分式方程的解法及应用导学案+习题.docx

学习必备 欢迎下载分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 明白分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简洁的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程 .要点诠释：（ 1）分式方程的重要特点：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数 .（ 2）分式方程和整式方程的区分就在于分母中是否有未知数 （不是一般的字母系数） . 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程 .（ 3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程 .要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想： 将分式方程转化为整式方程 . 转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母 . 在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根 . 由于解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必需验根 .解分式方程的一般步骤：（ 1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（留意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母） ；（ 2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（ 3）检验：将求得的解代入最简公分母，如最简公分母不等于 0，就这个解是原分式方程的解，如最简公分母等于 0，就这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解 .要点三、解分式方程产生增根的缘由方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根 .产生增根的缘由：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根 .要点诠释：（ 1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的 . 依据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为 0 的数，所得方程是原方程的同解方程 . 假如方程的两边都乘以的数是 0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根 .（ 2）解分式方程肯定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误， 而是检验是否显现增根， 它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的 .要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题 .列分式方程解应用题按以下步骤进行：（ 1）审题明白已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（ 2）设未知数；（ 3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（ 4）解这个分式方程；（ 5）验根，检验是否是增根；（ 6）写出答案 .学习必备 欢迎下载【典型例题】类型一、判别分式方程1、以下方程中，是分式方程的是（ ）．A． x 3x 2 1x 1 x 2 4B ．4 3 12 x 1 x 1 x 1C． 3x2 1 x 05x aD ． x ，（ a ， b 为非零常数）a b【答案】 B；【解析】 A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数； D 项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数， 由定义知这三个方程都不是分式方程， 只有 B 项中的方程符合分式方程的定义．【总结升华】 要判定一个方程是否为分式方程， 就看其有无分母， 并且分母中是否含有未知数．类型二、解分式方程2、 解分式方程（ 1） 10 5 2 ；（ 2）5 1 0 ．【答案与解析】2x 1 1 2 xx2 3x x2 x解：（ 1） 10 5 2 ，2x 1 1 2 x将方程两边同乘 〔2 x 1〕 ，得10 〔 5〕 2〔2 x 1〕 ．7解方程，得 x ．4检验：将 x7代入 2x41，得 2x 1 5 0 ．27∴ x 是原方程的解．4（ 2）5 1 0 ，x2 3x x2 x方程两边同乘以x〔 x3〕〔x1〕 ，得 5〔 x1) 〔x3〕 0 ．解这个方程，得 x 2 ．检验：把 x 2 代入最简公分母，得 2 5 1＝ 10≠0．∴ 原方程的解是 x 2 ．【总结升华】 将分式方程化为整式方程时， 乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项， 不要漏乘常数项．特殊提示：解分式方程时，肯定要检验方程的根．举一反三：【变式】解方程： 2xx 1 2 ．3 3 x【答案】学习必备 欢迎下载2 x 1解： 2 ，x 3 3 x方程两边都乘 x3 ，得 2 x1 2〔 x3〕 ，解这个方程，得 x 3 ，检验：当 x3 时， x3 0 ，∴ x 3 是增根，∴ 原方程无解．类型三、分式方程的增根【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 3（ 1）】23、 m 为何值时，关于 x 的方程 2 mxx 2 x 43 会产生增根？x 2【思路点拨】 如分式方程产生增根， 就 〔 x2〕〔 x2) 0 ，即 x2 或 x2 ，然后把 x 2代入由分式方程转化得的整式方程求出 m 的值．【答案与解析】解： 方程两边同乘 〔 x2〕〔 x2〕 约去分母，得 2〔 x2〕 mx3〔 x2〕 ．整理得 〔 m1〕 x10 ．∵ 原方程有增根，∴ 〔 x2〕〔 x2〕 0 ，即 x2 或 x 2 ．把 x 2 代入 〔m1〕x10 ，解得 m 4．把 x 2 代入 〔m1〕 x10 ，解得 m 6 ．所以当 m4 或 m6 时，方程会产生增根．【总结升华】 处理这类问题时， 通常先将分式方程转化为整式方程， 再将求出的增根代入整式方程，即可求解．举一反三：【变式】假如方程 13 1 x有增根，那么增根是 ．【答案】 xx 2 2 x2 ；提示：由于增根是使分式的分母为零的根，由分母x 2 0 或 2 x0 可得x 2 ．所以增根是 x 2 ．类型四、分式方程的应用4、甲、乙两班参与绿化校内植树活动，已知乙班每小时比甲班多种 2 棵树，甲班种60 棵树所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树 .【思路点拨】 此题的等量关系为： 甲班种 60 棵树所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等．【答案与解析】学习必备 欢迎下载解：设甲班每小时种 x 棵树，就乙班每小时种 x 2 棵树．由题意可得 60 66，解这个方程，得x 20 ．x x 2经检验 x 20 是原方程的根且符合题意．所以 x 2 22 〔 棵〕 ．答：甲班每小时种 20 棵树，乙班每小时种 22 棵树．【总结升华】 解此题的关键是设出未知数后， 用含 x 的分式表示甲、 乙两班种树所用的时间．举一反三：【变式】 两个工程队共同参与一个建筑工程， 甲队单独施工 1 个月完成总工程的 1 ，这时增3加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快 .【答案】解：设乙队单独施工 1 个月能完成工程的 1 ，总工程量为 1．x依据工程的实际进度，得1 1 1 1．3 6 2x方程两边同时乘以 6x ，得 2x x 3 6x ．解这个方程得 x 1 ．检验：当 x 1 时， 6x ＝6≠ 0，所以 x 1 是原分式方程的解．由上可知，如乙队单独工作 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月完成任务的 1 ，3可知乙队施工速度快．答：乙队施工速度快．【巩固练习】一. 挑选题1．以下关于 x 的方程中，不是分式方程的是（ ）A． 1 x 1 xB． 3x 4x2 1C． x 3 x 23 4 5D． x 516 x 62．解分式方程 1x 12x2 1，可得结果 〔 〕 ．A. x 1B. x 1C. x 3D. 无解3．要使 xx4 的值和 45 42 x 的值互为倒数，就 x 的值为 〔 〕 ．xA.0 B. － 1 C.1 D.12x 14．已知x 2y 3，如用含 x 的代数式表示 y ，就以下结果正确选项 〔 〕 ．y 4A. yx 103B. y x 2C. y10 x 3D. y7 x 2学习必备 欢迎下载5．如关于 x 的方程 3x 11 k 有增根，就 k 的值为 〔 〕 ．1 xA.3 B.1 C.0 D. － 16．完成某项工作，甲独做需 a 小时，乙独做需 b 小时，就两人合作完成这项工作的 80％， 所需要的时间是 〔 〕 ．A. 4 〔 ab〕 小时 B.4 〔 11〕 小时5 5 a bC. 4ab 小时 D.ab 小时5〔a b〕 a b二. 填空题7. 当 x ＝ 时，分式 3 与 2的值互为相反数．x 6 x8．仓库贮存水果 a 吨，原方案每天供应市场 m 吨，如每天多供应 2 吨，就要少供应 天．9． x ＝ 时，两分式4 与 3 的值相等．x 4 x 110．当 a ＝ 时，关于 x 的方程2ax 3a x5 的根是 1．411．如方程 x 1x 14x2 11有增根，就增根是 ．12．关于 x 的方程 ax 1三. 解答题1的解是负数，就 a 的取值范畴为 ．13. 解以下分式方程：1 1 x（1）5x3 ；（ 2） 27 2 3x；（ 3） 22 1 0 ．x 2 2 xx 3x 2x 1 x 2x 1 x 2 x 114. 甲、乙两地相距 50 km ，A 骑自行车， B 乘汽车，同时从甲城动身去乙城．已知汽车的 速度是自行车速度的 2.5 倍， B 中途休息了 0.5 小时仍比 A 早到 2 小时，求自行车和汽车的速度．15. 有一个两位数，它的个位数字比十位数字大 1，这个两位数被个位数字除时，商是 8，余数是 2，求这个两位数．【答案与解析】一. 挑选题1. 【答案】 C；【解析】 C选项中分母不含有未知数，故不是分式方程 .2. 【答案】 D；【解析】 x 1是原方程的增根 .3. 【答案】 B；【解析】由题意x 4 4 2 x1，化简得： 2x4 1解得 x 1 .x 5 。