高中数学概念及性质问题汇总(详细解析)新人教A版.pdf

高中数学概念及性质问题汇总（详细解析）新人教A 版 - 1 - / 12 概念及性质问题汇总 例1、 根据下列条件，求双曲线方程 （ 1）与双曲线1 16 y 9 x 22 有共同渐近线，且过点（-3，32） ； （ 2）与双曲线1 4 y 16 x 22 有公共焦点，且过点（23，2） 分析： 法一： （1）双曲线1 16 y 9 x 22 的渐近线为x 3 4 y 令 x=-3 ，y=4，因432，故点（ -3 ，32）在射线x 3 4 y（x 0）及 x 轴负半轴 之间， 双曲线焦点在x 轴上 设双曲线方程为1 b y a x 2 2 2 2 ， （a0，b0） 1 b )32( a )3( 3 4 a b 2 2 2 2 解之得： 4b 4 9 a 2 2 双曲线方程为1 4 y 4 9 x 22 （ 2）设双曲线方程为1 b y a x 2 2 2 2 （a0， b0） 则 1 b 2 a )23( 20ba 2 2 2 2 22 解之得： 8b 12a 2 2 双曲线方程为1 8 y 12 x 22 法二： （1）设双曲线方程为 16 y 9 x 22 （ 0） 16 )32( 9 )3( 22 高中数学概念及性质问题汇总（详细解析）新人教A 版 - 2 - / 12 4 1 双曲线方程为1 4 y 4 9 x 22 （ 3）设双曲线方程为1 k4 y k16 x 22 0k4 0k16 1 k4 2 k16 )23( 22 解之得： k=4 双曲线方程为1 8 y 12 x 22 评注：与双曲线1 b y a x 2 2 2 2 共渐近线的双曲线方程为 2 2 2 2 b y a x （ 0） ，当 0 时， 焦点在 x 轴上；当 0，b2-k0 ） 。

比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解 题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想 例 2、设 F1、F2为椭圆1 4 y 9 x 22 的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个 直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2| ，求 |PF| |PF| 2 1 的值 解题思路分析： 当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义 法一：当 PF2F1=90 0 时，由 5c )c2(|PF||PF| 6|PF||PF| 2 22 2 2 1 21 得： 3 14 |PF|1， 3 4 |PF|2 2 7 |PF| |PF| 2 1 当 F1PF2=90 0 时，同理求得 |PF1|=4 ， |PF2|=2 2 |PF| |PF| 2 1 法二：当 PF2F1=90 0， 5x P 3 4 y P 高中数学概念及性质问题汇总（详细解析）新人教A 版 - 3 - / 12 P（ 3 4 ,5） 又 F2（5 ， 0） |PF2|= 3 4 |PF1|=2a-|PF2|= 3 14 当 F1PF2=90 0，由 1 4 y 9 x )5(yx 22 222 得： P （5 5 4 ,5 5 3 ） 。

下略 评注：由 |PF1||PF2| 的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论 例 3、设点 P到 M （-1 ，0） ，N（1，0）的距离之差为2m ，到 x 轴、 y 轴的距离之比为2， 求 m取值范围 分析： 根据题意，从点P的轨迹着手 ||PM|-|PN||=2m 点 P轨迹为双曲线，方程为1 m1 y m x 2 2 2 2 （|m|m ，x 2m2 2 2 22 m m51 )m1(m 又 0

下略 评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点” ）转化为关于 参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步 例 5、A、B是抛物线y 2=2px（p0）上的两点，且 OA OB ， （ 1）求 A、 B两点的横坐标之积和纵坐标之积； （ 2）求证：直线AB过定点； （ 3）求弦 AB中点 P的轨迹方程； （ 4）求 AOB面积的最小值； （ 5）O在 AB上的射影M轨迹方程 分析： 设 A（x1,y1） ，B（x2,y2） ，中点 P（x0,y0） （ 1） 2 2 OB 1 1 OA x y k, x y k OAOB kOAkOB=-1 x1x2+y1y2=0 y1 2=2px 1，y2 2=2px 2 0yy p2 y p2 y 21 2 2 2 1 y10， y20 y1y2=-4p 2 x1x2=4p 2 （ 2） y1 2=2px 1，y2 2=2px 2 （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) 2121 21 yy p2 xx yy 21 AB yy p2 k 直线 AB：)xx( yy p2 yy 1 21 1 高中数学概念及性质问题汇总（详细解析）新人教A 版 - 6 - / 12 21 1 1 21 yy px2 y yy px2 y 21 211 2 1 21 yy yypx2y yy px2 y 2 211 2 1 p4yy,px2y 21 2 21 yy p4 yy px2 y )p2x( yy p2 y 21 AB 过定点（ 2p，0） ，设 M （2p，0） （ 3）设 OA y=kx，代入 y 2=2px 得： x=0，x= 2 k p2 A（ k p2 , k p2 2 ） 同理，以 k 1 代 k 得 B（2pk 2，-2pk ） )k k 1 (Py ) k 1 k(px 0 2 2 0 2) k k k 1 ( k 1 k 2 2 2 2) p y ( p x 200 即 y0 2=px 0-2p 2 中点 M轨迹方程y 2=px-2p2 （ 4）|)y||y(|p|)y||y(||OM| 2 1 SSS 2121BOMAOMAOB 2 21 p4|yy|p2 当且仅当 |y1|=|y 2|=2p 时，等号成立 评注：充分利用（1）的结论。

（ 5）法一：设H（x3,y3） ，则 3 3 OH x y k 3 3 AB y x k AB：)xx( y x yy 3 3 3 3 高中数学概念及性质问题汇总（详细解析）新人教A 版 - 7 - / 12 即 33 3 3 x)yy( x y x代入 y 2 =2p得0px2 x p2 y x py2 y 3 3 2 3 3 32 由（ 1）知， y1y2=-4p 2 2 3 3 2 3 p4px2 x py2 整理得： x3 2+y 3 2-2px 3=0 点 H轨迹方程为x 2+y2-4x=0 （去掉（ 0， 0） ） 法二：OHM=90 0，又由（ 2）知 OM 为定线段 H 在以 OM 为直径的圆上 点 H轨迹方程为 (x-p) 2+y2=p2，去掉（ 0，0） 例 6、设双曲线1 2 y x 2 2 上两点 A、B，AB中点 M （ 1，2） （ 1）求直线AB方程； （ 2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为 什么？ 分析： （ 1）法一：显然AB斜率存在 设 AB：y-2=k(x-1) 由 1 2 y x k2kxy 2 2 得： (2-k 2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 当 0 时，设 A（x1,y1） ，B（x2,y2） 则 2 21 k2 )k2(k 2 xx k=1 ，满足 0 直线 AB：y=x+1 法二：设A（x1,y1） ，B（x2,y2） 则 1 2 y x 1 2 y x 2 22 2 2 1 2 1 两式相减得： (x1-x2)(x1+x2)= 2 1 (y1-y2)(y1+y2) x1x2 21 21 21 21 yy )xx(2 xx yy 1 2 12 kAB 高中数学概念及性质问题汇总（详细解析）新人教A 版 - 8 - / 12 AB：y=x+1 代入1 2 y x 2 2 得： 0 评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处 理。

在利用点差法时，必须检验条件0 是否成立 （ 2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足 所有条件 本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心 设 A、B、C、D共圆于 OM ，因 AB为弦，故M在 AB垂直平分线即CD上；又 CD为弦，故 圆心 M为 CD中点因此只需证CD中点 M满足 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 由 1 2 y x 1xy 2 2 得： A（-1 ，0） ，B（3，4） 又 CD方程： y=-x+3 由 1 2 y x 3xy 2 2 得： x 2+6x-11=0 设 C（x3,y3） ，D（x4,y4） ，CD中点 M （x0,y0） 则63xy, 3 2 xx x00 43 0 M（-3 ，6） |MC|=|MD|= 2 1 |CD|=102 又|MA|=|MB|=102 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| A、B、C、D在以 CD中点， M （-3 ，6）为圆心，102为半径的圆上 例 1： （08 湖南）若双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上横坐标为 3 2 a 的点到右焦点的距离大于 它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) 解析由题意可知 22 33 ()() 22 aa aea cc 即 331 1 22 e e 解得2e故选 B.。