2019-2020年高二理科实验班暑期第一次联考数学试题-含答案.doc
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2019-2020年高二理科实验班暑期第一次联考数学试题 含答案注意事项：1.本卷为衡阳八中永州四中高二年级理科实验班第一次联考试卷，分两卷其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写考试结束后，试题卷与答题卡一并交回★预祝考生考试顺利★第I卷 选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的1.下列说法错误的是（ ）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题2.如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．平面OCB1的法向量=（x，y，z）为（ ） A．（0，1，1） B．（1，﹣1，1） C．（0，1，﹣1） D．（﹣1，﹣1，1）3.与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（ ）A． B． C． D．4.已知抛物线y2=4px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．5.椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（ ）A． B． C． D．6.空间中有四点，，，，则两直线的夹角是（ ）A. B. C. D. 7.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA1与平面AB1C1所成的角为（ ）A． B． C． D．8.方程与的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）9.如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) 4 10.如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面⊥平面，已知，且当规定主(正)视图方向垂直平面时，该几何体的左(侧)视图的面积为.若分别是线段上的动点，则的最小值为( )A.1 B.2 C.3 D.411.椭圆+=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．椭圆的离心率e满足≤e≤，则椭圆长轴的取值范围是( )A．[，1] B．[，2] C．[，] D．[，]12.已知直线与抛物线交于两点，是的中点，是抛物线上的点，且使得取最小值，抛物线在点处的切线为，则（ ）A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.给出下列命题：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3；②f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是；④已知a＞0，b＞0，函数y=2aex+b的图象过点（0，1），则的最小值是．其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上）．14.已知命题在区间上是减函数；命题不等式的解集为R.若命题“”为真，命题“”为假，则实数的取值范围是________．15.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 ．15.以下五个关于圆锥曲线的命题中：①双曲线与椭圆有相同的焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条．⑤过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分10分）已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0 （1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围． （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 18.（本题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．19.（本题满分12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），其中F1、F2为左右焦点，O为坐标原点，直线l与椭圆交于P（x1、y1），Q（x2，y2）两个不同点，当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为，又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为﹣1（1）求椭圆C的方程；（2）以OP、OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为时，求平行四边形OQNP的对角线之积|ON|•|PQ|的最大值．20.（本题满分12分）如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）中，，，．（Ⅰ）求证：平面.（Ⅱ）求与平面所成的角的的正弦值；（Ⅲ）求二面角的正弦值．21.（本题满分12分）已知动点M到点F（1，0）的距离，等于它到直线x=﹣1的距离．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．22.（本题满分12分）已知圆E：x2+（y﹣）2=经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=λ（λ≠0）（1）求椭圆C的方程；（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．衡阳八中永州四中2016年下期高二年级理科实验班第一次联考数学答案题号123456789101112答案BCBBBAAABCDD13.①②14.15.90°16.①②④17.p：，q：a≤x≤a+1； ∴（1）若a=，则q：； ∵p∧q为真，∴p，q都为真； ∴，∴； ∴实数x的取值范围为； （2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p； ∴，∴； ∴实数a的取值范围为． 18.（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，所以AG⊥EF．又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG⊂平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t）．设平面ACE的法向量为=（x，y，z），由=0， =0，得，令z=1，得=（t，﹣t，1）．因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，所以|cos＜＞|==，即=，解得t2=1或．所以AG=1或AG=．19.（1）∵直线l的倾斜角为，设F2（C，0），则直线l的方程为y=x﹣c，则，得c=1．由椭圆的几何性质可得椭圆上的点到焦点F2的最近距离为a﹣c=，得a=．∴椭圆C的方程为；（2）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，则x1=x2，y1=﹣y2，由P（x1，y1）在椭圆上，则，而，则．知|ON|•|PQ|=；当直线l的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，代入可得，2x2+3（kx+m）2=6，即（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0．△＞0，即3k2+2＞m2，，|PQ|==．设O到l的距离为d，则d=，．化为9k4+12k2+4﹣12m2k2﹣8m2+4m4=0．得到（3k2+2﹣2m2）2=0，则3k2+2=2m2，满足△＞0．由前知，，设M是ON与PQ的交点，则，，，当且仅当，即m=时等号成立．综上可知，|OM|•|PQ|的最大值为，|ON|•|PQ|=2|OM|•|PQ|的最大值为5．20.（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，,．,又因为所以，平面．（Ⅱ）设为平面的一个法向量．由，，得取，则．又设与平面所成的角为，则，即与平面所成的角的的正弦值．（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的一个法向量为设为平面的一个法向量,由，，，得取，则．设与所成角为，则，所以二面角的正弦值为． 21.（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），由题意得，，化简得y2=4x，所以点M的轨迹C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为．由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0．因为直线l1与曲线C于A，B两点，所以x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以点P的坐标为．由题知，直线l2的斜率为，同理可得点的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有，此时直线PQ的斜率kPQ=．所以，直线PQ的方程为，整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0．于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．（Ⅲ）可求得|EF|=2。
