2ab + b2(a 一 b)2 = a2 - 2ab + b2bjAaV«— a—*―*bJaf —*—b^a完全平方公式与平方差公式专项训练一、基本概念:1•平方差公式：(a + b)(a - b) = a2 一 b2. 完全平方公式:3. 完全平方公式重要变形：a2 + b2 = (a + b)2 一 2aba2 + b2 = (a 一 b)2 + 2ab(a + b)2 = (a - b) + 4abab = 1 [(a + b)2 - (a - b)2 ]4注：将a+b、a-b、ab看做整体进行变形，巧解问题4. 配方法：逆用完全平方公式，化为完全平方式；关键点：寻找a2、2ab、b2这三项中部分项；增添项：增添某些项，使之凑成完全平方；中间项注意考虑多解.二、强化练习:1.下列多项式中可以用完全平方公式计算的是()C. (-a - 2b)(-2b + a)D. (a - 2b)(2b - a)A. (a - 2b)(2a - b)B ・(a — 2b)(-2b — a)2.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()A. m2 - m + —4B. a 2 + b2C. a2 - 2ab-b2D. —25 + a23.已矢口 a2 - 4a + b2 - 2b + 5 = 0，求 a, b 的值.4.用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）.(1) 102 x 98 ；(2) 992 ；(3) 100.22 ；(4) 992 +199 ；(5) (5-a)2 ；(6) (-3m + 4n)(3m-4n)；(7) (a-b + 2c)(a + b-2c)；(8) (a + 2b-3c)2.(9) -(-2a + 3b)(4a-6b)；(10) (2 m + 1)(2m - 1)(4m2 +1)=.5.小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结 果变为4a2 - 12ab +（ ），你觉得这一项应是 .6•材料：一般地，对于任意的a、b由多项式的乘法法则可以得到(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2即“完全平方公式”；又比如：(a 一 b)2 = [a + (—b)]2 = a2 + 2a(—b) + b2 = a2 一 2ab + b2 计算：(1)小聪在进行整式乘法练习时，发现了如下的立方和公式：(a + b)(a2 -ab + b2) = a3 + b3① 利用乘法法则，帮小聪写出立方和公式的推演过程；② 根据因式分解与整式乘法之间的互逆关系，写出因式分解的立方和公式： (2)请模仿材料中的“转换”方法，分解因式：a3 -8 .7.数形结合是一种重要的数学思想，借助这种方法我们可以将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，初中数学里的代数公式，有很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行推导和验证，例如完全平方公式.下面我们进行类似的探究： 鼻 (1) 如图，是用4个全等的长方形拼出的“回”字图案，将图形中的阴影部分的面积用两种方法表示，可以得 遠到一个等式，这个等式为 ;(2) 若(3x-2y)2 = 5， (3x + 2y)2 = 9，利用上面的结论求xy的值. 仪9.利用完全平方公式，可以将多项式ax2 + bx + c(a丰0)变形为a(x + m) + n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项ax2 + bx + c式的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式.例如:x 2 + 11x + 24 = x 2 + 11x + (11)2-(耳)2 + 24 = (x +11)2^2 ^2 ^2根据以上材料，解答下列问题:(1) 用配方法将多项式x2 -3x-10化成(x + m)2 + n的形式；(2) 用配方法及平方差公式对多项式x2 -3x-10进行分解因式；(3) 求证：不论x，y取任何实数，多项式x2 + y2 -2x-4y +16的值总为正数.8.如果x2 + 2(k -3)x +1是一个用完全平方公式得到的结果，则k的值是.10. 若三项式4a2 -2a +1加上一个单项式后能用完全平方公式分解因式，请写出所有满足题意的单项式11. 图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.ill(1) 你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 .(2) 请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.① ;② .(3) 观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？(m + n)2， (m 一 n)2， mn .(4) 运用你所得到的公式，计算若mn = -2， m-n = 4，求(m + n)2的值.(5) 求代数式x2 + 2x + y2 -4y + 7的最小值.12. 请你计算：(1-x)(1+ x)，(1 -x)(1+ x + x2)，…，猜想(1-x)(1 + x + x2 + ・・・ + xn)的结果是 13 .已知 a + b = 3， a -b = 一1，求：(1) a2 - b2 的值；(2) ab 的值.14. (1)填空：(a - b)(a + b) = ；(a - b)(a2 + ab + b2) = ；(a - b)(a3 + a2b + ab2 + b3)= .(2) 猜想：(a -b)(an-1 + an-2b + ••• + abn-2 + bn-1) = .(其中 n 为正整数，且 n三2).(3) 利用(2)猜想的结论计算：29 -28 + 27 -・・・+ 23 -22 + 2 .15•观察下列各式及其展开式：(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2(a + b)3 = a3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3(a + b)4 = a 4 + 4a3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b 4(a + b)5 = a5 + 5a 4b + 10a 3b 2 + 10a 2b3 + 5ab4 + b5请你猜想(a + b)10的展开式第三项的系数是.16. 若a - b = 1，则代数式a2 - b2 - 2b的值为 .17. 有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b (b>a)的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片,从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无 空隙、无重叠拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为 .18. 算式999032 + 888052 + 777072之值的十位数字为 .19.a b定义ab为二阶行列式. c d规定它的运算法则为=ad -bc .那么当x = 1时，二阶行列式值为 .20.填空： x2 +10x + = (x + )2.1 1 321.已知a>b，如果一+ - = 一，ab = 2，那么a 一b的值为 a b 222 .填空：(-2a2 一 5b)( ) = 4a4 一 25b2 ； (x - y + z)( ) = z2 - (x 一 y)2.23 •解方程：(x + 6)( x - 6) - x( x - 9) = 024.先化简，再求值：(2x- y)(y + 2x) -(2y + x)(2y -x)，其中 x = 1, y = 2 .25. 观察下列算式：39x41 = 402 -12，48x52 = 502 -22，65x75 = 702 -52，83x97 = 902 -7 …，请你把发现的规律用字母表示出来 .(给定字母m，n)26. 化简：(4 +1)(42 +1)(44 +1)(48 +1) + 3 .27. 如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是 .28. 如果对于不V8的自然数n,当3n +1是一个完全平方数时，n +1能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为 .29. 由 m(a + b + c) = ma + mb + mc，可得：(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 = a3 + b3，即 (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 …①我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式.下列应用这个立方和公式进行的变形不正确的是( )A. (x + 4y)(x2 -4xy +16y2) = x3 + 64y3B. (2x + y)(4x2 -2xy + y2) = 8x3 + y3C. (a + 1)(a2 + a +1) = a3 +1。