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实验八 落球法测定液体的粘滞系数液体（或气体）粘滞系数是表征液体性质的一个物理量，是流体力学中经常接触的问题之一 在航空航天，船舶研究，水利水力等学科中很有意义粘滞系数的测定方法有多种，现仅介绍其 中的一种一落球法这是根据Stokes定律和方法设计的实验，Stokes是英国著名的物理学家和数学家实验方 法简单、直观，物理思想清晰明了，在误差处理上应用了合理的数学修正和推理希望本实验能 对学生们有所启发，实验不在形式的复杂和仪器的排场，而在于它的物理意义和实验思想实验目的1. 学习用落球法测定液体的粘滞系数2. 了解Stokes公式的应用条件，雷诺数及修正实验仪器量筒、直径2.0mm和1.5mm的小钢球、螺旋测微器、秒表、温度计和待测液体（蓖麻油） 等，实验装置如图1所示实验原理1. Stokes公式的简单介绍一个在静止液体中缓慢下落的小球受到三个力的作用：重 力、浮力和粘滞阻力的作用粘滞阻力是液体密度、温度和运 动状态的函数如果小球在液体中下落时的速度很小，球的半 径也很小，且液体可以看成在各方向上都是无限广阔的，则从 流体力学的基本方程出发导出著名的Stokes公式：f = 6切 vr （ 1 ）式中f是小球所受到的粘滞阻力，v是小球的下落速度，r是小球的半径，耳是液体的粘滞系数，它的单 位是泊[p]=[0.1牛顿•秒/米习。

Stokes公式是由粘滞液体的普 遍运动方程导出的，是在“小球在液体中下落速度很小，球的 半径也很小和液体可以看成在各方向上无限广阔”三个假定条 件下得到的那么，在实验上这些条件如何体现呢？ Stokes公 式应作如何修正呢？ 2、奥西恩-果尔斯公式小球在液体中下落，速度很小，球的半径也很小，可以归结为雷诺数R很小，即:e(2)2rvp ©n式中p为液体的密度当液体相对于小球处于层流运动状态时，解方程过程中可略去R的非线0 e性项如果考虑R的非线性项，Stokes公式修正为奥西恩-果尔斯公式：e(3)f 二 vr(1 + — R —-19 R 2 + )16 e 1080 e式中3R /16项和19R 2/1080项可以看作Stokes公式的第一和第二修正项如R =0.1，则零级解e e e（即1式）与一级解（即3式中取一级修正）相差约2%，二级修正项〜2X10-4，可略去不计； 如R=0.5，则零级解与一级解相差约10%，二级修正项〜0.5%仍可略去不计；但当R=1时，则 e e二级修正项〜2%，随着R的增大，高次修正项的影响也变大e3、容器壁的影响在一般情况下，小球在容器半径R,液体的高度为h的液体内下落，则液体在各方向上都是 无限广阔的这一假设条件是不能成立的，因此，必须考虑容器壁的影响，则式（3）变为f 二vr(1 + 2.4 r)(1 + 3.3r)(1 + 3 3 R — 19 R2 +)R h 16 e 1080 e式（4）等号右边含R和h的二项即反映了这一修正4. n的表示前面我们讨论了粘滞阻力f与小球的速度、几何尺寸、液体的密度、雷诺数、粘滞系数等 参量之间的关系，但在一般情况下粘滞阻力f是很难测定的。

因此，还是很难得到粘滞系数n这里，我们考虑这么一种情况：小球在液体中下落时，重力、浮力和粘滞阻力都在铅直方向上，重力方向向下，而浮力和粘 滞阻力向上，阻力随着小球的速度增加而增加显然，小球从静止开始作加速运动，当小球的下 落速度达到一定大小时，这三个力的合力等于零然后，小球以匀速下落则由式（4）得：4 r r 3 193呵3(p — p0)g二6Knvr(1+24R)(1+33h)(1+316R—閘R； +…)式中p是小球的密度，g为重力加速度，由式（5）得:n — 2 (P-P )gr2n — o—9 r r 3 199 v(1 + 2.4 )(1 + 3.3 )(1 + R - R2 + …)R h 16 e 1080 e—1 (P-P )gd2— o18 v(1 + 2.4 d )(1 + 3.3 d )(1 + 3 R - 19 R2 + 2R 2h 16 e 1080 e…)式中d是小球的直径由上面2的讨论，我们得到以下三种情况：1）当R〈0.1时，可以取零级解，则（6）式就成为:e_ 1 (p-p )gd2— o 18 v(1+2•煌)(1+3埸)(7)2）0.1〈R〈0.5时，可以取一级近似解，式（6）就成为:en，(1 + 169 —18 v(1 + 2：d：(： 3.3 d )2 R 2h它可以表示成零级近似解的函数:n —n - dvp13）R >0.5 时，e■0 16 0还必须考虑二级修正，则式（6）的n变成:(8)(1 + 命巴-蟲 AO — V(1 + IT )(tid)2 R 2h19 /dvp 、1 + '1 + ( 0)2270 n* 1在实验完成后，实验报告中作数据处理时，必须对R进行计算。

确定它的范围后，进行相e应修正，得到符合实验要求的粘滞系数值实验内容1•图1的N1和N2之间设为匀速下降区，测出其长度L2.用相应的仪器测出R和h （至少各测量三次并求平均值）及液体的温度T,温度T应取实 验开始时的温度和实验结束时的温度的平均值3. 用镊子将小球置于量筒中央，尽量接近液面处后放开小球使其下落，测出小球通过匀速 下降区L的时间t重复6次，每次间隔5分钟以上4. 应用式（7）计算n 05. 根据公式（2）计算雷诺数Re，并根据雷诺数的大小，参照公式（8）或（9）进行相应 的修正6. 将实验结果与附录的“蓖麻油粘滞系数和温度关系曲线图”作比较数据记录1. 匀速下降区L = m; 圆筒的内径 R = cm.液体的高度h = m.2•小球下落的速度VT 前= l C； T 后二 1C； T 平均二 C ；d = mm测量次序123456平均值t](s)V (m/s)注：钢球密度：7.9X103Kg/m3 蓖麻油密度：0.96xl03Kg/m3思考题1•根据实际情况分析实验中引起测量误差的主要因素是什么？2. 说明雷诺数的物理意义附录e /°c302520151050。