2019届高考数学二轮复习第二篇专题通关攻略专题7解析几何2.7.3与椭圆抛物线相关的轨迹方程最值范围问题课件.ppt
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第3课时 与椭圆、抛物线相关的轨迹方程、最值范围问题 热点考向一热点考向一 轨迹方程问题轨迹方程问题考向剖析考向剖析: :本考向常在选择题、填空题及解答题的第一本考向常在选择题、填空题及解答题的第一问中出现问中出现, ,基础题和中档题较多基础题和中档题较多. .主要考查圆锥曲线方主要考查圆锥曲线方程的几种常见求法程的几种常见求法, ,如定义法、待定系数法、交轨法以如定义法、待定系数法、交轨法以及曲线方程的一般求法等等及曲线方程的一般求法等等.2019.2019年高考本考向仍是考年高考本考向仍是考查热点查热点, ,考查形式不会有大的变化考查形式不会有大的变化. . 【【典例典例1 1】】如图如图, ,在平面直角坐标中在平面直角坐标中, ,过过F(1,0)F(1,0)的直线的直线FMFM与与y y轴交于点轴交于点M,M,直线直线MNMN与直线与直线FMFM垂直垂直, ,且与且与x x轴交于点轴交于点N,TN,T是点是点N N关于直线关于直线FMFM的对称点的对称点, ,点点T T的轨迹为曲线的轨迹为曲线C.C. (1)(1)求曲线求曲线C C的方程的方程. .(2)(2)椭圆椭圆E E的中心在坐标原点的中心在坐标原点,F,F为其右焦点为其右焦点, ,且离心率且离心率为为 , ,过点过点F F的直线的直线l与曲线与曲线C C交于交于A,BA,B两点两点, ,与椭圆交于与椭圆交于P,QP,Q两点两点, ,请问请问: :是否存在直线使是否存在直线使A,F,QA,F,Q是线段是线段PBPB的四等的四等分点分点? ?若存在若存在, ,求出直线求出直线l的方程的方程; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. . 【【审题导引审题导引】】(1)(1)要求曲线要求曲线C C的方程的方程, ,只要设只要设T(x,y),T(x,y),设设直线直线______的方程求出的方程求出M M的坐标的坐标, ,根据根据FM⊥MN,FM⊥MN,进而求出进而求出N N的的坐标坐标. .由由T T是点是点N N关于直线关于直线FMFM的对称点的对称点, ,即可得曲线即可得曲线C C的方的方程程. .FMFM (2)(2)假设存在直线假设存在直线l. .设出直线设出直线l的方程的方程, ,由图形可知由图形可知, ,必有必有2AF=FB.2AF=FB.联立方程联立方程, ,利用根与系数的关系利用根与系数的关系, ,再分别验证即再分别验证即可可. . 【【解析解析】】(1)(1)设设T(x,y),T(x,y),可知可知FMFM的斜率必存在的斜率必存在, ,故设直线故设直线FMFM的方程为的方程为y=k(x-1)y=k(x-1)令令x=0,x=0,得得M(0,-k),M(0,-k),所以当所以当k≠0k≠0时时, ,直线直线MNMN的方程为的方程为y+k=- x.y+k=- x.令令y=0,y=0,得得N(-kN(-k2 2,0),,0), 因为因为T T是点是点N N关于直线关于直线FMFM的对称点的对称点, ,所以所以T T的坐标的坐标x,yx,y满足满足 消去消去k k得得y y2 2=4x,=4x,当当k=0k=0时得时得T(0,0).T(0,0).曲线曲线C C的方程为的方程为y y2 2=4x.=4x. (2)(2)因为椭圆因为椭圆E E的中心在坐标原点的中心在坐标原点,F(1,0),F(1,0)为其右焦点为其右焦点, ,且离心率为且离心率为 , ,所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为 假设存在直线假设存在直线l使使A,F,QA,F,Q是线段是线段PBPB的四等分点的四等分点, ,当直线当直线l的斜率不存在或为的斜率不存在或为0 0时时, ,显然不满足题意显然不满足题意. .设直线设直线l的方程为的方程为y=m(x-1)(m≠0).y=m(x-1)(m≠0).由图形可知由图形可知, ,必有必有2AF=FB.2AF=FB. 设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),由由 得得mymy2 2-4y-4m=0;-4y-4m=0;Δ=16+16mΔ=16+16m2 2>0,>0,所以所以y y1 1+y+y2 2= ,y= ,y1 1y y2 2=-4;=-4;因为因为2AF=FB,2AF=FB,所以所以 =-2,=-2,又因为又因为 解得解得m=±2 .m=±2 . 当当m=2 m=2 时时, ,直线直线l的方程为的方程为y=2 (x-1),y=2 (x-1),此时解得此时解得A B(2,2 ).A B(2,2 ).由由 得得 可得可得y yB B≠2y≠2yQ Q, ,所以点所以点Q Q不是不是FBFB的中点的中点, ,所以所以A,F,QA,F,Q不是线不是线段段PBPB的四等分点的四等分点. . 同理同理m=-2 m=-2 时时, ,也可得也可得A,F,QA,F,Q不是线段不是线段PBPB的四等分点的四等分点. .综上综上, ,不存在直线不存在直线l使使A,F,QA,F,Q是线段是线段PBPB的四等分点的四等分点. . 【【名师点睛名师点睛】】求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的常用方法(1)(1)直接法直接法: :直接利用条件建立直接利用条件建立x,yx,y之间的关系之间的关系F(x,y)=0.F(x,y)=0.(2)(2)待定系数法待定系数法: :已知所求曲线的类型已知所求曲线的类型, ,求曲线方程求曲线方程. .(3)(3)定义法定义法: :先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线线, ,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程. . (4)(4)代入代入( (相关点相关点) )法法: :动点动点P(x,y)P(x,y)依赖于另一动点依赖于另一动点Q(xQ(x0 0,y,y0 0) )的变化而运动的变化而运动, ,常利用代入法求动点常利用代入法求动点P(x,y)P(x,y)的的轨迹方程轨迹方程. . 【【考向精练考向精练】】1.1.已知抛物线的方程为已知抛物线的方程为C:xC:x2 2=4y,=4y,过点过点Q(0,2)Q(0,2)的一条直的一条直线与抛物线线与抛物线C C交于交于A,BA,B两点两点, ,若抛物线在若抛物线在A,BA,B两点的切线两点的切线交于点交于点P.P.(1)(1)求点求点P P的轨迹方程的轨迹方程. .(2)(2)设直线设直线PQPQ与直线与直线ABAB的夹角为的夹角为α,α,求求tan αtan α的取值范的取值范围围. . 【【解析解析】】(1)(1)由过由过Q Q的直线与抛物线交于两点可知的直线与抛物线交于两点可知, ,直线直线ABAB不与不与x x轴垂直轴垂直, ,故可设故可设lABAB:y=kx+2,:y=kx+2,则则 整理得整理得:x:x2 2-4kx-8=0-4kx-8=0 ①①, ,Δ=16kΔ=16k2 2+32>0,+32>0,故故k∈Rk∈R时均满足题目要求时均满足题目要求. .设交点坐标为设交点坐标为 则则x x1 1,x,x2 2为方程为方程①①的两根的两根, ,故由根与系数的关系可知故由根与系数的关系可知,x,x1 1+x+x2 2=4k,x=4k,x1 1x x2 2=-8.=-8. 将抛物线方程转化为将抛物线方程转化为 则则 故故A A点处的切线点处的切线方程为方程为 整理得整理得 同理可得同理可得,B,B点处的切线方程为点处的切线方程为 记两条切线记两条切线的交点的交点P(xP(xP P,y,yP P),), 联立两条切线的方程联立两条切线的方程, ,解得点解得点P P坐标为坐标为故点故点P P的轨迹方程为的轨迹方程为y=-2,x∈R.y=-2,x∈R. (2)(2)当当k=0k=0时时,x,xP P=0,y=0,yP P=-2,=-2,此时直线此时直线PQPQ即为即为y y轴轴, ,与直线与直线ABAB的夹角为的夹角为 . .当当k≠0k≠0时时, ,记直线记直线PQPQ的斜率的斜率 又由于直线又由于直线ABAB的斜率为的斜率为k,k,且已知直线且已知直线ABAB与直线与直线PQPQ的夹的夹角角α∈ α∈ 2.(2018·2.(2018·成都一模成都一模) )已知点已知点C C为圆为圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=8=8的圆的圆心心,P,P是圆上动点是圆上动点, ,点点Q Q在圆的半径在圆的半径CPCP上上, ,且有点且有点A(1,0)A(1,0)和和APAP上的点上的点M,M,满足满足 (1)(1)当当P P在圆上运动时在圆上运动时, ,求点求点Q Q的轨迹方程的轨迹方程. .(2)(2)若斜率为若斜率为k k的直线的直线l与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相切相切, ,与与(1)(1)中所求点中所求点Q Q的轨迹交于不同的两点的轨迹交于不同的两点F,H,OF,H,O是坐标原点是坐标原点, ,且且 时时, ,求求k k的取值范围的取值范围. . 【【解析解析】】(1)(1)由题意知由题意知MQMQ是线段是线段APAP的垂直平分线的垂直平分线, ,所以所以|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2 >|CA|=2|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2 >|CA|=2所以点所以点Q Q的轨迹是以点的轨迹是以点C,AC,A为焦点为焦点, ,焦距为焦距为2,2,长轴为长轴为2 2 的椭圆的椭圆, ,所以点所以点Q Q的轨迹方程为的轨迹方程为 +y+y2 2=1.=1. (2)(2)设直线设直线l:y=kx+b,F(x:y=kx+b,F(x1 1,y,y1 1),H(x),H(x2 2,y,y2 2) )直线直线l与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相切相切⇒⇒ ⇒⇒b b2 2=k=k2 2+1,+1,联立联立 ⇒⇒(1+2k(1+2k2 2)x)x2 2+4kbx+2b+4kbx+2b2 2-2=0,-2=0,Δ=16kΔ=16k2 2b b2 2-4(1+2k-4(1+2k2 2)2(b)2(b2 2-1)=8(2k-1)=8(2k2 2-b-b2 2+1)=8k+1)=8k2 2>0>0⇒⇒k≠0,k≠0, =x =x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=(1+k=(1+k2 2)x)x1 1x x2 2+kb(x+kb(x1 1+x+x2 2)+b)+b2 2 所以所以 【【加练备选加练备选】】1.(2018·1.(2018·南充市第一次高考适应性考试南充市第一次高考适应性考试) )已知椭圆已知椭圆 (a>b>0)(a>b>0)的左右焦点分别为的左右焦点分别为F F1 1,F,F2 2, ,左顶点为左顶点为A,|FA,|F1 1F F2 2|=2,|=2,椭圆的离心率椭圆的离心率e= .e= .(1)(1)求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程. .(2)(2)若若P P是椭圆上任意一点是椭圆上任意一点, ,求求 的取值范围的取值范围. . 【【解析解析】】(1)(1)由已知可得由已知可得2c=2, 2c=2, 所以所以a=2,c=1,a=2,c=1,因为因为a a2 2=b=b2 2+c+c2 2所以所以b= ,b= ,所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为 (2)(2)设设P(xP(x0 0,y,y0 0),),又又A(-2,0),FA(-2,0),F1 1(-1,0)(-1,0)所以所以 因为因为P P点在椭圆点在椭圆 上上, ,所以所以 且且-2≤x-2≤x0 0≤2,≤2,所以所以 函数函数f(xf(x0 0)= )= 在在[-2,2][-2,2]上单调递增上单调递增, ,当当x x0 0=-2=-2时时,f(x,f(x0 0) )取最小值为取最小值为0;0;当当x x0 0=2=2时时,f(x,f(x0 0) )取最大值为取最大值为12.12.所以所以 的取值范围是的取值范围是[0,12].[0,12]. 2.2.已知已知M M是直线是直线l:x=-1:x=-1上的动点上的动点, ,点点F F的坐标是的坐标是(1,0),(1,0),过过M M的直线的直线l′′与与l垂直垂直, ,并且并且l′′与线段与线段MFMF的垂直平分线相交于的垂直平分线相交于点点N.N. (1)(1)求点求点N N的轨迹的轨迹C C的方程的方程. .(2)(2)设曲线设曲线C C上的动点上的动点A A关于关于x x轴的对称点为轴的对称点为A′,A′,点点P P的坐的坐标为标为(2,0),(2,0),直线直线APAP与曲线与曲线C C的另一个交点为的另一个交点为B(BB(B与与A′A′不不重合重合),),是否存在一个定点是否存在一个定点T,T,使得使得T,A′,BT,A′,B三点共线三点共线? ?若若存在存在, ,求出点求出点T T的坐标的坐标; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. . 【【解析解析】】(1)(1)由题意可知由题意可知:|NM|=|NF|,:|NM|=|NF|,即曲线即曲线C C为抛物线为抛物线, ,焦点坐标为焦点坐标为F(1,0),F(1,0),准线方程为准线方程为l:x=-1,:x=-1,所以点所以点N N的轨迹的轨迹C C的方程为的方程为y y2 2=4x.=4x. (2)(2)设设A A 则则A′ A′ 直线直线APAP的斜率的斜率 直线直线APAP的方程的方程y= (x-2),y= (x-2),由由 整理得整理得:ay:ay2 2-(a-(a2 2-8)y-8a=0,-8)y-8a=0,设设B(xB(x2 2,y,y2 2),),则则ayay2 2=-8,=-8,则则y y2 2= ,x= ,x2 2= ,= ,则则B B 又又A′ A′ 所以所以A′BA′B的方程为的方程为y+a=- y+a=- 令令y=0,y=0,则则x=-2,x=-2, 直线直线A′BA′B与与x x轴交于定点轴交于定点T(-2,0),T(-2,0),因此存在定点因此存在定点(-2,0),(-2,0),使得使得T,A′,BT,A′,B三点共线三点共线. . 热点考向二热点考向二 圆锥曲线中的最值范围问题高频考向圆锥曲线中的最值范围问题高频考向考向剖析考向剖析: :本考向考查的形式为解答题本考向考查的形式为解答题, ,是压轴大题是压轴大题, ,主主要考查与圆锥曲线有关的范围、最值问题要考查与圆锥曲线有关的范围、最值问题, ,既有对圆锥既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究曲线的性质、曲线与方程关系的研究, ,又对最值范围问又对最值范围问题有所青睐题有所青睐, ,它能综合应用函数、三角、不等式等有关它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识知识, ,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化, ,充分展现数充分展现数 形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想在解题形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想在解题中的应用中的应用.2019.2019年高考该考向仍是考查热点年高考该考向仍是考查热点. . 类型一 圆锥曲线中参数的最值范围问题 类型一 圆锥曲线中参数的最值范围问题 【【典例典例2 2】】(2018·(2018·衡水二模衡水二模) )如图如图, ,椭圆椭圆C C1 1: : (a>b>0)(a>b>0)的左右焦点分别为的左右焦点分别为F F1 1,F,F2 2, ,离心率为离心率为 ; ;过抛物过抛物线线C C2 2:x:x2 2=4by=4by焦点焦点F F的直线交抛物线于的直线交抛物线于M,NM,N两点两点, ,当当|MF|= |MF|= 时时,M,M点在点在x x轴上的射影为轴上的射影为F F1 1, ,连接连接NO,MONO,MO并延长分别交并延长分别交C C1 1于于A,BA,B两点两点, ,连接连接AB;△OMNAB;△OMN与与△△OABOAB的面积分别记为的面积分别记为 S S△OMN△OMN,S,S△OAB△OAB, ,设设λ= λ= (1)(1)求椭圆求椭圆C C1 1和抛物线和抛物线C C2 2的方程的方程. .(2)(2)求求λλ的取值范围的取值范围. . 【【大题小做大题小做】】难点难点拆解拆解第第(2)(2)问问(1)(1)联立方程组分别求联立方程组分别求|ON||ON|、、|OM||OM|、、|OA||OA|、、|OB|.|OB|.(2)(2)将将λλ表示成某一参数的函数并求其最值表示成某一参数的函数并求其最值. . 【【解析解析】】(1)(1)由抛物线定义可得由抛物线定义可得M M 因为点因为点M M在抛物线在抛物线x x2 2=4by=4by上上, ,所以所以c c2 2= = 即即c c2 2=7b-4b=7b-4b2 2 ①①又由又由 得得c c2 2=3b=3b2 2, ,将上式代入将上式代入①①, ,得得7b7b2 2=7b,=7b,解得解得b=1,b=1, 所以所以c= ,c= ,所以所以a=2,a=2,所以曲线所以曲线C C1 1的方程为的方程为 +y+y2 2=1,=1,曲线曲线C C2 2的方程为的方程为x x2 2=4y.=4y. (2)(2)设直线设直线MNMN的方程为的方程为y=kx+1,y=kx+1,由由 消去消去y y整理得整理得x x2 2-4kx-4=0,-4kx-4=0,设设M(xM(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1x x2 2=-4,=-4,设设k kONON=m,k=m,kOMOM=m′,=m′,则则mm′= mm′= 所以所以m′= ,②m′= ,②设直线设直线ONON的方程为的方程为y=mx(m>0),y=mx(m>0), 由由 解得解得x xN N=4m,=4m,所以所以|ON|= |x|ON|= |xN N|=4m ,|=4m ,由由②②可知可知, ,用用 代替代替m,m,可得可得|OM|= |OM|= 由由 解得解得x xA A= = 所以所以|OA|= |x|OA|= |xA A|= |= 用用- - 代替代替m,m,可得可得|OB|= |OB|= 所以所以λ=λ= 当且仅当当且仅当m= m= 时等号成立时等号成立. .所以所以λλ的取值范围为的取值范围为[2,+∞).[2,+∞). 类型二 圆锥曲线中面积的最值范围问题 类型二 圆锥曲线中面积的最值范围问题 【【典例典例3 3】】(2018·(2018·绵阳二模绵阳二模) )如图如图, ,已知抛物线已知抛物线C C1 1: : y y2 2=4x=4x的焦点为的焦点为F,F,椭圆椭圆C C2 2的中心在原点的中心在原点,F,F为其右焦点为其右焦点, ,点点M M为曲线为曲线C C1 1和和C C2 2在第一象限的交点在第一象限的交点, ,且且|MF|= .|MF|= .世纪金榜导学号世纪金榜导学号 (1)(1)求椭圆求椭圆C C2 2的标准方程的标准方程. .(2)(2)设设A,BA,B为抛物线为抛物线C C1 1上的两个动点上的两个动点, ,且使得线段且使得线段ABAB的中的中点点D D在直线在直线y=xy=x上上,P(3,2),P(3,2)为定点为定点, ,求求△△PABPAB面积的最大值面积的最大值. . 【【审题导引审题导引】】(1)(1)要求要求C C2 2的方程的方程, ,设左焦点为设左焦点为E,E,只要求只要求出出______的长度即可的长度即可. .(2)(2)要求要求△△PABPAB面积的最值面积的最值, ,只要将面积表示成参数的函只要将面积表示成参数的函数数, ,然后求函数最值即可然后求函数最值即可. .MEME 【【解析解析】】(1)(1)设椭圆设椭圆C C1 1的方程为的方程为 (a>b>0),(a>b>0),半半焦距为焦距为c,c,由已知得点由已知得点F(1,0),F(1,0),则则c=1,c=1,设点设点M(xM(x0 0,y,y0 0)(x)(x0 0>0,y>0,y0 0>0),>0),由抛物线的定义由抛物线的定义, ,得得:|MF|=x:|MF|=x0 0+1= ,+1= ,则则x x0 0= .= . 从而从而y y0 0= ,= ,所以点所以点M M 设点设点E E为椭圆的左焦点为椭圆的左焦点, ,则则E(-1,0),|ME|= E(-1,0),|ME|= 根据椭圆定义根据椭圆定义, ,得得2a=|ME|+|MF|= =6,2a=|ME|+|MF|= =6,则则a=3.a=3.从而从而b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=8,=8,所以椭圆所以椭圆C C2 2的标准方程是的标准方程是 (2)(2)设点设点D(m,m),A(xD(m,m),A(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则 =4x=4x1 1, , =4x =4x2 2, ,两式相减两式相减, ,得得 - =4(x- =4(x1 1-x-x2 2),),即即 因为因为D D为线段为线段ABAB的中点的中点, ,则则y y1 1+y+y2 2=2m,=2m,所以直线所以直线ABAB的斜率的斜率k= k= 从而直线从而直线ABAB的方程为的方程为y-m= (x-m),y-m= (x-m),即即2x-my+m2x-my+m2 2-2m=0,-2m=0,联立联立 得得y y2 2-2my+2m-2my+2m2 2-4m=0,-4m=0,则则y y1 1+y+y2 2=2m,y=2m,y1 1y y2 2=2m=2m2 2-4m.-4m. 所以所以|AB|=|y|AB|=|y1 1-y-y2 2| |·· 设点设点P P到直线到直线ABAB的距离为的距离为d,d,则则d= d= 所以所以S S△PAB△PAB= |AB|d= = |AB|d= ··|6-4m+m|6-4m+m2 2| | 由由4m-m4m-m2 2>0,>0,得得0
