利润问题突破要领示例.doc

中考利润问题突破之要领示例（一） 重庆市渝中区第57中学 刘晓丰运用数学知识解决现实中的实际问题，是我们学数学的重要目的之一，因此中考常把“问题解决”的应用题作为选拔性试题来呈现从近几年的中考题来看，应用题取材更加广泛，题目编拟得新颖而富有生活气息，诸如当今最流行的市场决策、经济核算、最大利润、国情国策、环保生态等呈现鲜活状态的实际生产生活问题解答这些背景贴近实际生活的应用题的障碍主要表现为：㈠因为文字叙述长而产生烦躁、出现不知所措的惧怕心理；㈡不能筛选出有数学语言特征的信息，造成审题困难，㈢不能分析出数学语言之间的联系和数量关系，造成语言转化障碍，㈣没有明确的数学活动过程和数学思考，不能建立恰当的数学模型由于篇幅所限，仅以有代表性的典型应用题——“销售价、销售量都有变化的利润问题”，谈建立 “模型”的数学活动过程，以及在建模时分析有关量和有关数量关系的数学思考流程由于篇幅所限，仅以有代表性的典型应用题——“销售价、销售量都有变化的利润问题”，谈建立 “模型”的数学活动过程，以及在建模时分析有关量和有关数量关系的数学思考流程解应用问题的主要数学活动过程和数学思考是：根据对问题的本质理解，确定选用问题中自然存在的有价值的关系式。

确定关系式后，再紧紧围绕关系式，设法寻找关系式中的每个量（以下简称“目标量”）即在收集和分析目标量的相关信息中，根据需要设未知数和列出目标量的代数式这样，在分析问题时就可以在目标量的指引下有目的地逐个攻克各个量，从而使问题得以迅速解决即：Ⅰ、确定关系式和模型类型，并用之于去列代数式或者方程①我们常常选用关系式有;1) 当成本支出的有些费用不是以每件为单位在叙述时选用：每件销售利润＝销售价－成本价；每件成本价=成本+…+成本；总利润=（销售价－进价）×销售量－其它成本支出费用2) 当成本支出的所有费用都是以每件为单位在叙述时选用：每件成本价=成本+…+成本；总利润=（每件销售价－每件成本价）×销售量.②价、量都在变化的销价差问题，主要有二次函数型和方程型两种类型1) 在求有关“价”的变量x定为多少时,有最大利润y的问题时, 是函数模型，常结合x的取值范围和二次函数顶点得到y的最大值2) 在求利润要达到某个具体的值；利润保持不变；获利相同等利润为特定情况时，可通过令y=利润的特定情况值，列出方程求解Ⅱ、逐个攻克目标量在关系式“目标量”的指引下，有目的地耐心仔细逐个攻克目标量可按下列流程进行分析和思考：①判断单价、销售量变化的类型是“增减变化型”问题，还是“比例增减型”问题（重要）1） 当涉及单价、销售量变化的术语、词汇的含义中，没有单价改变为个具体的数值，随之销售量也同时变为某个具体数值的变化情况，简称为“增减变化型”问题。

此时，处理方法：分别弄清单价和销售量该量变化的基础数量；直接增减多少的变化数量和间接增减多少的变化数量，并列“增减变化型”表分析思考，以便于列出相关的代数式增减变化型”甲量乙量变化基础量A(进价、成本价，销售价)B（购进量、生产量、销售量）间接变化量增减a%增减b%直接变化量增减m增减n增减变化后的量A(1± a%)±mB(1± b%)±n其他成本支出费用2）当题目叙述单价改变为某个具体的数值，随之销售量也同时变为某个具体数值的变化情况，简称为“比例增减型”问题此时，处理方法：将题目中叙述的“单价” 随“销售量”的变化信息转变成在“单价”变化“单位1” 状态时“销售量”是怎样变化的，简称“标准变化情况”再结合单价的实际变化量和比例变化后的量得到相应销售量的实际变化量和比例变化后的量，并列“比例增减型”变化表分析思考，以便于列出相关的代数式为清晰数学活动过程，选择相应的分析表进行思考分析时要耐心致细，这是解题的关键点和难点其分析思考流程是：变化基础量→标准变化情况→变化量→变化后的量④分析思考问题中的其他成本支出费用⑤列二次函数或者方程求解对计算要耐心仔细，充满信心要判断是否分类或者分段讨论。

综上所述，解应用题要做到五会：㈠会阅读：①读大概，读出关系式和模型；②细读，读出变化的状态或特征，读出总量、分量和分类情况；③耐心读, 读出限制和隐含条件，读出代数式㈡会思考：①大致方向；②局部关系；③逐量分析；④列表分析㈢会讨论：①分类；②分段；③分个量；㈣会列式：①判断变化信息属性；②分析线路：变化基础量→标准变化情况→变化量→变化后的量；③用三量的联系式转化；④其他成本支出费用㈤会计算：①耐心；②仔细；③取舍下面以一些中考题示例解答1、（2010•重庆25题）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：周数x1234价格y（元/kg）22.22.42.6进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=-x+bx+c．（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；观察与思考：题中明确告知4月份价格y与周数x是一次函数关系，则只需寻找到两个函数点量（周数x，价格y元/千克）即可，由表格信息知，有函数点量（1，2）、（2，2.2）、（3（2.4）、（4，2.6）。

5月份价格y与周数x是二次函数y=-x+bx+c关系，有两个参数b,c待定,需要寻找两个函数点量（周数x，价格y元/千克），由题目语言叙述信息知，有函数点量:(1，2.8）、（2，2.4）（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=-x+2．试问4月份与4月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？观察与思考：Ⅰ、确定关系式和模型的类型：关系式:利润=销售价－进价是求最大利润，则是函数模型Ⅱ、逐个攻克目标量:（列表分析）进价销售价（①问求出）4月份m=x+1.2y=0.2x+1.85月份m=-x+2y=-x-x+3.1（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a%，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8a%．若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．（参考数据：372=1369，382=1444，392=1521，402=1600，412=1681）观察与思考：Ⅰ、确定关系式和模型的类型：关系式：销售额=销售价×销售量；第3周的总销售额与第2周刚好持平。

即第2周销售额=第3周销售额销售额为特定情况,则是方程模型.Ⅱ、逐个攻克目标量: 第2周销售价=2.4元/千克；销售量=100千克第3周的销售量和销售价都以“增减变化”的信息呈现，则列“增减变化型”表分析：第3周销售量（千克）销售价（元/千克）变化基础量1002.4间接变化量减少a%上涨0.8a%直接变化量外地调运2吨0增减变化后的量100（1- a%）+22.4（1+0.8a%）2、（2011•随州23题.）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－(x－60)2＋41（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q＝－(100－x)＋(100－x)＋160（万元）．（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？（2）若按规划实施，求5年所利获润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？观察与思考：①题目已经明确告知了利润y与投入x的函数关系，解题的关键是弄清总量和部分量的关系和数量。

一是要抓住分类、分段用不同的函数关系式计算利润；二是在不同的时段，利润总量是由哪些部分量构成；三是每年最多可投入的100万元这个投入总量，在不同时段被分为哪几个部分量在进行投入的②若不进行开发，5年所获利润=5p, 每年最多可投100万元的销售投资，即0≤x≤100;③按规划实施，5年所利获润这个“总量”，包含通车前的2年和通车后的3年两个部分量的利润；④按规划实施，通车前的2年中，每年利润的“总量”包含本地销售利润和修路投入两个部分量即：每年利润=本地销售利润－修路投入；⑤通车后3年，每年利润的“总量”包含本地销售利润、外地销售利润两部分即：每年利润=本地销售利润+外地销售利润；⑥实施规划的前2年中，每年最多可投入的100万元是“总量”，被分割为修路投入50万元和本地销售投入两部分即：本地销售投入x=100-50=50;⑦公路通车后的3年中，最多可投入的100万元是“总量”， 被分割为本地销售投入和外地销售投入两部分即100=本地销售投入+外地销售投入.解：（1）由P=- （x-60）＋41知，每年只需从100万元中拿出60万元投资，即可获得最大利润41万元，则不进行开发的5年所获最大利润P1=41×5=205（万元） （2）若实施规划，在前2年中，每年最多可投入50万元销售，所以，当x=50时，每年销售最大利润为：P=- （50-60）2+41=40万元，前2年所获利润的最大值的为：2（40-50）=-20万元. 设在公路通车后的3年中，每年用x万元投资本地销售，则剩下的（100-x）万元投资外地销售，则每年所获总利润W= P +Q＝- （x-60）2＋41＋［－(100－100+x)2＋(100－100+x)＋160=- x+x－36+41－ x＋x+160=- x＋60 x＋165=-（x-30）+1065=（x-30）＋3195当x=30时，W的最大值为1065万元，∴3年的最大利润为1065×3=3195（万元）∴5年的最大利润为3195-20=3175（万元） （3）规划后5年最大利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值. 3、（2010年盐城26题）利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元；信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元．信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元. 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?观察与思考：信息1和信息3属总量与部分量信息。

若用于列方程有：甲进价+乙进价。