微积分B知识点.docx

微积分 B 2 复习要点一题型1. 填空题（3 X7=21分）；2. 单项选择题（3 X6=18分）;3. 计算题（51分）；4. 解答题（10分）二知识点第七章向量代数与空间解析几何空间曲面的方程（平面、球面、柱面、旋转曲面）例 求球心为点Mo （xo, yo, zo），半径为R的球面方程例 平面直角坐标系中 x2+z2=4的图形是 圆 ，空间直角坐标系中 x2+z2=4的图形是 圆柱面 例 XOZ面上x2 z^ 4绕x轴旋转一周后的旋转体方程为 第八章多元函数微分学1. 二元函数的定义域;例1求函数z = ,4- 4x2- y2的定义域D .解 要使z = ,4- 4x2 - y2有意义,应有4- 4x2- y2 ? 0 ,例2求z = ln(x - y)的定义域D .解要使z = In(x- y)有意义,应有x- y > 0,故 D = {(x,y) x- y > 0}.例3求函数z = 4- x2- y2 +,x2+y2- 1的定义域D解要使 z = 4- x2- y2 + 有意义,x2+y2- 1应有箕 x2；y2?0，即 1 0x2 + y2 ? 4,故 D = {(x,y)1 < x2 + y2 ? 4}2. 二元函数的极限的计算;定义 如果对于任意给定的正数；，总存在一个正数：，使得当0 < P = J( X - Xo )2 + (y - yo )2 "时，f (x, y) - Au 恒成立，则称当(x, y)趋于(x。

y)时，函数f (x, y)以A为极限记作lim(x, y)—(x)limo f (x, y) = A1例求(x,0,0)(x2 y2)sin1解 当 xt 0, y t 0 时 x2 + y2 t 0， sin 2 - 1x + y由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以3. 多元函数偏导数计算;(1) 一阶偏导数的计算;(2) 全微分的计算;概念：函数z = f (x, y)的全微分为dz dx dy dx dy例求函数z = x2y2 -3x 5y的全微分.解 因为 —=2xy2 -3,— =2x2y 5,dx cy所以 dz =(2xy2 -3)dx (2x2y 5)dy .(3) 多元复合函数的偏导数的计算;概念：设 z = f (u,v), u = (x, y),v =■'/ (x, y)，若 u = ：(x, y),v (x, y)在点(x, y)处偏导数存在，而Z = f(u,v)在对应点(u,v)处可微，则复合函数z= f (：:(x, y),'-： (x, y))在点'z ；:z ，求一，—.fex 列(x, y)处可导，且已知 z =15「3u2 v2,u 二xcosy, v 二 y cosx解由链式法则有L、、 L\ .L. L\ .;z ； z : u : z : v 2 26u cosy 2v (- ysin x) - -6xcos y - y sin 2x . .x ；:u ；x ；:v ；:x用同样的方法，可得- = 3x2 sin 2y + 2ycos2 x(4) 隐函数的偏导数的计算；例：设z =z(x,y)是由方程x y z = ez确定的隐函数，试求 兰二. ex cy(5)抽象函数求导例 求复合函数z二f (xyM)的一阶偏导数—和二。

x ox cy解令u = xy,v ='，贝U z = f( xy,‘ )变为z = f ( u, v)， u = xy,v ='复合而成的复合函x x x练习：设z=f(2x—y,ys in x) , f具有一阶连续偏导数，求 —,— ex £y6.可微、偏导、连续的关系；7.多元函数极值的计算概念：设函数z二f(x,y)在点Po(xo,yo)的某邻域内有定义，若对于该邻域内异于Po的点P x, y ,有 f(X, y) :： f (Xo,y°)(或 f(x,y) f (x°, y))，则称 f (x°, y°)为函数 f (x, y)的一 个极大值(或极小值).4 4 2 c 2例；求函数z = x y - x -2xy-y的极值3jzx =4x _2x _2y = 03解：解 py =4y -2x-2y=0，得(x, y) =±(1,1),(0,0 )2 2而 Zxx - 12x -2, Zxy =-2,Zyy =12y -22 2对(x, y)=±(1,1)， Zxx=12x -2=10,Zxy =-2,zyy =12y -2=10知(x, y)二(1,1)为极小值点且极小值为-2。

第九章二重积分1. 二重积分的计算(直角坐标,极坐标)；例(1) .1.1〔X • 6y d匚，其中 D 由 y =x, y =2x, x =1 所围成D1(2) 求i ixydjD是由直线y二-x • 3与曲线y二—x2 -1所围成D 2(3) 计算I ： 11 xydxdy，其中D由曲线x =y2及x2 =6 -5y所围成.D解画出积分区域D的图形. 积分区域D的不等式组表示为D : y2 W x W ..孑6 ~5y， ―2 W y W 1，M-5y 1 1 4所以 1 Sdy y2 xydx=2 J(6_5y-y )dy=1 3y^|y2 i 31 27「2 41-2(4) 口(2x + y：db D:x2+y2 兰4D⑸ I l Ux2 y2)5d二 D：1 二x2 y2 二 4D2. 交换积分次序；e In x例 交换二重积分i dx 0 f (x, y) dy的积分次序解：由二次积分的上、下限知积分 D的图形是y=0与y二In x在［1, e］之间的部分，贝 U D : 1_x_e, 0_y - In x若先对y后对x积分，此时积分区域可表示为、 r e In x 1 e因此，我们可以交换积分次序 .dxJo f (x, y)dy二「dy [y f (x, y) dx1 4例(1)(』dyjy2 f (x, y)dx1 x 2 2 _x(2) 0dx0f(x,y)dy+ 1 dx 0 f(x,y)dy3. 二重积分的性质与应用。

例设D由y=2,y-x = 0,yJ所围成，求平面图形D的面积x第十章微分方程与差分方程1. 微分方程的相关概念；2. 一阶线性微分方程的通解和特解的计算;方程(1)P x y =Q x dy称为一阶线性微分方程（注意其特点为它对于未知函数y及其导数dx曰一是dy次方程）当x =0时，方程（1）为齐次的，当Q x不恒等于零时，方程（1）为非齐次的.乎 Pxy=O dy称为方程（1）对应的齐次方程，它是可分离变量型y^-Pxdx QxePxdxdx C .例求方程dy =空 x 1 2的通解dx x +11 5分析（常数变易法）这是P X二-丄 Q x 1 2的一阶非齐次线性方程.它有两种解法：常数变易法与公式法解法一（常数变易法）先求对应齐次方程的通解.dy 2 dxx 1y，Zdx,x 1In ydy =dx用常数变易法，把c换成u，即令' 2u(x + 1) + 2u(x + 1),代入所给非齐次方程，有u= x 1 2dx = 2 x 1 2 C,3于是2 3y=x1 x 1 2 C ,，其中解法二（公式法）直接由y二「pxdx Q x e pxdxdx C2.二阶常系数齐次线性微分方程的通解和特解的计算。

二阶常系数齐次线性微分方程求通解，特解概念：若 d-y P（x）dy Q（x）y =0dx dx中P（x）,Q（x）为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程解题步骤：（1） 写出微分方程对应的特征方程r2 • pr • q = 0 ,并求解出特征根r1, r2（2） 根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程的通解:特征方程r2 +pr +q =0的两个根”,r2微分方程y" + py+qy=0的通解两个不相等的实根At两个相等的实根「1上 一对共轭复根g =a ±i 0（3） 将初始条件代入（2）中的通解中求解出通解中的C1,C2（4） 将Cl，C2代入到通解里去，得到题目要求的特解例题：求微分方程y：2y'-3y=0满足初始条件 儿鈣°，y'|x鈣4的特解2解：所给微分方程的特征方程为r -2「-3 = 0 其根ri二一1』2二3是两个不相等的实根，因此所求通解为 厂C2貫 （i）从而 y' - -Ge」3C2e3x （2）将初始条件 y|x£ = 0，y'|x=0 = 4代入（1）、（ 2）得：0 C2，4 = -C1 3C2从而 G = _1,C2 =1所以，原微分方程的特解为y = -e瘁・e3x2例题：求方程汁罟亠0满足初始条件：s「r-「2的特解t =0解 对于求满足初始条件的特解的这类方程，应先求出原方程的通解 ，然后再求特解:原方程对应的特征方程为：r2 2r ^0.即(r・1)2=0.口 = a =-1.； go为重根.• s = (s • C2t)e」(1)再对(1)的两边关于t求导:竺rc2e' (c1 -总)(-12」、=(c2 -c2t)e」(2)dtt zQ=4代入(1)的& =4把=—27 代入⑵得，c2=4=2.s = (4 • 2t)e丄为所求.4 一 20―0 =1_2i为一对共轭复2例题： 求微分方程：y”-2y：5y=0通解.解 所给方程的特征方程为：r2 — 2r +5 = 0£,2根..y 二 ex(& cos2x c2sin 2x).(这里：=1, ： = 2)3.可降阶的二阶微分方程的通解与特解的计算类型 1: yJf(x, y)令y'p,贝U y = p，于是可将其化成一阶微分方程。

特点含有y'', y',x，不含yx=0=3的特解例 求微分方程(1+ x2)y"二2xy'满足初始条件y|x=o= 1, y解 所给方程是y''二f(x,y')型的设y = p，代入方程并分离变量后，有坐一 2x dxp 1 + x两端积分，得In | p|= ln (1+ x2)+ C，' 2 Cp = y = G(1+x) (Ci = ? e )又由条件y x=0= 3，得C2= i,于是所求得特解为 y二x3 + 3x+ 1 o类型 2： y#f（y, y）令八p,则 y =坐二空巴十空, dx dy dx dy于是可将其化为一阶微分方程特点不显含x例 解微分方程y" = 2y3满足初始条件yx/ = 1，y x^ = 1的特解解令y、P（y），将y、p些代入原方程中得dy分离变量并积分得 p?二y4 - Cidy dTy由初始条件yx^=i，7x^=1，得g=o,所以P2 = y4则 p = y2 （因y x才1 • 0,所以取正号），即分离变量并积分得 = X • 。